Đang tải... (xem toàn văn)
Viết chi tiết, đầ đủ các dạng về giới hạn
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (u n ) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: ( ) lim 0 hay u 0 khi n + . n u n n = → → ∞ →+∞ b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (u n ) có giới hạn là a hay (u n ) dần tới a khi n dần tới vô cực ( n → +∞ ), nếu ( ) lim 0. n n u a →+∞ − = Kí hiệu: ( ) n lim hay u khi n + . n n u a a →+∞ = → → ∞ Chú ý: ( ) ( ) lim lim n n n u u →+∞ = . 2. Một vài giới hạn đặc biệt. a) * k 1 1 lim 0 , lim 0 , n nn + = = ∈¢ b) ( ) lim 0 n q = với 1q < . c) Lim(u n )=c (c là hằng số) => Lim(u n )=limc=c. 3. Một số định lý về giới hạn của dãy số. a) Định lý 1: Cho dãy số (u n ),(v n ) và (w n ) có : * n v n n n u w≤ ≤ ∀ ∈¥ và ( ) ( ) ( ) n lim lim lim u n n v w a a= = ⇒ = . b) Định lý 2: Nếu lim(u n )=a , lim(v n )=b thì: ( ) ( ) ( ) lim lim lim n n n n u v u v a b± = ± = ± ( ) lim . lim .lim . n n n n u v u v a b= = ( ) ( ) ( ) * n lim lim , v 0 n ; 0 lim n n n n u u a b v v b = = ≠ ∀ ∈ ≠¥ ( ) ( ) lim lim , 0 ,a 0 n n n u u a u = = ≥ ≥ 4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với 1.q < 1 lim lim 1 n u S q = − 5. Dãy số dần tới vô cực: a) Ta nói dãy số (u n ) dần tới vô cực ( ) n u → +∞ khi n dần tới vơ cực ( ) n → +∞ nếu u n lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(u n )= +∞ hay u n → +∞ khi n → +∞ . b) Ta nói dãy số (u n ) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ nếu lim ( ) n u− = +∞ .Ký hiệu: lim(u n )= −∞ hay u n → −∞ khi n → +∞ . c) Định lý: 0 1 k n Limn khi k Limq khi q = +∞ > = +∞ > Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923 1 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN - lim ; lim lim 0 n n n n u u a v thi v = = ∞ = - lim n u a= ; lim 0 n v = Khi đó ta có lim 0 lim 0 n n n n u khi a v u khi a v = +∞ > = −∞ < B. BÀI TẬP: Dạng 1: Tính giới hạn của dãy số dựa vào các định lí và các giới hạn cơ bản Giới hạn của dãy số (u n ) với ( ) ( ) n P n u Q n = với P,Q là các đa thức: o Nếu bậc P = bậc Q hệ số cao nhất của P là a 0 , hệ số cao nhất của Q là b 0 thì chia tử số và mẫu số cho lũy thừa bậc cao nhất để đi đến kết quả : ( ) 0 0 lim n a u b = . o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q thì chia tử và mẫu cho cho lũy thừa bậc cao nhất để đi đến kết quả :lim(u n )=0. o Nếu bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất để đi đến kết quả lim(u n )= ∞ . Giới hạn của dãy số dạng: ( ) ( ) n f n u g n = , f và g là các biển thức chứa căn. o Chia tử và mẫu cho n k với k chọn thích hợp. o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. VÍ DỤ. 1. 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 5 3 3 2 5 3 lim lim lim 1 8 7 8 7 8 7 7 n n n n n n n n n n n n n n + + + + + + = = + − + − + − 2. 2 2 2 1 1 4 1 4 1 4 1 4 5 lim lim lim 3 2 2 3 2 3 3 3 n n n n n n n n n n + + + + + + + = = = = − − − 3. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 lim 2 3 lim lim 2 3 2 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n + + − + + + + + − + + − = = + + + + + + 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 lim lim lim 1 1 1 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n + + + = = = = = + + + + + + + + + + ÷ Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923 2 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN 2 2 3n n n+ + + là biểu thức liên hợp của 2 2 3n n n+ + − 4. ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 . 1 2 4 8 2 3 1 2 n− + − + + − + + − + = = ÷ ÷ ÷ − − ÷ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội 1 2 q = − và số hạng đầu u 1 =1. 5. 3 3 3 2 3 2 2 2 3 3 2 1 2 1 1 2 1 lim lim lim 1 1 3 2 3 2 3 n n n n n n n n n n n n n n n − + − + − + = = = +∞ − + − + − + . 6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2. lim 2 lim 2 2. n n n n n n n n n n n n + − + + + + + − = + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 lim lim 2 2. 2 2. n n n n n n n n n n n n + − + − = = + + + + + + + + ( ) 2 2 3 3 3 3 2 lim 0 2 2.n n n n = = + + + + Dạng 2: Tính giới hạn của dãy số dự vào giới hạn kẹp pp: Giả sử J là một khoảng chứa 0 x và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp { } 0 \J x . Khi đó: { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 \ : lim lim lim x x x x x x x J x g x f x h x f x L g x h x L → → → ∀ ∈ ≤ ≤ ⇒ = = = VÍ DỤ. Bài 1: Chứng minh: 2 4 sin lim 0 1 x x x x →+∞ = + Giải: Ta luôn có: ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 4 4 sin | | 1 1 1 1 x x x x x f x f x x x x x = ≤ ⇒ − ≤ ≤ + + + + 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 1 1 sin lim lim 0; lim lim 0 lim lim 0 lim 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →+∞ →−∞ →+∞ = = = = ⇒ = = ⇒ = + + + + + + + Bài 2: Chứng minh: ( ) 1 cos lim 0 n n n − = Giải: Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923 3 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN Ta có: ( ) 1 cos 1 n n n n − ≤ và 1 lim 0 n = nên ( ) 1 cos lim 0 n n n − = C. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1 tìm các giới hạn sau: 1. 2 1 lim 1 n n + + 2. 2 2 3 4 1 lim 2 3 7 n n n n − + + − + 3. 3 3 4 lim 5 8 n n n + + + 4. ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 lim 6 1 n n n n + + + 5. 2 1 lim 2 n n + + 6. 2 4 lim 3 2 n n n + − + 7. ( ) ( ) 3 2 1 lim 6 1 n n n + + 8. 3 2 lim 1 n n + + 9. ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 3 2 lim 6 1 n n n n + + + Bài 2 tìm các giới hạn sau: 1. 2 1 lim 2 3 n n + + 2. 2 1 lim 2 2 n n + + + ds2 3. 1 lim 1 n n + + ds1 4. 2 lim 1 n n n − + + (ds 0) 5. 3 3 2 lim 2 n n n + + + d s1 6. 3 3 2 1 1 lim 3 2 n n + − + − 7. 2 3 3 2 1 lim 1 3 n n n n n n + + + + + Bài 3 tìm các giới hạn sau: 1. ( ) lim 1n n+ − ds0 2. ( ) 2 2 lim 5 1n n n n+ + − − ds3 3. ( ) 2 2 lim 3 2 1 3 4 8n n n n+ − − − + 4. ( ) 2 lim 4n n n− − (ds-2) 5. ( ) 2 lim 3n n− + (ds0 ) 6. ( ) lim 1n n+ + 7. ( ) 2 3 3 lim n n n− + ds1/3 8. ( ) 3 3 lim 1n n− + ds0 9. 3 3 2 1 lim 1 n n n n + − + − 10. ( ) 3 2 2 3 lim 3 1 4n n n n− + − + Bài 4 tìm các giới hạn sau: 1. 1 4 lim 1 4 n n − + 2. 1 2 3 4 lim 3 4 n n n n + + − + 3. 3 4 5 lim 3 4 5 n n n n n n − + + − 4. 1 1 2 6 4 lim 3 6 n n n n n + + + − + 5. 2 2 3 4 1 lim 2 n n n n − + + Bài 5 tìm các giới hạn sau: Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923 4 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN 1. sin lim 1 n n π + 2. 2 sin10 cos10 lim 2 n n n n + + Bài 6 tìm các giới hạn sau: 1. 2 1 3 5 (2 1) lim 3 4 n n + + + + + + ds1/3 2. 2 1 2 3 lim 3 n n + + + + − ds1/2 3. 2 2 2 2 1 2 3 lim ( 1)( 2) n n n n + + + + + + ds1/3 4. 1 1 1 lim 1.2 2.3 ( 1)n n + + + + ds1 5. 1 1 1 lim 1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n + + + − + Bài 7 Tính các tổng sau: 1. 1 1 1 2 4 S = + + + 2. 1 1 1 1 3 9 27 S = − + − + 3. 2 3 1 0,1 (0,1) (0,1) S = + + + + 4. 2 3 2 0,3 (0,3) (0,3) S = + + + + ___________________________________________________________________________ Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923 5 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (x n ), x n ∈ K và x n ≠ a , * n∀ ∈¥ mà lim(x n )=a đều có lim[f(x n )]=L.Kí hiệu: ( ) lim x a f x L → = . 2. Một số định lý về giới hạn của hàm số: Dạng 1: Tính giới hạn bằng định nghĩa Bài 1: : Cho hàm số 2 6 ( )f x x = . Chứng minh rằng: lim ( ) 0 x f x →−∞ = và lim ( ) 0 x f x →+∞ = . Giải: Hàm số đã cho xác định trên (- ∞ ; 0) và trên (0; + ∞ ). Giả sử ( n x ) là một dãy số bất kỳ, n x < 0 và n x → − ∞ Ta có 2 6 lim ( ) lim 0 n n f x x = = Vậy 2 6 lim ( ) lim 0 x x f x x →−∞ →−∞ = = Tương tự, lim ( ) 0 x f x →+∞ = . Dạng 2: Tính giới hạn ở dạng vô định Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923 6 GV: NGUYN C KIấN CHUYấN ấ GII HN Loi 1: Dng o o Khi tỡm gii hn dng ( ) ( ) 0 lim x x P x Q x , vi ( ) ( ) 0 0 lim lim 0 x x x x P x Q x = = : Vi P(x), Q(x) l nhng a thc nguyờn theo x thỡ ta chia c t P(x) v mu Q(x) cho 0 x x Nu P(x), Q(x) cha du cn thc theo x thỡ ta nhõn c t P(x) v mu Q(x) cho lng liờn hip. Vớ d: ( Baứi 4.57-tr-143-BTGT11-NC). Tỡm caực giụựi haùn sau Baứi giaỷi : Vỡ , thỡ x+2<0 ,nờn Vớ d 2 ( Bai 4.59-tr144-BTGT11-NC) Vn lang- Hng H- Thỏi Bỡnh 01649802923 7 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN giải : Loại 2: Dạng ∞ ∞ • Đặt m x (m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử u(x) và mẫu v(x)hoặc chia cả tử và mẫu cho m x (m là bậc cao nhất) • Sử dụng kết quả: 1 lim 0 x x α →∞ = Ví dụ1. (Bai 32-tr159-GT11-NC) Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923 8 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN Bài giải Ví dụ 2. (Bai 44-tr167-GT11NC) Tìm caùc giôùi haïn sau Bài giải Ví dụ 3: Tính giới hạn 2 2 3 (2 1) 1. (5 1)( 2 ) x x x lim x x x →−∞ − − + 2 1 2. 1 x x x lim x x →+∞ + + + Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923 9 GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐÊ GIỚI HẠN 2 3 2 3 lim 3 1 x x x x x →−∞ − + − ; 2 2 2 3 1 4. 4 1 1 x x x x lim x x →±∞ + + + + + + − ( 1)( 1) 5. ( 2)( 1) x x x x x lim x x →+∞ + − + + − Bài giải . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 2 3 2 1 3 (2 1) 6 1. lim lim 1 2 (5 1)( 2 ) 5 1 2 5 5 1 x x x x x x x lim x x x x x x x →−∞ →−∞ →−∞ − ÷ − − = = = − + − + − + ÷ ÷ 2 2 2 1 1 1 2. 0 1 1 1 1 x x x x x x lim lim x x x x →+∞ →+∞ + + = = + + + + 2 3 3 1 2 1 2 3 2 1 3 lim lim lim 1 1 3 1 3 3 3 x x x x x x x x x x x x x x →−∞ →−∞ →−∞ − + − − + − + = = = − − − ÷ 2 2 2 2 1 2 1 4 0 1 3 2 3 1 4. 2 0 1 1 4 1 1 4 1 3 x x khi x x x x x x x x x lim lim khi x x x x x x →±∞ →±∞ > + + + + ÷ + + + + = = − < + + − + + − ÷ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 1 1 ( 1)( 1) 5. ( 2)( 1) 2 2 2 1 1 1 1 1 : ; , 1 2 2 1 x x x x x x x x x x x x lim lim lim x x x x x x x t t lim khi t x khix t t t t →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + − + − + − + = = + − − + − + − + − = = = → +∞ → ∞ − + − Loại 3: ∞ − ∞ pp Hoặc Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình 01649802923 10