Đang tải... (xem toàn văn)
CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN
Tài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp THPT THPTTHPT THPT môn Toán môn Toán môn Toán môn Toán MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn Sơn MATH.COM.VN - Trang 1 – MATHVN.COM CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT MƠN TỐN * PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm) - Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. - Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng) Câu II (3,0 điểm) - Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit. - Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. - Tìm ngun hàm, tính tích phân. - Bài tốn tổng hợp. Câu III (1,0 điểm) Hình học khơng gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. * PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh học chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2). Theo chương trình Chuẩn Câu IV.a (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ trong khơng gian: - Xác định tọa độ của điểm, vectơ. - Mặt cầu. - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. - Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Câu V.a (1,0 điểm) - Số phức: mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức; căn bậc hai của số thực âm; phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức Delta âm. - Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Theo chương trình Nâng cao Câu IV.b (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ trong khơng gian: - Xác định tọa độ của điểm, vectơ. - Mặt cầu. - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Câu V.b (1,0 điểm) - Số phức: Mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức; căn bậc hai của số phức; phương trình bậc hai với hệ số phức; dạng lượng giác của số phức. - Đồì thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax 2 + bx +c) /(px+q ) và một số yếu tố liên quan. - Sự tiếp xúc của hai đường cong. - Hệ phương trình mũ và lơgarit. - Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Hết Tài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp THPT THPTTHPT THPT môn Toán môn Toán môn Toán môn Toán MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn Sơn MATH.COM.VN - Trang 2 – MATHVN.COM MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ LƯỢNG GIÁC I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG ĐẶC BIỆT Cung/ GTLG 0 ( 0 0 ) 6 π ( 0 30 ) 4 π ( 0 45 ) 3 π 0 (60 ) 2 π 0 (90 ) 2 3 π ( 0 120 ) 3 4 π ( 0 135 ) 5 6 π ( 0 150 ) π ( 0 180 ) sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − 3 2 − -1 tan 0 3 3 1 3 || 3 − -1 3 3 − 0 cot || 3 1 3 3 0 3 3 − -1 3 − || II. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Cơng thức cộng cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos tan tan tan( ) ,( , , ) 1 tan tan 2 tan tan tan( ) ,( , 1 tan tan π π − = + + = − − = − + = + + + = ≠ + ∈ − − − = ≠ + ℤ a b a b a b a b a b a b a b a b b a a b a b b a a b a b a b k k a b a b a b a b a b , ) 2 π π + ∈ ℤ k k 2. Cơng thức nhân đơi 2 2 2 2 2 sin2 2sin cos cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin 2tan tan2 1 tan a a a a a a a a a a a = = − = − = − = − 3. Cơng thức hạ bậc 2 2 2 1 cos2 1 cos2 cos tan 2 1 cos2 1 cos2 sin 2 a a a a a a a + − = = + − = 4. Cơng thức biến đổi tích thành tổng [ ] [ ] [ ] 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = − + + = − − + = − + + 6. Các hằng đẳng thức lượng giác 2 2 2 2 2 2 sin 1 1 1 tan , , 2 1 1 cot , , sin tan .cot 1, , 2 a cos a a a k k cos a a a k k a k a a a k π π π π + = + = ≠ + ∈ + = ≠ ∈ = ≠ ∈ ℤ ℤ ℤ 5. Cơng thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos .cos 2 2 cos cos 2sin .sin 2 2 sin sin 2sin .cos 2 2 sin sin 2cos .sin 2 2 sin( ) tan tan cos cos sin( ) cot cot cos cos a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + − + = + − − = − + − + = + − − = + + = − + = Tài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp THPT THPTTHPT THPT môn Toán môn Toán môn Toán môn Toán MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn Sơn MATH.COM.VN - Trang 3 – MATHVN.COM III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sinx = a Phương trình cosx = a 2 sin sin ; 2 α π α π α π = + = = ⇔ ∈ = − + ℤ x k x a k x k sin 2 sin ; sin 2 x arc a k x a k x arc a k π π π = + = ⇔ ∈ = − + ℤ s s 2 ; α α π = = ⇔ = ± + ∈ ℤ co x a co x k k 2 ; cosx a x arccosa k k π = ⇔ = ± + ∈ ℤ Phương trình tanx = a ( Đ K: , 2 x k k Z π π ≠ + ∈ ) Phương trình cotx = a ( Đ K: , x k k Z π ≠ ∈ ) tan tan ; α α π = = ⇔ = + ∈ ℤ x a x k k tan arctan ; x a x a k k π = ⇔ = + ∈ ℤ cot t ; α α π = = ⇔ = + ∈ ℤ x a co x k k cot cot ; x a x arc a k k π = ⇔ = + ∈ ℤ IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1. Phương trình asinx + bcosx = c asinx + bcosx = c 2 2 sin( ) a b x c α ⇔ + + = . Trong đ ó 2 2 2 2 ;sin a b cos a b a b α α = = + + 2. Phương trình 2 2 a x b x x c x d + + = sin sin cos cos - Ki ể m tra xem cosx = 0 có là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình khơng ?. - N ế u cos 0 x ≠ , chia c ả 2 v ế c ủ a ph ươ ng trình cho 2 cos x , ta đượ c: 2 2 tan (1 tan ) a x btanx c d x + + = + IV. MỘT SỐ CƠNG THỨC HAY DÙNG 2 2 2 2 2 3 3 sin cos 2 sin 2 4 4 cos4x = 2cos 2 1 1 sin 2 sin 2 cos 2 (sinx cosx) 1 sin 2 1 sin cos (sin cos ) 1 sin2 2 x x x cos x x x x x x x x x x x x π π + = + = − − = − = − ± = ± + = + − 6 3 3 4 4 2 4 4 2 2 6 2 1 sin cos (sin cos ) 1 sin 2 2 1 sin cos 1 sin 2 2 sin cos sin cos 3 sin cos 1 sin 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x − = − + + = − − = − + = − BẢNG ĐẠO HÀM ' ( ) x α = 1 . x α α − ' 1 x = 2 1 x − ' ( ) x = 1 2 x (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx (tanx)’ = 2 1 cos x (cotx)’ = 2 1 sin x − ' ( ) u α = 1 . '. u u α α − ' 1 u = 2 ' u u − ' ( ) u = ' 2 u u (sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = -u’.sinu (tanu)’ = 2 ' cos u u (cotu)’ = 2 ' sin u u − ' )( x e = e x ' )( x a = a x .lna (ln| x |)’ = x 1 (log a | x |)’ = 1 ln x a ' )( u e = u’.e u ' )( u a = u’.a u .lna (ln| u |)’ = u u' (log a | u |)’ = a u u ln ' (u ± v)’ = u’ ± v’ (uv)’ = u’v + v’u (ku)’ = k.u’ ' u v = 2 ' ' u v v u v − 2 . . ' ( ) ax b a d b c y y cx d cx d + − = ⇒ = + + Tài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp THPT THPTTHPT THPT môn Toán môn Toán môn Toán môn Toán MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn Sơn MATH.COM.VN - Trang 4 – MATHVN.COM Chương I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3, BẬC 4 1. Các bước khảo sát - Tập xác định: D = R ; - Tính đạo hàm y’, giải phương trình y’ = 0 và tìm các điểm cực trị ; - Tính các giới hạn lim x y →−∞ ; lim x y →+∞ ; - Lập BBT, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của đồ thị hàm số ; - Vẽ đồ thị. Tìm điểm đặc biệt: Tâm đối xứng của đồ thị, giao với các trục Ox, Oy … 2. Các dạng của đồ thị Hàm số bậc 3 Hàm số bậc 4 Có cực đại và cực tiểu Có cực đại và cực tiểu a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 Khơng có cực trị Có cực đại hoặc cực tiểu a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 3. Các ví dụ Hàm số bậc ba Hàm số bậc bốn Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2 3 4 y x x = + − Giải * Tập xác đònh: D = R * Đạo hàm: 2 ' 3 6 3 ( 2) y x x x x = + = + Cho 0 4 ' 0 3 ( 2) 0 2 0 x y y x x x y = ⇒ = − = ⇔ + = ⇔ = − ⇒ = * Giới hạn: lim x y →−∞ = −∞ ; lim x y →+∞ = +∞ * Bảng biến thiên: Ví dụ : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 4 2 2 3 y x x = − − Giải * Tập xác đònh: D = R * Đạo hàm: 3 2 ' 4 4 4 ( 1) y x x x x = − = − Cho 2 1 4 ' 0 4 ( 1) 0 0 3 x y y x x x y = ± ⇒ = − = ⇔ − = ⇔ = ⇒ = − * Giới hạn: lim x y →−∞ = +∞ ; lim x y →+∞ = +∞ * Bảng biến thiên: PHẦN GIẢI TÍCH Tài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp THPT THPTTHPT THPT môn Toán môn Toán môn Toán môn Toán MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn Sơn MATH.COM.VN - Trang 5 – MATHVN.COM x −∞ -2 0 + ∞ y’ + 0 - 0 + y 0 +∞ −∞ -4 * Nhận xét : + HS đồng biến trên ( ; 2) −∞ − và (0; ) +∞ , nghịch biến trên (-2 ; 0). + HS đạt cực đại tại x = -2 ; y CĐ = 0, đạt cực tiểu tại x = 0 ; y CT = -4. * Đồ thị: + Đồ thò nhận điểm I(-1 ; -2) làm tâm đối xứng. + Cho 1 0 x y = ⇒ = . + Cho 3 4 x y = − ⇒ = − . x −∞ -1 0 1 + ∞ y’ - 0 + 0 - 0 + y +∞ -3 +∞ -4 -4 * Nhận xét: + HS đồng biến trên ( 1;0) − và (1; ) +∞ , nghịch biến trên ( ; 1) −∞ − và (0;1) . + HS đạt cực đại tại x = 0 ; y CĐ = -3, đạt cực tiểu tại x = 1 ± ; y CT = -4. * Đồ thị: + Cho 2 5 x y = − ⇒ = . + Cho 2 5 x y = ⇒ = . II. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC ax b y cx d + = + , d x c ≠ − Các bước khảo sát Ví dụ * TXĐ: D = \ d R c − . * Tính đạo hàm ' 2 ( ) ad bc y cx d − = + . * Giới hạn, tiệm cận. lim ? d x c y + →− = , lim ? d x c y − →− = ⇒ Tiệm cận đứng: d x c = − . lim x a y c →+∞ = , lim x a y c →−∞ = ⇒ Tiệm cận ngang: y = a c . * Lập bảng biến thiên. y’ > 0 y’ < 0 Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 1 x y x + = − Giải * Tập xác định: \{1} D = ℝ * Đạo hàm: 2 2 ' 0 ( 1) y x − = < − x D ∀ ∈ . * Giới hạn, tiệm cận: + Vì 1 1 1 1 lim ;lim 1 1 x x x x x x + − → → + + = −∞ = +∞ − − nên TCĐ: x = 1. + Vì 1 lim 1 1 x x x →±∞ + = − nên tiệm cận ngang là y = 1. * Bảng biến thiên: x −∞ 1 + ∞ y’ - - y 1 +∞ −∞ 1 Tài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp THPT THPTTHPT THPT môn Toán môn Toán môn Toán môn Toán MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn Sơn MATH.COM.VN - Trang 6 – MATHVN.COM * Vẽ đồ thị. Tìm điểm đặc biệt: giao với trục Ox, Oy. Lưu ý: - Đồ thị đối xứng qua điểm I là giao điểm của TCĐ và TCN. - Trục hồnh: y = 0. - Trục tung: x = 0. * Nhận xét: + HS ln nghịch biến trên ( ) ;1 −∞ và ( ) 1; +∞ . + HS khơng có cực trị. * Đồ thị: + Cho 0 1 x y = ⇒ = − . + Cho 0 1 y x = ⇒ = − . BÀI TẬP Bài tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1. 3 2 3 1 y x x = + − 2. 3 2 3 1 y x x = − + 3. 3 2 3 y x x = + 4. 3 2 3 2 y x x = − + 5. 3 2 2 3 y x x = − 6. 3 2 6 9 y x x x = − + 7. 3 2 3 y x x = − + 8. 3 2 2 3 1 y x x = − + + 9. 3 2 3 1 y x x = − + − 10. 3 3 2 y x x = − + − 11. 3 2 3 2 = − − + y x x 12. 3 2 3 4 = − + − y x x 13. 3 2 6 9 1 = − + − y x x x Bài tập 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1. 4 2 2 1 y x x = − − 2. 2 4 2 y x x = − 3. 4 2 1 2 1 4 = − + + y x x 4. 4 2 2 4 1 y x x = − − 5. 4 2 2 2 y x x = − − 6. 4 2 2 1 y x x = − + 7. 4 2 3 2 2 x y x = − − 8. 4 2 4 y x x = − + Bài tập 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 1. 1 2 x y x − = + 2. 1 2 − = − x y x 3. 2 1 1 x y x − = + 4. 2 3 1 x y x − = + 5. 3 1 x y x + = − 6. 3 1 1 x y x + = − 7. 3 5 2 2 x y x + = + 8. 3 2 1 x y x − = + 9. 2 1 2 x y x + = − 10. 2 1 2 x y x − + = + 11. 2 1 2 x y x + = − 12. 2 1 x y x + = + 13. 1 2 + = − x y x Tài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp THPT THPTTHPT THPT môn Toán môn Toán môn Toán môn Toán MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn Sơn MATH.COM.VN - Trang 7 – MATHVN.COM BÀI TỐN 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Phương pháp Ví dụ - Tìm tập xác đònh. - Tính đạo hàm y’ = f’(x). Tìm các điểm i x (i = 1, 2 , …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh. - Sắp xếp các điểm i x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. - Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghòch biến (Hàm số đồng biến trên khoảng mà f’(x) > 0 và ngược lại). Ví dụ. Xét tính đồng biến, nghòch biến của hàm số 3 2 1 1 2 2 3 2 y x x x = − − + . Giải * Tập xác định: D = ℝ * Đạo hàm: 2 ' 2 y x x = − − , 1 ' 0 2 x y x = − = ⇔ = * Bảng biến thiên: x −∞ -1 2 + ∞ y’ + 0 - 0 + y * Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1) −∞ − , (2; ) +∞ , nghòch biến trên khoảng (-1 ; 2). BÀI TẬP: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 3 3 1 y x x = − + (TN THPT 2007 – Lần 2). BÀI TỐN 2: Định giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định 1. Định lí về dấu của tam thức bậc 2 Cho tam thức bậc 2: 2 ( ) f x ax bx c = + + ( 0 a ≠ ) có 2 4 b ac ∆ = − . Khi đó: - Nếu 0 ∆ < thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ . - Nếu 0 ∆ = thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ , trừ 2 b x a = − . - N ế u 0 ∆ > , gi ả s ử f(x) = 0 có 2 nghi ệ m 1 2 , x x ( 1 2 x x < ) ta có b ả ng xét d ấ u: x - ∞ 1 x 2 x + ∞ f(x) cùng d ấ u a 0 trái d ấ u a 0 cùng d ấ u a 2. Định giá trị của m Đối với hàm bậc 3 3 2 y ax bx cx d = + + + ( 0 a ≠ ) - T ậ p xác đị nh: D = R - Đạ o hàm: 2 ' 3 2 y ax bx c = + + . Đối với hàm nhất biến ax b y cx d + = + , d x c ≠ − TX Đ : D = \ d R c − . Đạo hàm: 2 . . ' ( ) a d b c y cx d − = + y đồng biến trên D ' 0 y ⇔ ≥ , x D ∀ ∈ y nghịch biến trên D ' 0 y ⇔ ≤ , x D ∀ ∈ y đồng biến trên từng khoảng của D ' 0 ⇔ ≥ y , x D ∀ ∈ y nghịch biến trên từng khoảng của D ' 0 ⇔ ≤ y , x D ∀ ∈ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Tài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp THPT THPTTHPT THPT môn Toán môn Toán môn Toán môn Toán MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn Sơn MATH.COM.VN - Trang 8 – MATHVN.COM 0 0 > ⇔ ∆ ≤ a 0 0 < ⇔ ∆ ≤ a 0 ⇔ − ≥ ad bc 0 ⇔ − ≤ ad bc Ví dụ: Định m để hàm số hàm số 3 2 1 ( 6) (2 1) 3 y x mx m x m = + + + − + đồng biến trên tập xác định. Giải. Tập xác định: D = R * 2 ' 2 6 y x mx m = + + + có 2 ' .1( 6) m m ∆ = − + 2 6 m m = − − * Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì 2 1 0 3 2 3 6 0 a m m m = > ⇔ − ≤ ≤ − − ≤ . Ví dụ: Định m để hàm số (2 1) 3 m x y x m − + = + đồng biến trên tập xác định. Giải. Tập xác định: D = R\{-m} * Ta có 2 2 2 (2 1) 3 2 3 ' ( ) ( ) m m m m y x m x m − − − − = = + + . * Để HS đồng biến trên TXĐ thì 2 1 ' 0 2 3 0 3 2 ≤ − ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≥ m y m m m . BÀI TẬP 1. Cho hàm số 3 2 ( 2) ( 1) 2 = + + − − − y x m x m x (1). Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. 2. Cho hàm số 3 2 3 2 1 2 + − + = mx y x x (1). Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó. 3. Cho hàm số 2 3 2 1 ( 1) 3 ( 1) 2 1 − = + − − + m y x m x x (1). Đị nh m để hàm s ố (1) đồ ng bi ế n trên t ậ p xác đị nh c ủ a nó. BÀI TỐN 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a ; b] Cho hàm s ố y = f(x) xác đị nh trên đ o ạ n [a ; b] Phương pháp Ví dụ * Tính đạo hàm y’. * Giải y’ = 0 tìm nghiệm 1 2 , x x … ( ; ) ∈ a b * Tính các giá trị 1 2 ( ), ( ), ( ), ( ) y a y b y x y x * Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên, ta có: max [ ; ] = y M a b min m [ ; ] = y a b Ví dụ. Tìm GTLN và GTNN c ủ a hàm s ố 3 2 3 2 = − + y x x trên đ o ạ n [-1 ; 1]. Giải * Đạ o hàm: 2 ' 3 6 3 ( 2) = − = − y x x x x Cho y’ = 0 = ⇔ − = ⇔ = 0(nhan) 3 ( 2) 0 2(loai) x ä x x x ï * Ta có y(-1) = 4 ; y(0) = 2 ; y(1) = 0 * V ậ y: max 4 [ 1;1] = − y đạ t đượ c t ạ i x = -1. min 0 [ 1;1] = − y đạt được tại x = 1. BÀI TẬP 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 3 1 y x x = − + trên đoạn [0 ; 2] (TN THPT 2007). 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 2 2 1 y x x = − + trên đoạn [0 ; 2] (TN THPT 2008 – Lần 1). 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 2 6 1 y x x = − + trên đoạn [-1 ; 1] (TN THPT 2008 – Lần 2). 4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2 1 2 3 7 3 = − + − y x x x trên đoạn [0 ; 2]. 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 ln(1 2 ) y x x = − − trên đoạn [-2 ; 0] (TN THPT 2009). Tài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp THPT THPTTHPT THPT môn Toán môn Toán môn Toán môn Toán MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn Sơn MATH.COM.VN - Trang 9 – MATHVN.COM 6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (3 ) = − x y x e trên đoạn [3 ; 3]. 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 x y x e = − trên đoạn [-1 ; 0]. BÀI TỐN 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của hàm số y = f(x) có đồ thị (C) tại điểm 0 0 0 ( ; ) M x y ∈ đồ thị (C) và có hệ số góc 0 '( ) k f x = là: Các bài tốn thường gặp: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): 1. Tại điểm có hồnh độ là x 0 , (tung độ 0 y ) biết trước. Cách giải: Thay x 0 , ( 0 y ) vào phương trình của (C) ta tìm được y 0, ( 0 x ) tương ứng. Lưu ý: + Tại giao của đồ thị (C) với trục tung: Ta có x 0 = 0. + Tại giao của đồ thị (C) với trục hồnh: Ta có y 0 = 0. 2. Có hệ số góc k cho trước. Cách giải: Từ phương trình k = f’( 0 x ) ta tìm được 0 x từ đó tìm được 0 y . 3. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d) y = ax + b. Cách giải: Vì tiếp tuyến // d k a ⇒ = , từ phương trình k = f’( 0 x ) = a ta tìm được 0 x từ đó tìm 0 y . 4. Biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng (d) y = ax + b. Cách giải: Vì tiếp tuyến vng góc với d nên k.a = -1 từ đó suy ra được k, từ phương trình k = f’( 0 x ) = a ta tìm được 0 x từ đó tìm 0 y . Ví dụ 1. Cho hàm số 1 2 x y x − = + , gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) . 1. Tại điểm có hồnh độ bằng -1 ; 2. Tại điểm có tung độ bằng 2 ; 3. Tại giao điểm của đồ thị với trục hồnh ; 4. Tại giao điểm của đồ thị với trục tung. Giải. 2 3 ' ( 2) y x = + . 1. Theo đề bài ta có x 0 = -1 ⇒ y 0 1 1 ( 1) 2 1 2 y − − = − = = − − + . Mặt khác hệ số góc k = y’(-1) = 2 3 3 ( 1 2) = − + . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 3(x + 1) hay y = 3x + 1. 2. Theo đề bài ta có y 0 = 2 0 0 0 1 2 5 2 x x x − ⇒ = ⇒ = − + . Mặt khác hệ số góc k = y’(-5) 2 3 1 ( 5 2) 3 = = − + . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y - 2 = 1 3 (x + 5) hay y = 3 x + 11 3 . 3. Theo đề bài ta có y 0 = 0 0 0 0 1 0 1 2 − ⇒ = ⇒ = + x x x . Mặt khác hệ số góc k = y’(1) = 1 3 . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 0 = 1 3 (x - 1) hay y = 1 3 x - 1 3 . 4. Theo đề bài ta có x 0 = 0 ⇒ y 0 = - 1 2 . Mặt khác hệ số góc k = y’(0) = 3 4 . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 1 2 = 3 4 (x - 0) hay y = 3 4 x - 1 2 . Ví dụ 2. Cho hàm số 2 1 x y x = − , gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết PTTT với đồ thị (C) 0 0 0 0 ( ) '( )( ) y y k x x f x x x − = − = − Tài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp THPT THPTTHPT THPT môn Toán môn Toán môn Toán môn Toán MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn SơnGV: Bùi Văn Sơn GV: Bùi Văn Sơn MATH.COM.VN - Trang 10 – MATHVN.COM 1. Tại điểm có hệ số góc bằng -2. 2. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 1 2 y x = − . 3. Biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng 9 1 2 y x = + . Giải 2 2 ' ( 1) y x − = − . 1. Theo đề bài ta có 0 2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 '( ) 2 2 ( 1) 1 2 0 2 ( 1) x y x x x x x x = − = − ⇔ = − ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = − . Với 0 0 0 0 x y = ⇒ = . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 0 = -2(x – 0) hay y = -2x. Với 0 0 2 4 x y = ⇒ = . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 4 = -2(x – 2) hay y = -2x + 8. 2. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng 1 2 y x = − nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 0 1 '( ) 2 y x = − . Ta có 0 2 2 0 0 0 0 2 0 0 3 2 1 '( ) ( 1) 4 2 3 0 1 ( 1) 2 = − = ⇔ = − ⇒ − = ⇒ − − = ⇒ = − − x y x k x x x x x . Với 0 0 3 3 x y = ⇒ = . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ( ) 1 3 3 2 y x − = − − hay 1 9 2 2 y x = − + . Với 0 0 1 1 x y = − ⇒ = . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ( ) 1 1 1 2 y x − = − + hay 1 1 2 2 y x = − + . 3. Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 9 2 y x = nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 0 2 '( ) 9 y x = − . Đến đây làm tương tự câu 2. Đáp án: Có 2 tiếp tuyến thoả mãn là 2 32 9 9 y x= − + và 2 8 9 9 y x = − + . BÀI TẬP 1. Viết PTTT với đồ thị hàm số 2 3 1 x y x + = + tại điểm có hồnh độ 0 3 x = − (TN THPT 2006). 2. Cho HS 4 2 2 1 y x x = − + có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm cực đại (TN THPT 2007). 3. Cho HS 3 2 1 x y x − = + có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có tung độ = -2 (TN THPT 2008). 4. Cho HS 2 1 2 x y x + = − có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5 (TN THPT 2009). 5. Cho HS 4 2 1 3 3 2 2 = − + y x x có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có hồnh độ bằng 2. 6. Cho HS 2 3 1 − = − x y x có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -x + 3. BÀI TỐN 5: Dùng đồ thị (C) y = f(x) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x) = m Phương pháp - Biến đổi, đưa phương trình về dạng: f(x) = m (1). - Đặt: y = f(x) (C). [...]... khi x đi MATH.COM.VN - Trang 13 – MATHVN.COM Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn qua 2 nghiệm đó * Vậy hàm số ln có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu với mọi m Hết chương I MATH.COM.VN - Trang 14 – MATHVN.COM MATHVN.COM Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán Chương II GV: Bùi Văn Sơn HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM... thị của 4 hàm số là (C) MATH.COM.VN - Trang 11 – MATHVN.COM Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán MATHVN.COM 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 Tìm các giá trị của m để phương trình 3 x − 3 x 2 + 2 + m + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt Giải 1 Học sinh tự làm GV: Bùi Văn Sơn hàm số là (C) 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 Tìm các giá trị của m để phương trình... Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn y=m (d) là đường thẳng song song với trục Ox - Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C) và (d) Dựa vào đồ thị, ta có: Hàm bậc 3: y = ax3 + bx 2 + cx + d Đồ thị Biện luận m > y CD * : (1) có 1 nghiệm m < yCT m = y CD : (1) có 2 nghiệm * m = yCT * yCT < m < yCD : (1) có 3 nghiệm Ví dụ: Khảo sát sự biến thi n và vẽ... (TN THPT 2007 – Lần 1) 4 x 2 − 6 x + 25 = 0 (TN THPT 2007 – Lần 2) 5 2 x 2 − 5 x + 4 = 0 (TN THPT 2006) 6 4 x 2 − 3 x + 1 = 0 8 x 2 − 4 x + 20 = 0 7 x 2 + 3 x + 3 = 0 Hết chương IV -MATH.COM.VN - Trang 24 – MATHVN.COM MATHVN.COM Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán GV: Bùi Văn Sơn PHẦN HÌNH HỌC Chương I + II DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH CÁC HÌNH, KHỐI 1 Thể tích... ABC là tam giác vng tại B, biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 4 (TN THPT 07L2) Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng đáy, đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a và SA = AC Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a MATH.COM.VN - Trang 25 – MATHVN.COM Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn Dạng 2 Biết hình chiếu vng góc của một đỉnh lên mặt đáy (... 0), ta được phương trình t = 6(nhan) ä 6 t − − 5 = 0 ⇔ t 2 − 5t − 6 = 0 ⇔ t ï t = −1(loai) Với t = 6 ⇔ 6 x = 6 ⇔ x = log 6 6 = 1 MATH.COM.VN - Trang 16 – MATHVN.COM Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6 Dạng 3: BPT mũ a ≤ a , (0 < a ≠ 1) Phương pháp - Nếu 0 < a < 1, ta có f(x) ≥ g(x) (BPT đổi chiều) - Nếu a > 1, ta... x − 1) > log 1 ( x + 2) ⇔ 2 x − 1 < x + 2 ⇔ x < 3 b Điều kiện: 3 3 Kết hợp ĐK ta được tập nghiệm là: T = ;3 2 1 MATH.COM.VN - Trang 17 – MATHVN.COM MATHVN.COM Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán GV: Bùi Văn Sơn BÀI TẬP Bài tập 1 Khơng sử dụng máy tính cầm tay Hãy tính: −0,75 1 1 a + 16 8 b 22−3 5.8 5 − c (0, 04) −1,5 (0,125) d (42 3 − 4 3 −1 ).2 −2 −5 4 3 3 ... e ≥9 i 49 x − 6.7 x − 7 < 0 4 3 j 52 x +1 > 5 x + 4 1 1 x c 5 x +1 < 25 Bài tập 6 Giải các bất phương trình sau: MATH.COM.VN - Trang 18 – MATHVN.COM x = 14 Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán a log 2 x ≥ log 2 (3 x − 1) b 2 log2 ( x − 1) − log2 (5 − x ) − 1 ≤ 0 c log 2 ( x + 2) + log 1 (3 − x ) ≥ 4 d log 1 (2 x + 4) ≥ 1 2 MATHVN.COM GV: Bùi Văn Sơn i log 1 ( x 2 − 6 x + 5)... nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b] b Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) Kí hiệu: ∫ f ( x)dx a MATH.COM.VN - Trang 19 – MATHVN.COM MATHVN.COM Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán GV: Bùi Văn Sơn b b ∫ f ( x )dx = F ( x ) |a = F (b) − F (a ) Công thức: a 4 Các bài tốn đổi biến số Bài tốn Ví dụ π b ∫ f [u ( x)].u '( x)dx Bài tốn 1: 2 a Phương pháp: - Đặt t = u (... − cos 2 x 0 3 x + 1dx 0 1 4 2 6 8 ∫ e 17 π ∫ 0 2 π 3 ∫ 1 − co s x dx 7 1 16 19 ∫ ex dx ex + 1 0 ln 5 (e x + 1)e x 20 ∫ dx ex + 1 ln 2 2 21 ∫ (6 x 2 − 4 x + 1)dx 1 MATHVN.COM Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán π π 4 5 GV: Bùi Văn Sơn 2 ∫ tan xdx 10 ∫ (2sin x + 3) cos xdx 0 0 5 Phương pháp tích phân từng phần b b a a b ∫ udv = uv |a − ∫ vdu a Cơng thức b Các bài tốn tích phân từng phần Bài tốn . thi T Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp THPT THPTTHPT THPT môn Toán môn Toán môn Toán môn. thi T Tài liệu ôn thi TTài liệu ôn thi T Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp ốt nghiệp THPT THPTTHPT THPT môn Toán môn Toán môn Toán môn