BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hồng Thị Oanh PHÉP CHIA CĨ DƯ TRONG DẠY HỌC TỐN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Cơng Khanh, TS Nguyễn Chí Thành, TS Vũ Như Thu Hương nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tơi kiến thức didactic tốn Tơi xin chân thành cảm ơn: - Tất bạn học viên cao học khóa 18, người giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu didactic toán - Ban giám hiệu thầy cô, đồng nghiệp Trường THPT Cần Đước tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên để tơi hồn thành tốt khóa học - Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi học tập, nghiên cứu khóa học - Gia đình người thân ln động viên giúp đỡ tơi suốt khóa học Hồng Thị Oanh DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Pccd : Phép chia có dư Pch : Phép chia hết UCLN : Ước chung lớn TCTH : Tổ chức toán học THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học sở SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách tập SGK3 : Sách giáo khoa toán SGK4 : Sách giáo khoa toán SGK5 : Sách giáo khoa toán SGK6 : Sách giáo khoa toán SGK7 : Sách giáo khoa tốn MTBT : Máy tính bỏ túi Tr : Trang MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát: Sau tham khảo luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bảo (2002) đề tài “Nghiên cứu Didactic bước chuyển từ phân số “những phần rút từ đơn vị” đến phân số “ thương” lớp lớp việc đào tạo giáo viên tiểu học phân số” Chúng ý nhận xét phép chia hết phép chia có dư xuất tiểu học tình nghĩa phép chia tình Phép chia có nghĩa sau: - Phép chia phân phối lần lượt, lần đối tượng hết - Phép chia phân phối nhóm, nhóm có đối tượng - Phép chia phép toán ngược phép nhân: muốn tìm kết phép chia cần dựa vào phép nhân tương ứng Nghĩa phép chia hết phép chia có dư : - Phép chia hết phân phối đối tượng hết - Phép chia có dư phân phối đối tượng cịn số đối tượng khơng thể phân phối Tuy nhiên làm tính số, phép chia hết phép chia có dư lại có nghĩa: - Phép chia hết phép chia mà dư - Phép chia có dư phép chia có thương số nguyên số dư bé số chia Nhìn chung phép chia cho nghĩa chia n đối tượng cho p phần Luận văn đề cập đến nghĩa phép chia bậc tiểu học Như vậy, câu hỏi sau đặt : Phép chia có dư tiếp tục trình bày THCS THPT ? Đối tượng có cịn mang nghĩa nhắc tới SGK tiểu học hay không? Phép chia có dư xuất chương trình nhằm giải vấn đề tốn học ? Khung lý thuyết tham chiếu Chúng vận dụng lý thuyết nhân học Chevallard để phân tích thể chế dạy học nhằm xác định mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chia có dư thể chế dạy học đại học THCS Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân học sinh phép chia có dư, hiểu pccd thao tác pccd Để nghiên cứu mối quan hệ cá nhân này, cần đặt mối quan hệ thể chế dạy học pccd bậc phổ thông Bên cạnh chúng tơi xây dựng tổ chức tốn học xung quanh khái niệm phép chia có dư để làm rõ mối quan hệ hai thể chế Kế tiếp vận dụng khái niệm hợp đồng didactic để xem xét yếu tố chi phối ứng xử giáo viên học sinh, yếu tố cho phép hợp thức hóa thao tác học sinh đối tượng phép chia có dư Ở đây, làm rõ qui tắc ngầm ẩn phân chia trách nhiệm quyền hạn giáo viên học sinh đối tượng pccd Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu: Q1 Khái niệm phép chia có dư tri thức khoa học trình bày nào? Nó có đặc trưng nào? Phép chia có đóng vai trị cơng cụ cho tri thức ? Q2 Trong thể chế dạy học tốn phổ thơng Việt Nam phép chia có dư giảng dạy nào? Phép chia có dư xuất thể chế hình thức biểu diễn nào? Mối quan hệ thể chế số dư hình thức biểu diễn nào? Q3 Những quy tắc hợp đồng didactic hình thành giáo viên học sinh q trình dạy – học phép chia có dư ? Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu mà thực luận văn là: Tiến hành nghiên cứu so sánh việc đưa vào phép chia có dư hai thể chế:  Thể chế dạy học phép chia có dư bậc đại học: Cụ thể nghiên cứu giáo trình đại học việc trình bày phép chia có dư ứng dụng phép chia có dư để giải vấn đề  Thể chế dạy học phép chia có dư trường phổ thơng: phân tích chương trình SGK Việt Nam, phép chia có dư giảng dạy nào, kiến thức đưa vào để giải tốn chương trình Dựa việc tổng kết kết phân tích đưa giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng chúng kiểm nghiệm thực nghiệm  Xây dựng tình thực nghiệm học sinh để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đặt Phương pháp nghiên cứu sơ đồ hóa sau: NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY (Thể chế dạy học Việt Nam) THỰC NGHIỆM Tổ chức luận văn: Luận văn gồm phần sau đây:  Phần mở đầu: Trình bày ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát dẫn đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu tổ chức luận văn  Chương 1: Trình bày khái niệm phép chia có dư cấp độ tri thức khoa học hai giáo trình đại học để làm rõ đặc trưng khái niệm phép chia có dư chế cơng cụ khái niệm  Chương 2: Chúng phân tích mối quan hệ thể chế dạy học phép chia có dư SGK Việt Nam Từ đưa câu hỏi giả thuyết nghiên cứu  Chương 3: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng giả thuyết mà đặt cuối chương  Phần kết luận Tóm tắt kết đạt chương 1, 2, đề xuất số hướng nghiên cứu mở luận văn CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP CHIA CÓ DƯ Mục tiêu chương Chương có mục tiêu làm rõ đặc trưng phép chia có dư chế cơng cụ phép chia có dư số giáo trình bậc đại học Cụ thể hơn, qua việc phân tích giáo trình chúng tơi cố gắng tìm hiểu cách trình bày khái niệm phép chia có dư giáo trình đại học ứng dụng phép chia có dư vai trị cơng cụ phép chia có dư việc nghiên cứu khái niệm có liên quan Phân tích số giáo trình đại học liên quan đến phép chia có dư Ở chúng tơi chọn phân tích ba giáo trình thuộc lĩnh vực số học, toán rời rạc đại số đại cương sử dụng phổ biến trường đại học phía Nam : [a] Đậu Thế Cấp (2008) - Số học, NXB Giáo dục [b] Kenneth H Rosen (2001) - Toán học rời rạc ứng dụng tin học, NXB Lao động – Người dịch: Bùi Xn Toại [c] Hồng Xn Sính (1998) – Đại số đại cương, NXB Giáo dục Mục đích việc lựa chọn giáo trình phép chia có dư vấn đề có liên quan đến phép chia có dư trình bày giáo trình phong phú Việc phân tích so sánh giáo trình cho phép làm rõ khác việc trình bày phép chia có dư cấp độ giáo trình đại học Điều làm sở tham chiếu cho chúng tơi thực phân tích phép chia có dư giảng dạy phổ thơng Phép chia có dư giáo trình [a] – Số học 1.1 Phép chia có dư xét phương diện đối tượng Trong giáo trình phép chia đề cập lần chương tập hợp số tự nhiên Định nghĩa phép chia trình bày trang 11 sau: “Cho hai số tự nhiên a b, b  Nếu có số tự nhiên c cho cb = a c gọi thương phép chia a cho b.” Phép chia trình bày theo quan điểm phép chia phép toán ngược phép toán nhân Định nghĩa ngầm ẩn việc tìm số chưa biết c ta có a b tức dạng giải phương trình Qua phần trình bày định nghĩa, phương trình khơng phải lúc có nghiệm hay thương phép chia hai số tự nhiên lúc tồn Trong phần nhận xét, giáo trình nêu : “ Nếu thương a : b tồn a = b (a:b) Suy a = a  b” [trang 11] với điều kiện phép chia gọi phép chia hết Định nghĩa trình bày “Phép trừ phép chia” nhiên qua cách trình bày khơng thể mối quan hệ phép trừ phép chia Trong “Phép chia có dư”, trước định nghĩa phép chia có dư [a] đưa vào định lý trang 11 sau: “Cho hai số tự nhiên a b, b  Khi tồn cặp số tự nhiên q,r thỏa mãn a = bq + r ;  r < b” Sau phần chứng minh định lý, sở định lý mà phép chia có dư tập hợp số tự nhiên định nghĩa sau: “Chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b (b  0) tìm hai số tự nhiên q r thỏa mãn: a = bq + r ;  r < b a gọi số bị chia, b gọi số chia, q gọi số thương, r gọi số dư Nếu r = ta nói a chia hết cho b.” Định nghĩa nêu đặc trưng phép chia có dư với số tự nhiên a, b (b  ) ln tìm q r thỏa mãn biểu thức a = bq + r Vậy phép chia có dư ln thực tập hợp số tự nhiên Phép chia có dư định nghĩa theo quy ước Như [a] phép chia hết trường hợp đặc biệt phép chia có dư Cho đến chương 3, định lý phép chia có dư gọi định lý phát biểu tập hợp Z: “Cho hai số nguyên a b, b  0, tồn cặp số nguyên q, r cho: a = bq + r ;  r< |b|” Định lý mở rộng định lý nêu chương Chứng minh định lý kế thừa chứng minh định lý Ta ý phần chứng minh định lý trường hợp b > 0, a < Khi a < – a > tồn q, r để a = bq + r hay a = - bq – r ;  r < b o r = a = - bq tức cặp số cần tìm ( - q , 0) o < r < b a = - bq – r = b ( - q - 1) + b – r ; < b – r < b Cặp số cần tìm (- q -1, b - r) Trong trường hợp a < với yêu cầu số dư số dương ta thực thêm bớt cho số chia để tìm cặp số (q, r), phần chứng minh thể ngầm ẩn phép chia có dư có nghĩa phép trừ liên tiếp số bị chia cho số chia tới số nhỏ số chia Ta lấy ví dụ phép chia có dư – 14 chia cho Ta có - 14 = - 3.4 – = 3( - - 1) + – = (- 5) +1 Ví dụ minh họa ứng dụng kỹ thuật phần chứng minh để giải thích việc tìm cặp (q, r) cho trường hợp a < Tương tự, định nghĩa phép chia có dư phép chia hết tập hợp số nguyên đưa vào sau chứng minh trang 41 sau: “Cho hai số nguyên a b, b  0, thực phép chia có dư số a cho số b tìm cặp số nguyên q, r cho a = bq + r ;  r < |b| Số a gọi số bị chia, b gọi số chia, q gọi số thương, r gọi số dư Nếu số dư r = a = bq Trong trường hợp ta nói phép chia chia hết gọi : a chia hết cho b, a bội số b; kí hiệu a  b; : b chia hết a, b ước a; kí hiệu b/a” Như vậy, phép chia có dư định nghĩa tập số Z Phép chia hết trường hợp đặc biệt phép chia có dư Trong phép chia có dư số dư ln số nguyên không âm bé số chia Bên cạnh đó, giáo trình [a] đưa ngôn ngữ tương đương đặc trưng chia hết “bội” “ước” Trong giáo trình ngơn ngữ “bội” “ước” sử dụng thay cho cụm từ “chia hết” Sau phần định nghĩa [a] không đưa ví dụ để minh họa cho phép chia có dư Điều gây khơng khó khăn cho người học biểu diễn số nguyên âm dạng phép chia có dư Phần [a] giới thiệu tính chất chia hết kiểu nhiệm vụ liên quan tới tính chia hết 1.2 Phép chia có dư xét phương diện cơng cụ a Ước chung lớn (UCLN) Định nghĩa UCLN trang 44 sau: “Nếu số d ước số tất số a1, a2, ,an d gọi ước chung số a1, a2, ,an Một ước chung số a1, a2, ,an gọi ước chung lớn (ƯCLN) chia hết cho ước chung số ƯCLN a1, a2, ,an kí hiệu ƯCLN(a 1, a2, ,an ) ƯCLN dương a1, a2, ,an kí hiệu (a1, a2, ,an ).” Trong tập hợp ước chung, theo hình thức ước chung lớn số lớn tập ước chung, định nghĩa nêu rõ chất UCLN ước chung chia hết cho ước chung lại Thơng qua định nghĩa ta nhận thấy kỹ thuật tìm UCLN rõ kỹ thuật nhiều thời gian số số lớn Từ định nghĩa UCLN [a] đưa định nghĩa số nguyên tố số nguyên tố sánh đôi Một số tính chất sử dụng đến phép chia có dư để tìm UCLN chẳng hạn tính chất 5, trang 45 sau: “5 Nếu có số aj cho aj \ với i = 1, 2, , n ƯCLN (a1, a2, , an) =  aj Cho a = bq + c; a, b, c, q  Z Khi ước chung a, b ước chung b, c ngược lại.” Tính chất nêu mà khơng trình bày chứng minh, ghi cụ thể sau: a = bq + r (a, b) = (b, r) Đây sở để giải thích cho cách tìm UCLN thuật tốn Euclide Thuật tốn Euclide đưa vào trang 46 sau: “Cho hai số nguyên a  b  Khi theo định lý 1, ta tìm cặp số (q0, r0),(q1, r1), ,(qn, rn) cho a = bq0 + r0 ; < r0 < |b| b = r0q + r1 ; < r1 < r0 r0 = r1q2 + r2 ; < r2 < r1 ………… rn – = rn – 2qn – + rn – ; < rn – < rn – rn – = rn – 1qn + rn ; rn = Vì |b| > r0 > r1 > … dãy số tự nhiên giảm dần nên phải có rn = 0, thuật tốn kết thúc Dãy số a, b, r0, r1,….rn – gọi dãy số Euclide hai số a, b.” Dựa vào thuật toán Euclide tính chất UCLN ta tìm UCLN hai số a, b: (a, b) = (b, r0) = = (rn-2, rn-2 ) = rn-1 Có thể nói số dư cuối khác khơng thuật tốn Euclide Thuật tốn Euclide thực chuỗi phép chia có dư liên tiếp, mà phép chia có dư ý đến số dư Thuật toán này, số dư đóng vai trị quan trọng, thuật tốn dừng lại r = Bên cạnh [a] đưa lược đồ tìm UCLN nhiều số nguyên a1, a2, , an (a1, a2) = D1 (D1, a3) = D2 (Dn-2, an) = D ta có (a1, a2, , an) = D Ta có nhận xét: “Vì d / a  d / (-a) nên tìm ƯCLN ta thay số âm số đối chúng.” trang 48 Với nhận xét tốn tìm UCLN số ngun ta quan tâm tới việc tìm UCLN số ngun dương Bài tốn tìm UCLN thường gắn liền với tốn tìm bội chung nhỏ nhất, luận văn chúng tơi tìm hiểu UCLN Trong ví dụ đưa ra, cặp số a b thuộc tập hợp số tự nhiên Phép chia thực tập hợp số tự nhiên Khơng có trường hợp đưa phép chia có dư với a b số âm Câu Hãy khoanh tròn phép chia thể phép chia có dư phép chia cho (có thể khoanh trịn nhiều phép chia) (a) (b) (c) 936 78 93,6 72 156 12 21 1,3 0 (d) 10578 86 197 258 12 123 170 53 2,3 11 Em giải thích câu trả lời mình:  Phân tích tiên nghiệm Như phân tích chương 2, chúng tơi nhận thấy phép chia có dư giảng dạy thức chương trình lớp 3, Tuy nhiên phép tính chia thực tập số tự nhiên tập hợp số thập phân lớp lớp (xuất kỹ thuật thực phép chia hết phép chia có dư D) lại không so sánh hay phân biệt thể chế tiểu học Điều ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân học sinh phép chia có dư phép chia hết + Đưa câu (a) chúng tơi tìm hiểu xem phép chia với r = học sinh có phép chia có dư hay khơng + Trong câu (c) phép chia thực chưa hết số dư r > b tình kiểm tra xem học sinh xử lí r  0, em có ý đến điều kiện r < b hay không? Những phép chia đưa dạng sơ đồ SGK phép chia hồn chỉnh khơng có trường hợp số dư phép chia lớn b + Trường hợp câu (b) (d) đưa phép chia D1 trường hợp chia hết trường hợp không chia hết D1 Nếu học sinh dựa vào số dư r không quan tâm tập hợp phép chia thực dẫn đến kết luận hai trường hợp:phép chia hết phép chia có dư Nếu học sinh ý tới thương số có kết luận Theo chúng tơi dự đốn đa số học sinh chọn theo quan điểm số dư  Các chiến lược Chiến lược số dư khác Dựa vào số dư học sinh đưa câu trả lời Sơ đồ chia thực tập hợp Z+, Dn số dư thể số tự nhiên Trong chiến lược học sinh dựa vào số dư đưa kết luận PCH hay PCCD Đối với phép chia tập hợp số Z+ chiến lược Khi phép chia có dư mở rộng tập hợp Dn chiến lược khơng cịn Chiến lược thương số Dựa vào thương số học sinh có câu trả lời PCH hay PCCD Thương số số thập phân số tự nhiên Phép chia có dư tập hợp Z+ phép chia hết tập Dn phép chia có dư Đây chiến lược đúng, thể học sinh hiểu rõ phép chia có dư Chiến lược dấu hiệu chia hết Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, Học sinh đưa phép chia với số chia 2, 5, giải thích phép chia có dư dựa vào dấu hiệu chia hết Chiến lược kiểm tra kết theo biểu thức a = qb + r: phép chia có dư kiểm tra kết đẳng thức nêu Chiến lược bất đẳng thức: khơng có số tự nhiên x để b.x = a Thể khơng khép kín phép chia tập hợp số nguyên  Các biến dạy học o V1 Dạng viết phép chia có dư Phép chia có dư giới thiệu hình thức: - Dạng – Dấu “=” phi đẳng thức a : b = q với phép chia hết a : b = q (dư r) Dạng viết thức phép chia có dư thể chế tiểu học Khơng cịn sử dụng chương trình THCS Trong cách viết số dư khơng xuất thức biểu thức Số dư có vai trị giải thích cho tính chất phép chia - Dạng – Dấu “=” đẳng thức a = q.b + r với (0  r < b) Dạng viết xuất thể chế THCS Đối với chương trình tiểu học dạng viết xuất với vai trò kiểm tra kết phép chia có dư Đặc trưng số dư làm rõ biểu thức a = b.q + r, điều kiện < r < b với a, b, q, r  N - Dạng – Sơ đồ chia a b r c Dạng sơ đồ chia quen thuộc học sinh, xuất thể chế tiểu học THCS Trong dạng phép chia hết phép chia có dư thể phép chia liên tiếp, phép chia dừng lại số dư nhỏ số chia Dù phép chia thực tập số thập phân dạng sơ đồ số dư số tự nhiên Điều ảnh hưởng đến quan hệ cá nhân học sinh phép chia có dư Khi đưa dạng viết sơ đồ chia phép chia thể rõ ràng, cụ thể phép chia thực lần thương, số dư xuất tường minh - Dạng – Dạng hỗn số q Cách viết hỗn số q r b r xuất lớp 5, có vai trị mờ Dạng hỗn số xuất b chương trình tốn THCS THPT Đặc trưng cách viết phép chia có dư thực Z Trong cách viết số dư sử dụng thức biểu thức Trong câu chọn dạng – sơ đồ chia với dạng xuất nhiều SGK đặc trưng phép chia có dư khơng làm rõ vành Dn Với chọn tạo thuận lợi cho chiến lược số dư xuất o V2 Vành thực phép chia có dư: Z+ hay Dn - Trong vành Z+: giá trị cho tập hợp số nguyên dương, phù hợp với tập hợp định nghĩa phép chia có dư Các quan niệm học sinh phép chia hết phép chia có dư - Tập hợp Dn: phép chia có dư không định nghĩa tập hợp số thập phân, nhiên kỹ thuật thực phép chia có dư lại sử dụng thực hành chia số thập phân Vì quan hệ cá nhân học sinh khái niệm phép chia có dư bị ảnh hưởng thể chế Vì khai triển thập phân số hữu tỉ gặp khó khăn Chúng chọn thực vành Z D1, để kiểm tra học sinh có ý tới khác phép chia hay không, cách chọn câu hỏi tạo thuận lợi cho chiến lược số dư khác chiến lược thương số o V3 Giá trị cặp số bị chia số chia: - Độ lớn nhỏ số cặp số: số có chữ số, số có hai chữ số, số có chữ số, hay chênh lệch số cặp số với mục đích để phép chia thực lần hay chia liên tiếp từ hai lần trở lên - Số bị chia số chia thuộc tập hợp số: Z, Dn Với chọn giá trị số chia khác 2, 5, 3, hạn chế chiến lược dấu hiệu chia hết giá trị số có chữ số hay chữ hạn chế chiến lược kiểm tra biểu thức a = bq + r Cho giá trị Z D1 tạo điều kiện cho chiến lược số dư chiến lược thương số o V4 Tính chất số dư - r=0 - 0< r < b - r  r > b Các giá trị r xuất đầy đủ thực nghiệm  Những quan sát Câu trả Chiến lược Cái quan sát lời a Chiến lược dựa vào Quan điểm học sinh xem tất phép chia số dư khác Chiến lược thương c Số thập phân xuất số bị chia số b phép chia có dư thương số Dựa vào thương số để kết luận Chiến lược dựa vào Tôn trọng thể chế phép chia có dư định số dư khác nghĩa tập hợp số tự nhiên: a,b,q,r thuộc N số dư khác Tuy nhiên lại không ý điều kiện r < b d Chiến lược dựa vào Học sinh quan tâm đến số dư phép chia số dư khác Và số dư < r < b  Phân tích hậu nghiệm Bảng 3.3: Bảng thống kê câu trả lời câu Các câu trả lời Số lần xuất Tỉ lệ a 1,2% b 26 14,1% c 40 21,7% d 116 63% Dựa vào bảng thống kê ta có: Câu trả lời d chiếm (63%) tỉ lệ lớn Đa số học sinh giải thích cho trả lời theo chiến lược số dư khác Sau học sinh học xong phép chia có dư, quan điểm số dư số khác Lời giải thích học sinh nói số dư Đặc biệt quan điểm xem số dư phép chia số tự nhiên Các lời giải thích tập trung vào phép chia có số dư 11 Rất làm phát số dư 17 hay 1,1 Một vài lời giải thích học sinh: “Số dư khơng 0, nhỏ số chia” 2A; “số dư 11 không chia hết cho 53” 56A đa số học sinh có lời giải thích vậy.“Vì thương số thập phân dư 11, cịn b số thập phân mà không dư.” 13A Một số học sinh có lời giải thích dựa vào chiến lược thương số số thập phân phép chia có dư Khi có nhận định học sinh có câu trả lời câu b d Câu c chiếm 21,7% số lượng đáng kể để biết học sinh dùng chiến lược số dư khác mà không kiểm tra đặc trưng số dư bé số chia Qua phân tích thể chế chương tất hình thức định nghĩa phép chia có dư nhấn mạnh số dư khác bé số chia Sai lầm giải thích chướng ngại sư phạm, tập dạng sơ đồ có số dư nhỏ số chia Tuy nhiên có nhiều học sinh ý tới điều kiện r bé số chia Câu trả lời b chiếm 14,1%, học sinh sử dụng chiến lược thương số để trả lời cho câu hỏi Như có 85,9% học sinh đồng ý phép chia hết Điều học sinh dựa vào số dư phép chia Đáng ý câu hỏi thực nghiệm số bị chia câu b số thập phân D1 Nhưng học sinh không nhận khác biệt Các lời giải thích thương số thập phân Lựa chọn khẳng định học sinh không quan tâm đến phép chia thực tập hợp số Các em áp dụng đặc trưng số dư phép chia có dư tập hợp số tự nhiên Có giải thích cho câu trả lời là: “Ở câu b số dư = thương 1,3 phép chia có dư câu d số dư 11 thương 2,3 số nguyên pccd” A1 “Vì phép chia nhận thương khơng số ngun”.A20 “Vì phép chia có dư số chia sau chia số kết số thập phân” Câu trả lời a có học sinh lựa chọn, hầu hết học sinh tôn trọng định nghĩa phép chia hết mà thể chế đưa ra, r =0 Các chiến lược kiểm tra a = bq + r, chiến lược bất đẳng thức học sinh sử dụng Trong thực nghiệm nhiều học sinh có lựa chọn đồng thời c, d(84,7%) phép chia có dư Tức trực giác học sinh nhìn vào phép chia ý tới số dư khác phép chia có dư, r = phép chia hết Học sinh không quan tâm tập hợp thực phép chia mà ý đến đặc trưng số dư phép chia để đưa câu trả lời Thông qua hai câu thực nghiệm chúng tơi tìm hiểu quan điểm học sinh phép chia hết phép chia có dư học sinh cuối trung học sở Đặc trưng số dư phép chia hết phép chia có dư quan điểm học sinh + Với câu hỏi nhận thấy ví dụ phép chia có dư học sinh đưa với dạng sơ đồ dạng bất đẳng thức chủ yếu Hai cách viết học sinh gặp chương trình tiểu học Dạng viết sơ đồ chia chiếm ưu Các lời giải thích cho phép chia có dư chủ yếu dựa vào số dư khác nhỏ số chia + Khi phép toán chia hết thực vành Dn tức với số dư có phận học sinh xem phép chia hết Điều kiện r < b nhiều học sinh ý để thực phép chia tiếp nhiên số học sinh không quan tâm kiểm tra điều kiện Qua câu hỏi này, số học sinh không quan tâm đến vành thực phép chia D hay Z mà quan tâm đến r khác hay Chúng kiểm nghiệm giả thuyết: Đối với học sinh số dư phép chia số tự nhiên Phép chia hết phép chia có r = phép chia có dư phép chia có r  Và học sinh khơng quan tâm đến phép chia có dư thực tập hợp số Giả thuyết với phận học sinh Câu Cho phép chia sau : 192 415 310 2,16 1180 28 Hãy khoanh trịn đẳng thức (có thể có nhiều đẳng thức đúng) : (a) 415 = 2,16 192 (c) 415 = 2,16 x192 + (b) 415 = 2,16 x192 + 28 28 100 (d) 415 = 2,16 x192 + 28 1000 (e) 415 = 2,16 x192 + 0,28  Phân tích tiên nghiệm Đứng trước phép chia có dư D2 cho hình thức sơ đồ chia, câu hỏi cách viết tương đương phép toán chia (chuyển sang dạng phân số hay dạng a = bq + r) Học sinh chuyển hình thức viết phép chia có dư thành dạng đẳng thức a = bq + r nào? Họ có cho số dư số ngun hay khơng? Khó khăn tính đến phần dư phép chia dạng viết khai triển thập phân phân số Cho phép chia dạng sơ đồ thể bước thực phép chia, số dư thương nêu rõ ràng, phép chia thực tập hợp số thập phân Đây phép chia có kết số thập phân vơ hạn tuần hoàn Phép chia kết thúc sau lần thực phép chia Phép chia khai triển số hữu tỉ 415 thành dạng viết thập phân So với phép chia có dư 192 thực tập hợp số nguyên số dư r.10-n Học sinh có phân biệt sai khác hay không?  Các chiến lược: Chiến lược số dư số tự nhiên: tôn trọng đặc trưng phép chia có dư tập hợp số tự nhiên Chiến lược số dư số thập phân: hiểu số dư phép chia có dư thực vành D Chiến lược phân số: xem phân số thương phép chia (hay phép chia có dư), biểu diễn phân số thương tìm ( cách ghi số dư hiện) Chiến lược số chữ thương: chữ số thập phân số dư dựa vào số chữ số thương  Các biến dạy học o V1: Dạng viết phép chia có dư Trong câu hỏi chúng tơi chọn cách đưa phép chia dạng sơ đồ, ưu tiên cho chiến lược số dư số tự nhiên xuất o V2: Vành thực phép chia Chúng chọn vành D2 thực phép chia Tạo điều kiện cho chiến lược số dư số thập phân o V3: Số lần phép chia có dư thực liên tiếp Ở chúng tơi chọn phép chia có dư thực lần o V4: Tính chất cặp số bị chia số chia Thuộc tập hợp số tự nhiên có chữ số, độ chênh lệch nhỏ o V5: Mệnh đề nối với dấu đẳng thức hay dấu bất đẳng thức, hay hình thức học sinh tự điền dấu để có mệnh đề  Những quan sát Câu trả Chiến lược Cái quan sát lời Sai a Chiến lược phân a Thương số a chia cho b viết phân số b Trong số cách ghi khơng thể số dư Vì học sinh cho phân số thương phép chia b Chiến lược số dư Theo dự đoán đa số học sinh chọn câu hỏi số tự nhiên Vì ảnh hưởng phép chia có dư tập hợp Z+ Số dư ln số tự nhiên với 0