Câu 1. Chứng minh hệ thống được định nghĩa bởi quan hệ:    n k kxny )()( là một hệ thống tuyến tính. Câu 2. Chứng minh rằng hệ thống được định nghĩa bởi quan hệ: y(n) = x(M.n) với -∞ < n < ∞ và M là một số nguyên dương không phải là một hệ thống bất biến Câu 3. Tính tự tương quan của dãy x(n) = u(n) – u(n – 4). Câu 4. Xét trường hợp tín hiệu là tổng của hai hàm mũ thực: x(n) = (1/2) n u(n) - (-3) n u(-n-1) (*) Tính biến đổi Z. Câu 5. Xác định biến đổi Z của tín hiệu x(n) = na n u(n). Câu 6. Giả sử x(n) có biến đổi z là: với ROC là |z| > 1. Tìm x(n). Câu 7. Hãy xác định dãy nhân quả x(n) có biến đổi z là: Câu 8. Hãy xác định dãy x(n) mà biến dổi z của nó là: Câu 9. Hãy xác định biến đổi Z ngược của: khi: (a) ROC là |z| > 1 (b) ROC là |z| < 0.5 Câu 10. Đáp ứng xung của một hệ thống LTI nghỉ là h(n) = a n u(n), với |a| < 1. Hãy xác định đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào là tín hiệu nhảy bậc đơn vị khi n  . Câu 11. Xác định và vẽ phổ mật độ năng lượng S xx (ω) của tín hiệu : x(n) = a n u(n) với -1 < a < 1, cụ thể : a = 0,5 và a = -0,5 Câu 12. Xác định tín hiệu x(n), biết rằng phổ của nó là : Câu 13. Xác định biến đổi Fourier và phổ mật độ năng lượng của dãy Đồ thị của tín hiệu này được vẽ trong hình vẽ Câu 14. Xác định biến đổi Fourier của tín hiệu Câu 15. Xét một dãy có chiều dài hữu hạn L được định nghĩa như sau : Xác định DFT N điểm của dãy này với N ≥ L Câu 16. Hãy xác định tín hiệu ra của hệ thống có đáp ứng xung là : Với tín hiệu vào là 1 dãy hàm mũ phức : Câu 17. Hãy xác định biên độ và pha của H() cho một hệ thống được biểu diễn bởi quan hệ vào ra như sau : Và vẽ đồ thị của 2 hàm này với 0    . Câu 18. Hãy xác định đáp ứng của hệ thống có đáp ứng xung là : với tín hiệu vào là : Câu 19. Cho một hệ thống LTI được đặc tả bởi đáp ứng xung : Xác định phổ và phổ mật độ năng lượng của tín hiệu ra, khi hệ thống được kích thích bởi tín hiệu : Câu 20 Xác định và vẽ đồ thị đáp ứng biên độ, đáp ứng pha của hệ thống FIR được đặc tả bởi phương trình sai phân: 5.1 Loại câu 4 điểm (10 câu) Câu 1. Cho một hệ thống LTI có đáp ứng xung là : tín hiệu vào là: x(n) = a n u(n). Tính đáp ứng y(n) của hệ thống, với N> 0 và |a| <1. Câu 2. Xác định đáp ứng với tín hiệu vào x(n) = 0 của một hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc 2 như sau: y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = 0 Câu 3. Tìm đáp ứng y(n), với n ≥ 0, của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc hai như sau: y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = x(n) + 2x(n-1) tín hiệu vào là: x(n) = 4 n u(n). Hãy xác định nghiệm riêng của pt. Câu 4. Tìm đáp ứng y(n), với n < 0, của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng bậc hai y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = x(n) + 2x(n-1) x(n) = 4 n u(n) với điều kiện đầu là y(-1) = y(-2) = 0. Câu 5. Hãy xác định tương quan chéo rxy(n) của 2 dãy sau: x(n) = { …, 0, 0, 2, -1, 3, 7, 1, 2, -3, 0, 0, …} y(n) = { …, 0, 0, 1, -1, 2, -2, 4, 1, -2, 5, 0, 0, …} Câu 6. Xác định biến đổi Z của tín hiệu: (a) x(n) = (cos 0 n)u(n) (b) x(n) = (sin 0 n)u(n) Câu 7. Câu 8. Xác định đáp ứng với hàm nhảy bậc đơn vị của hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau: y(n)=0,9y(n-1) - 0,81y(n-2) + x(n) với các điều kiện đầu như sau: (a) y(-1) = y(-2) = 0 (b) y(-1) = y(-2) = 1 Câu 9 Xét tín hiệu : x(n) = a n u(n) , 0 < a < 1 phổ của tín hiệu này được lấy mẫu ở các tần số (k =, k = 0, 1, , N-1. Xác định phổ được khôi phục với a=0,8 khi N=5 và N = 50. Câu 10. Một hệ thống LTI được mô tả bởi phương trình sai phân như sau : y(n) = a y (n-1) + b x (n), 0 < a < 1 (a) Xác định biên độ và pha của đáp ứng tần số của hệ thống. (b) Chọn tham số b sao cho giá trị cực đại của |H(ω)| là đơn vị, vẽ đồ thị |H(ω)| và  H(ω) với a = 0,9. (c) Xác định đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào là : 6. ĐÁP ÁN 6.1 Loại câu 3 điểm (20 câu) Câu 1. = a.y 1 (n) + b.y 2 (n) với a và b là các hằng số bất kỳ. Vậy hệ thống này là một hệ thống tuyến tính. Câu 2. Chứng minh: Gọi y 1 (n) là đáp ứng của tác động x 1 (n), với x 1 (n) = x(n – n d ), thì: y 1 (n) = x 1 (Mn) = x(Mn – n d ) Nhưng: y(n-n d ) = x[M(n-n d )] ( y 1 (n) Ta thấy x 1 (n) bằng x(n) được dịch n d mẫu, nhưng y 1 (n) không bằng với y(n) trong cùng phép dịch đó. Vậy hệ thống này không là hệ thống bất biến, trừ khi M = 1. Câu 3. Giải: Cách tính tự tương quan bằng đồ thị được trình bày trong hình vẽ. Câu 4. Giải: Để X(z) hội tụ, hai tổng trong pt (*) phải hội tụ, điều kiện là: |(1/2)z-1| < 1 và |(-3)-1z| < 1 hay |z| > 1/2 và |z| <3 . Vì vậy, ROC là miền 1/2 < |z| < 3. Đồ thị cực-zero và ROC được trình bày trong hình 2. Và: Câu 5. Giải: Đặt x 1 (n) = a n u(n), ta được x(n) = nx 1 (n) . Ta đã biết: Câu 6. Giải: Từ ROC của X(z), ta thấy x(n) là một dãy bên phải. Vì M = N và tất cả các cực đều là bậc nhất. Ta có thể biểu diễn X(z) dưới dạng sau. (Hệ số B0 được tìm bởi phép chia đa thức tử số cho đa thức mẫu số) X(z) được viết lại: Đặt , ta sẽ khai triển Xht(z) thành tổng của 2 phân thức đơn giản, các hệ số A1 và A2 được tính như sau: Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: x(n) = 2(n) – 9 (1/2) n u(n) + 8 u(n) Câu 7. Giải: Ta thấy X(z) có một nghiệm kép bậc 2 tại z = 1, ta viết lại X(z) dưới dạng: Các hệ số A và C 2 có thể tính được một cách dễ dàng như sau: Để tính C 1 , ta viết lại: Áp dụng phương pháp tra bảng kết hợp với các tính chất tuyến tính, vi phân trong miền z, với x(n) là một dãy nhân quả, ta thu được: X(n) = ¼ (-1) n u(n) + ¾ u(n) + ½ n u(n) = [¼ (-1) n + ¾ + n/2]u(n) Câu 8. Ta thấy X(z) cũng có dạng hàm hữu tỉ, nhưng chỉ có một cực là z = 0, Ta có thể khai triển thành một chuỗi lũy thừa như sau: Câu 9. Giải: (a) Từ ROC của X(z) ta thấy x(n) là một dãy bên phải. Vì vậy , ta sẽ tìm một khai triển chuỗi lũy thừa với số mũ âm. Bằng cách chia tử cho mẫu xếp theo số mũ âm dần, ta được: Ta được: (b) Từ ROC của X(z), ta thấy x(n) là một dãy bên trái. Vì vậy, ta phải thực hiện phép chia sao cho thu được khai triển lũy thừa dương của z. Muốn vậy, ta xếp các đa thức tử số và mẫu số theo thứ tự sao cho lũy thừa của z-1 giảm dần (tức số mũ ít âm dần cho đến 0). Ta thực hiện phép chia như sau: Ta thu được: Câu 10. Giải: [...]... Kết quả : Câu 18 Giải : Đáp ứng tần số của hệ thống đã được cho trong phương trình Số hạng đầu tiên của tín hiệu vào là một tín hiệu hằng, có tần số ω = 0, ở tần số này: Vậy đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào x(n) là : Câu 19 Giải : Câu 20 Giải : Đồ thị của đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ thống này 6.2 Loại câu 4 điểm (10 câu) Câu 1 Giải: - Với n < 0: Hình 1(a) trình bày hai dãy x(k) và h(n-k)... Sxx(-ω) = Sxx(ω) Hình 3 vẽ tín hiệu x(n) và phổ tương ứng với a = 0,5 và a = -0,5 Ta thấy với a=-0,5 tín hiệu biến đổi nhanh hơn và kết quả là phổ của nó tập trung ở vùng tần số cao Câu 12 Giải : Ta có : Khi n = 0, ta có : Vậy: Cặp biến đổi Fourier được minh họa trong hình vẽ Ta thấy, x(n) là một tín hiệu có năng lượng hữu hạn và E x = Câu 13 Giải : Tín hiệu đã cho là tín hiệu khả tổng tuyệt đối thật... là một tín hiệu có năng lượng hữu hạn, ta tính được E x = A2L Biến đổi Fourier của tín hiệu có thể được tính như sau : Cho ω = 0, ta có X(0) = AL (dùng qui tắc L’Hospital) Phổ biên độ của x(n) là : Hình vẽ trình bày phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu với A = 1 và L=5 phổ mật độ năng lượng chỉ là bình phương của phổ biên độ Câu 14 Giải : Rõ ràng x(-n) = x(n) Vậy x(n) là một tín hiệu thực và chẳn... -14, 33, 0, 7, 13, -18, 16, -7, 5, -3, 0, 0,…} Câu 6 Giải: (a) Tín hiệu x(n) có thể được biểu diễn bởi các hàm mũ phức theo công thức Euler: Sau một số thao tác đại số được kết quả: (b) Tương tự , tín hiệu x(n) có thể được biểu diễn bởi các hàm mũ phức theo công thức Euler: Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: Sau một số thao tác đại số được kết quả: Câu 7 Đường cong kín C nằm trong ROC của X(z) nên... phổ biên độ và pha được tính như sau : Câu 15 Giải : Biến đổi Fourier của dãy này là : Biên độ và pha của X(ω) được vẽ trong hình vẽ với L = 10 DFT N điểm của x(n) đơn giản là giá trị của X(ω) tại tập N tần số ωk =, k = 0,1, N-1 , vậy : Nếu N được chọn sao cho N = L, thì DFT trở thành : Câu 16 Giải : Đáp ứng tần số : Câu 17 Giải : Đáp ứng xung của hệ thống là : Đáp ứng tần số (sử dụng tính chất dịch... = -1 và 2 = 4, nghiệm của phương trình thuần nhất có dạng tổng quát là: yh(n) = C1n1 + C2n2 = C1(-1)n + C2(4)n Đáp của hệ thống với tín hiệu vào bằng 0 có thể thu được bằng cách tính giá trị các hằng số C1 và C2 dựa vào các điều kiện đầu Các điều kiện đầu được cho thường là giá trị của đáp ứng ở các thời điểm n=-1; n = -2; ; n = -N Ở đây, ta có N=2, và các điều kiện đầu được cho là y(- 1) và y(-2),... u(n) Rõ ràng, nếu ta kích thích một hệ thống nhân quả với một tín hiệu vào nhân quả thì tín hiệu ra cũng nhân quả Vì x(n), h(n) và y(n) đều là các dãy nhân quả, nên biến đổi Z một phía và biến đổi Z hai phía là đồng nhất Áp dụng tính chất chập ta được: Vì |a| < 1 nên ROC của (z-1)Y(z) chứa vòng tròn đơn vị Áp dụng định lý giá trị cuối, ta được: Câu 11 Giải Biến đổi Z của x(n) là: X(z) = , với ROC : z>... (4/5)y(-2) C2 = (16/5)y(-1) + (16/5)y(-2) Vậy đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào bằng 0 là: yh(n) = [(-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2)](-1)n + [(16/5)y(-1) + (16/5)y(-2)](4)n Giả sử, y(-2)=0 và y(-1)=5, thì C1=-1 và C2 =16 Ta được: yh(n) = (-1)n+1 + (4)n+2 , với n  0 Câu 3 Giải: Nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất cho hệ thống này như trong câu hỏi 3.: yh (n) = C1(-1)n + C2(4)n Nghiệm riêng của được giả thiết... y(n) của hệ thống với các điều kiện đầu bằng 0, với tín hiệu vào là x(n) = (4)nu(n) có dạng: Câu 5 Giải: Theo định nghĩa ta tính rxy với từng giá trị n  v0(k) = x(k)y(k) = {…, 0, 0, 2, 1, 6, -14, 4, 2, 6, 0, 0,…} Sau đó lấy tổng tất cả các mẫu của v0(k), ta được: rxy(0) = 7  Với n > 0, ta dịch y(k) sang phải n mẫu, tính tích vn(k) = x(k)y(k-n) và sau đó cộng tất cả các mẫu của vn(k), ta thu được:... tiêu Để đơn giản về mặt toán học, ta chọn n = 2 và tính được K = 6/5 Vậy: yp(n) = (6/5)n(4)nu(n) Câu 4 Giải: Nghiệm tổng quát của pt là: y(n) = yh(n) + yP(n) = C1(-1)n + C2(4)n + (6/5)n(4)n, với n≥0 với các điều kiện đầu là các giá trị y(-1) = y(-2) = 0, ta tính y(0) và y(1) và thành lập được hệ phân trình: C1 + C2 = 1 -C1 + 4C2 + 24/5 = 9 suy ra: C1 = -1/25 và C2 = 26/25 Cuối cùng ta thu được đáp ứng . của hệ thống với tín hiệu vào là tín hiệu nhảy bậc đơn vị khi n  . Câu 11. Xác định và vẽ phổ mật độ năng lượng S xx (ω) của tín hiệu : x(n) = a n u(n). Câu 18. Giải : Đáp ứng tần số của hệ thống đã được cho trong phương trình Số hạng đầu tiên của tín hiệu vào là một tín hiệu hằng, có tần số ω