Bài 5: Cực trị của hàm số của hàm số(Tiết 2) – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (TIẾT 2) Bài 1: Tìm m ñể ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 6 1 2 f x x m x m m x = + − + − có Cð, CT nằm trên ñường thẳng (d): y = −4x Giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) [ ] 2 6 1 1 2 0 f x x m x m m ′ = + − + − = ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 0 g x x m x m m = + − + − = Hàm số có Cð, CT ( ) 0 g x ⇔ = có 2 nghiệm phân biệt ( ) 2 1 3 1 0 3 g m m ⇔ ∆ = − > ⇔ ≠ Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 3 1 1 1 2 f x x m g x m x m m m = + − − − + − − Với 1 3 m ≠ thì phương trình ( ) 0 g x = có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và hàm số y = f (x) ñạt cực trị tại x 1 , x 2 . Ta có: ( ) ( ) 1 2 0 g x g x = = nên suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 ; 3 1 1 2 y f x m x m m m y m x m m m = = − − + − − = − − + − − ⇒ ðường thẳng ñi qua Cð, CT là (∆): ( ) ( )( ) 2 3 1 1 1 2 y m x m m m = − − + − − . ðể cực ñại, cực tiểu nằm trên ñường thẳng (d): y = −4x thì (∆) ≡ (d) ⇔ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 3 1 2 0 3 1 4 1 1 1 2 0 1 1 2 0 m m m m m m m m m m   − − − + =  − − = − ⇔ ⇔ =   − − = − − =    Bài 2: Tìm m ñể ( ) 3 2 7 3 f x x mx x = + + + có ñường thẳng ñi qua Cð, CT vuông góc với y = 3x − 7 Giải: Hàm số có Cð, CT ⇔ ( ) 2 3 2 7 0 f x x mx ′ = + + = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 2 21 0 21 m m ′ ∆ = − > ⇔ > . Thực hiện phép chia f (x) cho f ′(x) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 7 1 2 3 21 3 9 9 9 m f x x m f x m x ′ = + + − + − Với 21 m > thì phương trình ( ) 0 f x ′ = có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và hàm số y = f (x) ñạt cực trị tại x 1 , x 2 . Ta có: ( ) ( ) 1 2 0 f x f x ′ ′ = = suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 2 2 7 7 2 2 21 3 ; 21 3 9 9 9 9 m m y f x m x y f x m x= = − + − = = − + − ⇒ ðường thẳng ñi qua Cð, CT là (∆): ( ) 2 7 2 21 3 9 9 m y m x= − + − Ta có (∆) ⊥ y = 3x − 7 ⇔ ( ) 2 2 3 10 45 2 21 .3 1 21 9 2 2 m m m− = − ⇔ = > ⇔ = ± Bài 5: Cực trị của hàm số của hàm số(Tiết 2) – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Page 2 of 3 Bài 3: Tìm m ñể hàm số ( ) 3 2 2 3 f x x x m x m = − + + có cực ñại, cực tiểu ñối xứng nhau qua (∆): 5 1 2 2 y x = − Giải: Hàm số có Cð, CT ⇔ ( ) 2 2 3 6 0 f x x x m ′ = − + = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 2 9 3 0 3 m m ′ ∆ = − > ⇔ < . Thực hiện phép chia f (x) cho f ′(x) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 3 3 3 3 m f x x f x m x m ′ = − + − + + Với 3 m < thì phương trình ( ) 0 f x ′ = có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và hàm số y = f (x) ñạt cực trị tại x 1 , x 2 . Ta có: ( ) ( ) 1 2 0 f x f x ′ ′ = = nên ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 3 ; 3 3 3 3 3 m m y f x m x m y f x m x m = = − + + = = − + + ⇒ ðường thẳng ñi qua Cð, CT là (d): ( ) 2 2 2 3 3 3 m y m x m = − + + . Các ñiểm cực trị ( ) ( ) 1 1 2 2 , , , A x y B x y ñối xứng nhau qua ( ) 5 1 : 2 2 y x ∆ = − ⇔ (d) ⊥ (∆) tại trung ñiểm I của AB (*) . Ta có 1 2 1 2 I x x x + = = suy ra (*) ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 1 0 3 2 0 5 2 1 1 0 3 1 1 3 3 2 2 m m m m m m m m  − ⋅ = − =     ⇔ ⇔ =   + =    − ⋅ + + = ⋅ −   Bài 4: Tìm m ñể hàm số 3 2 3 ( ) 2 m f x x x m = − + có các C ð và CT n ằ m v ề hai phía c ủ a ñườ ng th ẳ ng y = x Giải: Hàm s ố có C ð và CT 2 ( ) 3 3 0 f x x mx ′ ⇔ = − = có 2 nghi ệ m phân bi ệ t 0 m ⇔ ≠ Khi ñ ó f’(x) có 2 nghi ệ m phân bi ệ t 1 2 0; x x m = = ⇒ t ọ a ñộ 2 ñ i ể m C ð , CT là: 3 (0; ); ( ; ) 2 m A m B m m − Hai ñ i ể m A, B n ằ m v ề hai phía c ủ a ñườ ng th ẳ ng y = x hay x – y = 0 khi và ch ỉ khi: 3 4 (0 )( ) 0 0 2 2 m m m m m − − + < ⇔ − < , luôn ñ úng v ớ i 0 m ≠ V ậ y ð S: 0 m ≠ . Bài 5: Cực trị của hàm số của hàm số(Tiết 2) – Khóa Giải tích 12 – Thầy Nguyễn Thượng Võ Page 3 of 3 Bài 5: Ch ứ ng minh r ằ ng: Hàm s ố 4 2 6 4 6 y x x x = − + + luôn có 3 c ự c tr ị , ñồ ng th ờ i g ố c t ọ a ñộ O là tr ọ ng tâm c ủ a tam giác t ạ o b ở i 3 ñỉ nh là 3 c ự c tr ị . Giải: Ta có: 3 3 ' 4 12 4 0 ( ) 3 1 0(*) y x x g x x x= − + = ⇔ = − + = . ðể hàm s ố có 3 c ự c tr ị thì (*) ph ả i có 3 nghi ệ m phân bi ệ t. Th ậ t v ậ y, 2 1 1 '( ) 0 3 3 0 . 1 0 1 1 CT CT CT CD CD CD x y g x x y y x y = ⇒ = −  = ⇔ − = ⇔ ⇒ = − <  = − ⇒ =  V ậ y ñồ th ị c ủ a g(x) luôn c ắ t Ox t ạ i 3 ñ i ể m phân bi ệ t nên hàm f(x) có 3 c ự c tr ị . Áp d ụ ng h ệ th ứ c Viet vào PT (*) ta có: 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 0 3 0 3 1 O b x x x a x x x c x x x x x x x a d x x x a  + + = − =   + +  + + = = − ⇒ = =    = − = −   Ta cần CM: 1 2 3 1 2 3 0 0 3 O y y y y y y y + + = = ⇔ + + = Thật vậy chia f(x) cho g(x) ta có: 2 ( ) . ( ) (3 4 6) ( ) 0 f x x g x x x g x  = − − −   =   2 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 6 3 4 6 3 4 6 y x x y x x y x x  = − + +   ⇒ = − + +   = − + +   ( ) 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3( ) 4( ) 18 3 2( ) 4( ) 18 3.6 18 0 y y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇒ + + = − + + + + + +   = − + + − + + + + + + = − + =     => ð PCM ………………….Hết……………… Nguồn: Hocmai.vn