BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ___________________ Hoàng Quốc Công PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI MỘT ĐẦU BIÊN CHỨA SỐ HẠNG MEMORY Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 . 46 . 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2010 LỜI CẢM ƠN Lúc đầu khi nhận đề tài này, với vốn kiến thức còn hạn hẹp tôi đã gặp phải rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên, với sự hướng dẫn tận tình và mang tính khoa học của Thầy hướng dẫn, TS. Nguyễn Thành Long, tôi đã dần khắc phục được các khó khăn trên để hoàn thành đề tài này. Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long, người đã tận tình dìu dắt tôi vượt qua nhiều trở ngại trong suố t thời gian thực hiện đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong và ngoài trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh, những người đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cũng như tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu của mình cho tôi trong suốt thời gian tôi học tập và làm việc. Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô trong Hội đồng đã dành thời gian để đọc và cho những nhận xét rất có giá trị khoa học đối với luận văn của tôi. Cuối cùng, tôi xin gửi lòng biết ơn của mình đến gia đình và các bạn tôi, những người đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này và cho tôi những lời khuyên, lời động viên vô cùng hữu ích. Hoàng Quốc Công Chương 1 PHẦN TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tôi xem xét phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên và điều kiện đầu dưới đây    2 2 , , 0 1 , 0 q p tt xx t t utuKuuuufxt x tT        (1.1)          0 0, 0, , 1, 0 t x tu t kt su sds u t     (1.2)       01 ,0 , ,0 t ux ux ux ux (1.3) trong đó ,2, ,0pq K   là các hằng số cho trước và 01 ,,, , f ku u  là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Bài toán (1.1) – (1.3) có nhiều ý nghĩa trong Cơ học mà nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây [3] – [10]. Về mặt toán học, ta có thể nói rằng bài toán (1.1) – (1.3) là sự kết hợp những đặc điểm quan trọng của hai bài báo đã được công bố trước đây [3] và [4]. Trong [3], Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, và Nguyễn Thị Thảo Trúc đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệ m cũng như tính chính quy, tính ổn định và khai triển tiệm cận nghiệm của bài toán   () , ,0 1,0 , tt xx t utuKuufxt x tT     (1.4) 11 0 () (1,) () (1,) () (1,) () ( ) (1, ) , (1, ) 0, t xt tu t K tu t tu t gt kt su sds ut       (1.5) 01 ( ,0) ( ) , ( ,0) ( ), t ux u x u x u x (1.6) trong đó , K  là các hằng số, và 11 01 ,, ,,,, , f Kgkuu   là các hàm cho trước. Như vậy, số hạng 22 qp tt Ku u u u    trong (1.1) là sự tổng quát hóa từ số hạng t Ku u   trong (1.4). Các điều kiện biên (1.2) – (1.3) cũng chính là (1.5) – (1.6) sau khi đã hoán đổi 2 đầu biên 0 x  và 1 x  , đồng thời làm triệt tiêu các hàm K 1 , λ 1 và g. Sự đặc biệt hóa này tưởng chừng sẽ mang lại thuận lợi cho chúng ta khi nghiên cứu (1.1) – (1.3), nhưng thật ra nó lại khiến chúng ta gặp đôi chút khó khăn hơn trong các ước lượng khi mà điều kiện cực tiểu cho hàm λ 1 lúc này không còn là một giá trị dương nữa. Trong [5], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, và Trần Ngọc Diễm đã khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm, tính chính quy, và khai triển tiệm cận của nghiệm của bài toán sau đây   ,,0 1,0 , tt xx t t uu Kuu uu fxt x tT        (1.7)    0, , x utPt  (1.8)      11 1, 1, 1, 0, xt utKut ut   (1.9)       01 ,0 , ,0 , t ux u x u x u x (1.10) trong đó 11 ,, , ,,KK   là các hằng số cho trước; 01 ,, f uu là các hàm cho trước; hàm   ,uxt cần tìm và giá trị biên chưa biết  Pt thỏa mãn bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường dưới đây       2 01 0, , 0 0 , 0 tt Pt Pt hu t t T PPP P            (1.11) với 01 0, 0, ,hPP   là các hằng số cho trước. Từ (1.11), nếu ta giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng, ta sẽ có         0 0, 0, t P t g t hu t k t s u s ds   trong đó           00 11 1 0 cos 0 sin , sin .gt P hu t P hu t kt h t        Ta nhận xét thấy phương trình (1.1) mà ta đặt ra là một trường hợp tổng quát hơn của phương trình (1.7) trong bài toán (1.7) – (1.11), có được bằng cách thêm hàm hệ số  t  vào trước số hạng tt u . Hai điều kiện biên (1.3) và (1.10) là như nhau, trong khi điều kiện biên (1.2) lại là trường hợp đặc biệt của (1.8) – (1.9), (1.11). Nội dung chính của luận văn gồm các chương mục được trình bày theo thứ tự sau: Chương 1 là phần mở đầu tổng quan về bài toán mà ta sẽ khảo sát trong luận văn, chỉ ra vài kết quả quan trọng đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn. Ch ương 2 trình bày một số kết quả chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại một số không gian Sobolev, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian. Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3). Chương 4 nghiên cứu tính trơn của nghiệm đối với dữ kiện ban đầu. Chương 5 nghiên cứu tính ổn định của nghiệm đối với dữ kiện ban đầu, tức là hàm  01 01 ,,, , ,,, , f ku u u f ku u   , nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3), là liên tục theo nghĩa mà ta sẽ chỉ ra khi xem xét vấn đề này. Chương 6 nghiên cứu bài toán nhiễu theo hai tham số bé   ,K  :          2 2 , 0 01 () ( ,),0 1,0 , () 0, 0, , 1, 0, ,0 , ,0 , q p tt xx t t t Kx t utuKuuuufxtx tT Ptutktsusdsut ux u x u x u x                     trong đó các tham số 01 ,,, , f ku u  cho trước. Cụ thể như sau a/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu , K uu   của bài toán  ,K P  khi 0K   và 0    . b/ Nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu , K uu   của bài toán  ,K P  theo hai tham số bé K, λ, có nghĩa là có thể xấp xỉ nghiệm , K u  bởi một đa thức theo hai biến K, λ:      , ,, ij ij K ijN uxt UxtK      theo nghĩa cần phải chỉ ra các hàm    , ij Uxt và thiết lập đánh giá     1 22 , * , N ij ij KN ijN uUxtKCK       theo một chuẩn thích hợp * || || , với các tham số dương K, λ đủ bé và hằng số N C độc lập đối với các tham số bé này. Chương 7 trình bày một bài toán cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm tiệm cận của bài toán nhiễu ở trên. Sau cùng là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 2 MỘT SỐ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Ta đặt các kí hiệu:    0,1 , 0, , 0 T QTT   . Chúng ta bỏ qua các định nghĩa của các không gian hàm     , , , mp mp CLW  . Ta có thể xem trong [1]. Để tạo thuận lợi khi trình bày và làm cho luận văn gọn gàng, ta sẽ quy ước một vài kí hiệu vắn tắt như sau:       ,, 0, ,2 , , , 1 , 0,1, mp mp p p p m m WW LL W HW p m Chuẩn trong L 2 kí hiệu là || || . Kí hiệu ,   chỉ tích vô hướng trong L 2 hay tích đối ngẫu của một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của không gian hàm. Kí hiệu || || X  dùng để chỉ chuẩn trong một không gian Banach X, và X / là không gian đối ngẫu của X. Ta kí hiệu  0, ; p LTX là không gian Banach các hàm thực đo được  :0,uT X sao cho   1 0, ; 0 p T p p LTX X uutdt      với 1 p   và   0, ; 0 sup LTX X tT uessut    khi p   Ta viết             , , , , tttxxx ut u t u t u t u t u t u t   để chỉ   ,,uxt     22 22 ,, ,, ,, , uuuu x txtxtxt tt xx     , theo thứ tự đó. Ta lại đặt       1 0,1 : 1 0VvH v   và xét tích vô hướng    1 0 , uv auv x xdx xx     Khi đó, V là một không gian con của H 1 , và trên V, chuẩn   , x V vavvv tương đương với chuẩn 1 H v cảm sinh trên V. Từ đây ta có bổ đề sau Bổ đề 2.1. Phép nhúng V ↪  0 C  là compact và   0 0,1 , CV vvvV   Bổ đề 2.2. (Bổ đề Gronwall) Giả sử  và u là các hàm liên tục trên [,],ab trong đó  xác định không âm,  là một hằng số dương (không phụ thuộc t). Khi đó, nếu    , , t a ut susds t ab     thì    exp , , t a ut sds t ab       Bổ đề 2.3. [2] (Bổ đề về tính compact của Lions) Cho ba không gian 01 ,,XXX thỏa 01 ,XX phản xạ, 0 X ↪ X compact, X ↪ 1 X liên tục Với 0, 1,Tpq , ta đặt       01 0, ; : 0, ; pq WuL TX uLTX    và trang bị cho W một chuẩn   01 0, , 0, , pq WLTX LTX vv v   Khi đó, phép nhúng W ↪  0, ; p LTX là compact. Chương 3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1.1) – (1.3) với những giả thiết về các dữ kiện đầu vào như sau: (GT1) ,0 ; ,2Kpq   (GT2) 2 01 , uH VuV  (GT3)  2,1 0,kW T (GT4)    2 0, ; 0 o HT t   (GT5)  2 , tT f fLQ Định lý 3.1. Nếu các giả thiết (GT1) – (GT5) được thỏa thì bài toán (1.1) – (1.3) có duy nhất một nghiệm yếu u với các tính chất      212 0, ; ; 0, ; ; 0, ; ttt uL TV H u L TH u L TL    và   1, 0, 0,uWT   Chứng minh. Gọi   j w là một cơ sở đếm được của không gian 2 VH . Ta sẽ tìm nghiệm xấp xỉ theo phương pháp Galerkin của bài toán (1.1) – (1.3) dưới dạng 1 () () , m mmjj j ut c tw    trong đó, các hàm hệ số  mj ct thỏa mãn hệ phương trình vi phân thường         0 ,,00, t mj mxjxj m utw tu tw w ktsu sds          22 ,, ; 1 pq mm mmj j Ku t u t u t u t w f t w j m       00 1 ,0 m mmmjj j uu wu        mạnh trong 2 H  11 1 ,0 m mmmjj j uu wu        mạnh trong 1 H (3.1) Với các giả thiết (GT1) – (GT5) được thỏa, hệ phương trình vi phân (3.1) có nghiệm u m trên   0, m T tương ứng. Các ước lượng sau cho phép ta chọn m TT  với mọi m. Ước lượng tiên nghiệm 1. Nhân lần lượt các phương trình thứ j của (3.1) 1 với  mj ct  , sau đó cộng các vế tương ứng với nhau rồi lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t, ta thu được đẳng thức sau            2 00 0 2 0, 0, 2 0 0, tt mm m m m St S u tkt u d k u sds          2 000 20, 0, tts mx m m su s ds u s ks u dds        0 2, t m f su sds    (3.2) trong đó       22 0 2 2 pq t pq mm mx m m LL K St ut tu t ut us ds p       (3.3) Từ (3.3) và (GT4), ta thấy rằng    22 0mm mx St ut u t    (3.4) Từ (3.4) và bổ đề 1, ta có đánh giá       0 0 0,1 , m mm mx C St uxt ut u t     (3.5) Dưới đây là các đánh giá vắn tắt cho từng số hạng trong vế phải của (3.2).      2 2 0 0 00 1 20, 0, 0, 0, tt mm m m utktu d ut ktu d                   2 2 0 00 1 tt mm St k d Ssds      (3.6)      2 0 00 20 20 0, tt mm k kusds Ssds    (3.7)     2 0 00 tt mx m s su s ds S sds        (3.8)   00 20, 0, ts mm usksu dds        2 2 0 0000 1 ttss mm S s ds k d S d ds             2 2 0 000 ttt mm t Ssds k d S d         (3.9)       2 0000 2, 2 tttt mm m f su sds fs u sds fs ds S sds      (3.10) Từ (3.2) và (3.6)–(3.10), đồng thời chọn tham số 1 2   ta có đánh giá         2 0 00 202 2 tt mm m s St S fs ds Ssds              22 2 00 00 40 4 3 tt m k ktkd Ssds          (3.11) Do H 1 ↪  0 C  , nên từ (3.1) 2,3 và (3.3) ta nhận được  1 20 m SM với mọi m (3.12) trong đó hằng số M 1 chỉ phụ thuộc vào μ, K, u 0 và u 1 . Theo (3.12) và (GT5) ta có  2 1 0 2 t T M fs ds A  với mọi   0,tT (3.13) Mặt khác, theo (GT3) ta lại có       22 2 00 0 40 4 3 t T k ktkd B      với mọi   0,tT (3.14) Với các đánh giá (3.11), (3.13) và (3.14) vừa thu được, ta suy ra rằng    0 0 2 t mm TT s St A BSsds           với mọi   0,tT (3.15) Áp dụng bổ đề Gronwall cho (3.15), rồi dựa vào (GT4) ta có kết quả quan trọng sau   0 0 2 exp t mT TT s St A Bds C                với mọi   0,tT (3.16) Ước lượng tiên nghiệm 2. Đạo hàm 2 vế của (3.1) 1 theo biến thời gian, ta có       ,,, m j mx jx mx jx utw tutw tutw              0 00,000, t jmjm wktsusdswkut     (3.17)        22 11,, ; 1 pq mm mmj j Kp u t u t q u t u t w f t w j m        Nhân lần lượt các phương trình thứ j với   mj ct   , sau đó cộng lại rồi lấy tích phân 2 vế theo biến thời gian từ 0 đến t, ta có          01 02 , 20 , m m mx mx mx mx Xt X tu tu t u u          2 00 2,3 tt mx mx mx su su sds su s ds           00 0 20, 0, 200, 0, ts t mm mm usksu dds kususds           1 2 00 21 , , , t p mmm Kp uxs uxsuxsdxds     [...]...  w j  u1 mạnh trong H 1  j 1 (3.61) Với các giả thiết (GT1/) – (GT2) – (GT3/) – (GT4) – (GT5) – (GT6/) được thỏa, hệ phương trình vi phân (3.1) có nghiệm um trên  0, Tm  tương ứng Các ước lượng sau cho phép ta chọn Tm  T với mọi m  Ước lượng tiên nghiệm 1 Nhân lần lượt các phương trình thứ j của (3.61)1 với cmj  t  , sau đó cộng các vế tương ứng với nhau rồi lấy tích phân theo biến thời... ta xấp xỉ nghiệm yếu đó bởi một đa thức bậc cao theo hai tham số nhiễu này trong trường hợp p  q  2 Với mỗi  K ,   , ta viết uK , để chỉ nghiệm yếu ứng với hai tham số là K và  của bài toán (1.1) – (1.3) Ta lại viết u0,0 để chỉ nghiệm yếu ứng với hai tham số là 0 và 0 của bài toán (1.1) – (1.3) Ta có định lý dưới đây Định lý 6.1 Giả sử (GT1) – (GT5) xảy ra Khi đó, với mỗi T  0 , u K , K ,... điều kiện (GT1) – (GT5) cũng xảy ra Do đó, với các giả thiết mạnh hơn này, bài toán (1.1) – (1.3) có duy nhất nghiệm u có các tính chất như đã nêu trong định lý 3.1 và nhận xét 3.1 Lúc này, bằng cách lấy đạo hàm 2 vế của phương trình (1.1) cũng như điều kiện biên (1.2) theo biến thời gian, đồng thời kết hợp với điều kiện biên (1.3), ta nghiệm ra rằng ut là một nghiệm của bài toán sau  ztt    t ...  i  n  1 (khi i  0 , ta có các giả thiết là (GT1)–(GT5)) Với ý tưởng hoàn toàn tương tự cách chứng minh định lý 4.1, ta tiếp tục lấy đạo hàm phương trình và các điều kiện biên của bài toán  P[1]  theo biến thời gian Sau đó ta sắp xếp lại để có được bài toán  P[2]  với các [2] [2] giả thiết (GT1[2]) – (GT5[2]) Theo đó, các dữ kiện đầu vào   , K [2] ,  [2] , u0 , u1 , f [2] , k [2] , g [2]... (3.34) trong đó hằng số M2 chỉ phụ thuộc vào μ, k, K, u0 và u1 Hơn nữa, từ (3.1) và (1.2), bằng phương pháp tích phân từng phần cho số hạng chưa μ của vế trái, ta có   um  0     0  u0 mxx , um  0   K u0 m 2 p2 u0 m   u1m q2   u1m , um  0   f  0  , um  0  Do đó  um  0     0  u0 mxx  K u0 m p 2 u0 m   u1m q 2 u1m  f  0  Kết quả này cùng với (GT5) và (3.1)2,3... THAM SỐ BÉ (K,) Trong chương này, ta giả sử các dữ kiện đầu vào μ, f, k, u0, u1 là cố định và thỏa mãn các giả thiết (GT2) – (GT5) Dưới đây, ta sẽ nghiên cứu bài toán nhiễu theo hai tham số bé là K và , K  K * ,    * Nội dung chính của chương 6 bao gồm hai định lý 6.1 và 6.2 Trong đó, định lý 6.1 cho ta một kết quả về dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán (1.1) – (1.3) khi hai tham số. .. H  , utt  L  0, T ; L   1, u  0,   W  0, T   (3.60) Chứng minh Gọi w j  là một cơ sở đếm được của không gian V  H 2 Ta sẽ tìm nghiệm xấp xỉ theo phương pháp Galerkin của bài toán (1.1) – (1.3) dưới dạng m um  t    cmj  t   w j j 1 trong đó, các hàm hệ số cmj  t  thỏa mãn hệ phương trình vi phân thường t    um  t  , w j    t  umx  t  , w jx  w j  0   g  t... duy nhất một nghiệm u với các tính chất như sau  nu  L  0, T ;V  H 2  , n t  n 1u  L  0, T ; H 1  , n 1 t  n  2u  L  0, T ; L2  n 2 t Chương 5 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM Trong chương này, chúng ta giả sử rằng các dữ kiện K ,  , p, q cho trước là cố định và thỏa mãn (GT1) Theo định lý 3.1, bài toán (1.1) – (1.3) có duy nhất một nghiệm yếu là u phụ thuộc vào các dữ kiện đầu vào là... Trong đó μ, f, k, u0, u1 thỏa mãn các giả thiết được đặt ra từ đầu là (GT2) – (GT5) Ta ký hiệu nghiệm này là u  u   , f , k , u0 , u1  Ta lại ký hiệu J  0  là tập hợp tất cả các bộ   , f , k , u0 , u1  vừa nêu ra ở trên với chú ý rằng: 0 là hằng số dương được nêu ra trong (GT4) Trong chương này, ta cũng giả sử rằng 0 là tham số chung không đổi cho tất cả các bộ   , f , k , u0 , u1  trong...  L  0, T  , khi j   (5.2) với u j  u   j , f j , k j , u0 j , u1 j  Chứng minh Trước hết, ta đưa ra nhận xét dưới đây Nhận xét 5.1 Nếu dữ kiện đầu vào   , f , k , u0 , u1  thỏa   H 2  0,T    * , f H 1 0,T ;L2  f * ,     * *  u0 H 2  u0 , u1 H 1  u1  k H 1  0,T   k  L1  0,T   k* (5.3) * * (với  * , f * , k * , u0 , u1 là các hằng số cố định), thì các ước lượng tiên . Quốc Công PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI MỘT ĐẦU BIÊN CHỨA SỐ HẠNG MEMORY Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 . 46 . 01 . QUAN Trong luận văn này, chúng tôi xem xét phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên và điều kiện đầu dưới đây    2 2 , , 0 1 , 0 q p tt xx