Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0 6 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài 1: Cho mặt phẳng (P): 2 2 1 0 x y z − + − = và các ñường thẳng: 1 3 : 1 2 1 2 x y z d − − = = − , 5 5 : 2 3 4 2 x y z d − + = = Tìm các ñiểm 1 2 d , d A B ∈ ∈ sao cho AB // (P) và AB cách (P) một khoảng bằng 1. Giải: Tìm các ñiểm 1 2 d , d A B ∈ ∈ sao cho AB // (P) và AB cách (P) một khoảng bằng 1. 1 1 1 1 (2 1, 3, 2 ) A d A t t t ∈ ⇒ + + − 2 2 2 2 (3 5,4 ,2 5) B d B t t t ∈ ⇒ + − 2 1 2 1 2 1 (3 2 4,4 3, 2 2 5) AB t t t t t t = − + − − + −  2 1 2 1 2 1 . 0 2(3 2 4) 4 3 2(2 2 5) 0 p AB n t t t t t t = ⇔ − + − + + + + − =   2 1 6 1 0 t t ⇔ + + = ( ) 1 1 1 1 /( ) 4 2 3 4 1 2 / /( ) 1 3 3 A P t t t t AB P d + − − − − + ⇒ = = = 1 1 5 1 t t = −  ⇔  =  Với 1 2 2 8 11 5 ( 9; 2;10), 7; ; 3 3 3 t t A B −   = − ⇒ = ⇒ − −     1 2 1 4 17 1 (3;4; 2), 4; ; 3 3 3 t t A B − − −   = ⇒ = ⇒ −     Bài 2: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình 2 2 2 2 4 6 11 0 x y z x y z + + − + − − = với mặt phẳng ( α ) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) song song với ( α ) và cắt (S) theo giao tuyến là ñường tròn có chu vi bằng 6π. Giải: Do (β) // (α) nên (β) có phương trình: 2x + 2y – z + D = 0 (D ≠ 17) Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5 ðường tròn có chu vi 6π nên có bán kính r = 3. Khoảng cách từ I tới ( ) β là h = 2 2 2 2 5 3 4 R r − = − = Do ñó: 2 2 2 7 2.1 2( 2) 3 4 5 12 17 (loai) 2 2 ( 1) D D D D = − + − − +  = ⇔ − + = ⇔  = + + −  Vậy ( ) β có phương trình: 2x+2y-z-7=0 Bài 3: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm M(2 ; 1 ; 0) và ñường thẳng d với d : 1 1 2 1 1 x y z − + = = − . Viết phương trình chính tắc của ñường thẳng ñi qua ñiểm M, cắt và vuông góc với ñường thẳng d và tìm tọa ñộ của ñiểm M’ ñối xứng với M qua d. HƯỚNG DẪN GIẢI ð Ề KI Ể M TRA ð Ị NH K Ỳ S Ố 06 Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0 6 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là ñường thẳng ñi qua M, cắt và vuông góc với d. d có phương trình tham số là: 1 2 1 x t y t z t = +   = − +   = −  Vì H ∈ d nên tọa ñộ H (1 + 2t ; − 1 + t ; − t).Suy ra : MH  = (2t − 1 ; − 2 + t ; − t) Vì MH ⊥ d và d có một vectơ chỉ phương là u  = (2 ; 1 ; −1), nên : 2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = 2 3 . Vì thế, MH  = 1 4 2 ; ; 3 3 3   − −     3 (1; 4; 2) MH u MH = = − −   Suy ra, phương trình chính tắc của ñường thẳng MH là: 2 1 1 4 2 x y z − − = = − − Theo trên có 7 1 2 ( ; ; ) 3 3 3 H − − mà H là trung ñiểm của MM’ nên ta có: M’ 8 5 4 ( ; ; ) 3 3 3 − − Bài 4: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñường thẳng: 1 4 1 5 : 3 1 2 x y z d − − + = = − − 2 2 3 : 1 3 1 x y z d − + = = Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai ñường thẳng d 1 và d 2 . Giải: Giả sử một mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai ñường thẳng d 1 , d 2 tại hai ñiểm A và B khi ñó ta luôn có: IA + IB ≥ AB và AB ≥ ( ) 1 2 , d d d dấu bằng xảy ra khi I là trung ñiểm AB và AB là ñoạn vuông góc chung của hai ñường thẳng d 1 , d 2 Ta tìm A, B : ' AB u AB u  ⊥   ⊥       A∈d 1 , B∈d 2 nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’) ⇒ AB  (….)… ⇒ A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1) ⇒ I(2; 1; -1) Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R= 6 Nên có phương trình là: ( ) 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 6 x y z − + − + + = Bài 5: Cho ñiểm ( ) 2;5;3 A và ñường thẳng 1 2 : . 2 1 2 x y z d − − = = Viết phương trình mặt phẳng ( ) α chứa d sao cho khoảng cách từ A ñến ( ) α lớn nhất. Giải: Gọi K là hình chiếu của A trên d K ⇒ cố ñịnh; Gọi ( ) α là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên ( ) α . Trong tam giác vuông AHK ta có . AH AK ≤ Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0 6 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Vậy ( ) max AH AK α = ⇔ là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK. Gọi ( ) β là mặt phẳng qua A và vuông góc với d ( ) : 2 2 15 0 x y z β ⇒ + + − = ( ) 3;1;4 K⇒ ( ) α là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK ( ) : 4 3 0 x y z α ⇒ − + − = Bài 6: Trong không gian toạ ñộ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + 1 = 0 và hai ñường thẳng d 1 : 1 1 2 2 3 1 x y z + − − = = , d 2 : 2 2 1 5 2 x y z − + = = − Viết phương trình ñường thẳng d vuông góc với (P) ñồng thời cắt hai ñường thẳng d 1 và d 2 . Giải: Phương trình tham số của d 1 và d 2 là: 1 2 1 2 2 : 1 3 ; : 2 5 2 2 x t x m d y t d y m z t z m = − + = +     = + = − +     = + = −   Giả sử d cắt d 1 tại M(-1 + 2t ; 1 + 3t ; 2 + t) và cắt d 2 tại N(2 + m ; - 2 + 5m ; - 2m) MN ⇒  (3 + m - 2t ; - 3 + 5m - 3t ; - 2 - 2m - t). Do d ⊥ (P) có VTPT (2; 1; 5) P n − −  nên : p k MN kn ∃ = ⇔   3 2 2 3 5 3 2 2 5 m t k m t k m t k + − =   − + − = −   − − − = −  có nghiệm Giải hệ tìm ñược 1 1 m t =   =  Khi ñó ñiểm M(1; 4; 3) ⇒ Phương trình d: 1 2 4 3 5 x t y t z t = +   = −   = −  thoả mãn bài toán. Bài 7: Trong không gian với hệ tọa ñộ ðêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai ñường thẳng : (d) 1 3 2 1 1 2 x y z + − + = = − và (d’) 1 2 2 1 x t y t z t = +   = +   = +  Viết phương trình tham số của ñường thẳng ( ∆ ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai ñường thẳng (d) và (d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng . Giải: Mặt phẳng (P) cắt (d) tại ñiểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại ñiểm B(9 ; 6 ; 5) ðường thẳng ∆ cần tìm ñi qua A, B nên có phương trình : 9 6 8 5 15 x t y t z t = −   = −   = −  Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0 6 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - ( ) ( ) ( ) ' , ' 8 , ' 11 , ' MM u u d d d u u     = =          Bài 8: Trong không gian với hệ tọa ñộ ðêcác vuông góc Oxyz cho hai ñường thẳng : (d) 1 2 4 5 x t y t z t =   = +   = +  và (d’) 1 2 3 x t y t z t =   = − −   = −  a. CMR hai ñường thẳng (d) và (d’) cắt nhau . b. Viết phương trình chính tắc của cặp ñường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) . Giải: + ðường thẳng (d) ñi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP ( ) 1;1;2 u  + ðường thẳng (d’) ñi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP ( ) ' 2;1;1 u  Ta có : • ( ) ' 2; 1;3 MM = −  • ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 ' , ' 2; 1;3 ; ; 8 0 MM u u   = − = − ≠      Do ñó (d) và (d’) chéo nhau .(ðpcm) Khi ñó : a) + ðường thẳng (d) ñi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP ( ) 1; 2;5 u  + ðường thẳng (d’) ñi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP ( ) ' 1; 2; 3 u − −  Nhận thấy (d) và (d’) có một ñiểm chung là 1 3 ;0; 2 2 I   −     hay (d) và (d’) cắt nhau . (ðPCM) b) Ta lấy 15 15 15 . ' ; 2 ; 3 7 7 7 ' u v u u   = = − −           . Ta ñặt : 15 15 15 1 ;2 2 ;5 3 7 7 7 a u v   = + = + − −          15 15 15 1 ;2 2 ;5 3 7 7 7 b u v   = − = − + +          Khi ñó, hai ñường phân giác cần tìm là hai ñường thẳng ñi qua I và lần lượt nhận hai véctơ , a b   làm VTCP và chúng có phương trình là : Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0 6 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - 1 15 1 2 7 15 2 2 7 3 15 5 3 2 7 x t y t z t    = − + +             = −             = + −         và 1 15 1 2 7 15 2 2 7 3 15 5 3 2 7 x t y t z t    = − + −             = +             = + +         Bài 9: Trong không gian với hệ trục toạ ñộ Oxyz cho 4 ñiểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: 2 0 x y z + + − = . Gọi A’là hình chiêú của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu ñi qua 4 ñiểm A’, B, C, D. Xác ñịnh toạ ñộ tâm và bán kính của ñường tròn (C) là giao của (P) và (S). Giải: Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0) * Giả sử phương trình mặt cầu ( S) ñi qua A’, B, C, D là: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0, 0 x y z ax by cz d a b c d + + + + + + = + + − > Vì ( ) ', , , A B C D S ∈ nên ta có hệ: 5 2 2 2 0 2 2 6 4 14 0 1 8 6 4 29 0 1 8 2 4 21 0 1 a b d a a b c d b a b c d c a b c d d  − + + = = −     + + + + =   = − ⇔   + + + + =   = −   − + + − =  = −   Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: 01225 222 =+−−−++ zyxzyx (S) có tâm 5 ;1;1 2 I       , bán kính 29 2 R = +) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của ñường tròn ( C) +) Gọi ( d) là ñường thẳng ñi qua I và vuông góc với (P). (d) có vectơ chỉ phương là: ( ) 1;1;1 n  Suy ra phương trình của d: 5 / 2 5 1 ;1 ;1 2 1 x t y t H t t t z t = +     = + ⇒ + + +       = +  Do ( ) ( ) H d P = ∩ nên: 5 5 5 1 1 2 0 3 2 2 6 t t t t t + + + + + − = ⇔ = − ⇔ = − 5 1 1 ; ; 3 6 6 H   ⇒     75 5 3 36 6 IH = = , (C) có bán kính 2 2 29 75 31 186 4 36 6 6 r R IH = − = − = = Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0 6 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - Bài 10 : Trong không gian với hệ trục toạ ñộ Oxyz cho ( ) : 2 5 0 P x y z + − + = và ñường thẳng 3 ( ) : 1 3 2 x d y z + = + = − , ñiểm A( -2; 3; 4). Gọi ∆ là ñường thẳng nằm trên (P) ñi qua giao ñiểm của ( d) và (P) ñồng thời vuông góc với d. Tìm trên ∆ ñiểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. Giải: Chuyển phương trình d về dạng tham số ta ñược: 2 3 1 3 x t y t z t = −   = −   = +  Gọi I là giao ñiểm của (d) và (P) ( ) 2 3; 1; 3 I t t t ⇒ − − + Do ( ) ( ) 2 3 2( 1) ( 3) 5 0 1 1;0;4 I P t t t t I∈ ⇒ − + − − − + = ⇔ = ⇒ − * (d) có vectơ chỉ phương là (2;1;1) a  , mp( P) có vectơ pháp tuyến là ( ) 1;2; 1 n −  ( ) , 3;3;3 a n   ⇒ = −     . Gọi u  là vectơ chỉ phương của ∆ ( ) 1;1;1 u ⇒ −  1 : 4 x u y u z u = −   ⇒ ∆ =   = +  . Vì ( ) 1 ; ;4 M M u u u ∈∆ ⇒ − − + , ( ) 1 ; 3; AM u u u ⇒ − −  AM ngắn nhất AM ⇔ ⊥ ∆ . 0 1(1 ) 1( 3) 1. 0 AM u AM u u u u ⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ − − + − + =     4 3 u ⇔ = . Vậy 7 4 16 ; ; 3 3 3 M −       Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn . HƯỚNG DẪN GIẢI ð Ề KI Ể M TRA ð Ị NH K Ỳ S Ố 06 Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0 6 Hocmai.vn. có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng ( β ) song song với ( α ) và cắt (S) theo giao tuyến là ñường tròn có chu vi bằng 6π.