Đang tải... (xem toàn văn)
§¹i häc HuÕ Tr−êng §¹i häc S− ph¹m Bµi gi¶ng Lý THUYÕT VµNH Vµ M¤§UN (Dµnh cho häc viªn cao häc chuyªn ngµnh §¹i sè Lý thuyÕt sè) TS Tr−¬ng C«ng Quúnh (Chñ biªn) GS TS Lª v¨n ThuyÕt HuÕ (hay §µ N½ng ?) 2012 1 LÒ I NÓI D À̂U Lý thuyết vành và môd̄un d̄óng mô t vai trò quan tro ng trong d̄a i số kết ho p Vó i viê c nghiên cú u nô i ta i cu’a cấu trúc vành, chúng ta d̄ã có d̄u o c D i nh lý nô’i tiếng cu’a Wedderburn Artin, trong d̄ó mô ta’ vành nu ’ a d̄o n nhu l.
Đại học Huế Trờng Đại học S phạm Bài giảng: Lý THUYếT VàNH Và MÔĐUN (Dành cho học viên cao học chuyên ngành Đại số - Lý thuyết số) TS Trơng Công Quỳnh (Chủ biên) - GS.TS Lê văn Thuyết Huế (hay Đà Nẵng ?) - 2012 `.I NOI ´ D ˆU -` LO A L´ y thuyˆe´t v`anh v`a mˆod¯un d¯´ ong mˆ o.t vai tr` o quan tro.ng d¯a.i sˆ o´ kˆe´t - i.nh ho p V´o i viˆe.c nghiˆen c´ u u nˆo.i ta.i cu’a cˆ a´u tr´ uc v` anh, ch´ ung ta d¯˜ a c´ o d¯u o c D ’ ´ ’ ’ ’ l´ y nˆo i tiˆeng cua Wedderburn-Artin, d¯´ o mˆ o ta v` anh nu a d¯o n nhu l` a tˆo’ng tru c tiˆe´p cu’a c´ac v`anh ma trˆ a.n trˆen mˆ o.t thˆe’, m` a v` anh ma trˆ a.n trˆen mˆ o.t thˆe’ ’ th`ı qu´a quen thuˆo.c V´o i su tˆ o ng qu´ at ho´ a c´ ac khˆ ong gian vecto , ta c´ o d¯u.o c c´ac mˆod¯un, v`a la.i c´o pha.m tr` u Mod-R (R-Mod) c´ ac R-mˆ od¯un pha’i (tr´ tu.o.ng u ´.ng) Ngu.`o.i ta la.i d` ung Mod-R v` a R-Mod d¯ˆe’ d¯˘ a.c tru.ng v` anh R Phu.o.ng - i.nh l´ `eu D ph´ap n`ay m´o i d¯`o i nhu ng d¯˜ a to’ c´ o hiˆe.u qua’, v` a nhiˆ y quan tro.ng - i.nh l´ d¯`o i, nhu D y mˆo ta’ v`anh nu’ a d¯o n cu’a B Osofsky D˜ı nhiˆen, d¯i xa ho.n, `ay cu’a pha.m tr` R Wisbauer d¯˜a d` ung mˆo.t pha.m tr` u d¯ˆ u Mod-R d¯´ o ch´ınh l`a σ [M] d¯ˆe’ mˆo ta’ MR Trong khuˆon khˆo’ mˆo.t b` gia’ng d` anh cho c´ ac l´ o.p sau d¯a.i ho.c chuyˆen - a.i sˆo´ v`a l´ `e cˆ u.c co ba’n ng`anh D y thuyˆe´t sˆo´, ch´ ung tˆ oi d¯˜ a d¯ˆ a.p d¯ˆe´n nh˜ u.ng kiˆe´n th´ `an khˆ nhˆa´t cu’a l´ y thuyˆe´t v`anh v`a mˆod¯un, d˜ı nhiˆen c´ o thˆe’ kˆe’ d¯ˆe´n hai phˆ ong t´ach riˆeng nhau: d¯´o l`a c´ac cˆong cu cu’a n´ o nhu c˘ an, d¯ˆe´, vˆe´t, c´ ga.t bo’, v` a c´ac `a m cung `an n` l´o p mˆod¯un v`a v`anh nhu Artin, No te, nu’ a d¯o n, C´ ac phˆ ay nh˘ ’ ´ ´ ´ ` ’ cˆa p cho ho.c viˆen nh˜ u ng kiˆen th´ u c co ban nhˆ a t, ng˜ o hˆ au c´ o thˆe d¯a.t d¯u.o c mˆo.t `an n`ao c´ac y `e cˆ a.p o’ trˆen Ngo` d¯ˆe’ tiˆe.n cho ho.c viˆen tham phˆ ´ tu o’ ng d¯˜a d¯ˆ `an kiˆe´n th´ `e mˆ u c vˆ od¯un o’ chu.o.ng kha’o, ch´ ung tˆoi d¯u a thˆem phˆ Khˆong tr´anh kho’i nh˜ u.ng thiˆe´u s´ ot biˆen soa.n, mong c´ ac d¯ˆ o.c gia’ `an thiˆe´t op y ´ cˆ thˆong ca’m v`a cho ch´ ung tˆoi nh˜ u ng g´ ’ ´ GIA TAC Typeset by AMS-TEX Chơng 0: Môđun Trong toàn giảng bày, ta qui ớc vành R có đơn vị khác không đợc kí hiệu Đ1 Định nghĩa môđun 1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.1 Định nghĩa kí hiệu Cho R vành Một R-môđun phải M là: (1) nhóm cộng aben M với (2) ánh xạ M ì R M (m, r) mr đợc gọi phép nhân môđun, thoả điều kiện sau: (i) qui tắc kết hỵp : (mr1 )r2 = m(r1 r2 ) (ii) qui tắc phân phối: (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2 (iii) qui tắc unita: m1 = m m, m1 , m2 phần tử tuỳ ý cđa M , r1 , r2 ∈ R Lóc ®ã R đợc gọi vành sở Nếu M R-môđun phải ta thờng kí hiệu M = MR Tơng tự ta định nghĩa khái niệm R-môđun trái Từ định nghĩa ta suy kết sau: 1.1.2 Mệnh đề Cho MR Lúc ta cã: 0M r = 0M , m0R = 0M , −(mr) = (−m)r = m(−r) víi mäi m ∈ M, r ∈ R Chøng minh: Víi mäi r ∈ R, ta cố định r, ánh xạ M M m mr đồng cấu nhóm ®iỊu kiƯn (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r Vì 0M r = 0M (m)r = mr Mặt khác nhờ điều kiện m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2 , cố định m ánh xạ R M r mr đồng cấu nhóm cộng Vì ta có m0R = 0M m(r) = mr Đó điều phải chứng minh 1.2 Ví dụ (1) Không gian vectơ môđun thể R (2) Mọi nhóm aben cộng xem nh ZZ -môđun Ngợc lại, ZZ -môđun thu đợc từ nhóm aben cộng (3) Vành R đợc xem nh môđun phải (trái) Nhờ trờng hợp ngời ta nghiên cứu nhiều tính chất vành thông qua môđun vành (4) Xét R vành giao hoán có đơn vị Lúc vành R[x] đa thức ẩn x lấy hƯ tư R XÐt R[x] víi phÐp céng th«ng thờng với phép nhân môđun xác định nh sau: r(a0 + a1 x + + an xn ) = ra0 + ra1 x + + ran xn víi mäi r ∈ R, mäi a0 , a1 , , an R Lúc dễ dàng kiểm chứng đợc R[x] R-môđun Ta sử dơng nhiỊu ®Õn Bỉ ®Ị sau nhiỊu chøng minh cuả lý thuyết vành môđun Bổ đề sau tơng đơng với Tiên đề chọn Bổ đề Zorn Giả sử A tập thứ tự Nếu tập thứ tự toàn phần cuả A có cận A, A có phần tử cực đại Đ2 Môđun CON Và môđun thơng 2.1 môđun 2.1.1 Định nghĩa Cho M R-môđun phải Tập A M đợc gọi môđun M (kí hiÖu A < M hay AR < MR ), nÕu A R-môđun phải với phép toán cộng nhân môđun hạn chế A Chú ý kí hiệu A < M để phân biệt với kí hiệu có tính tập hợp tuý A M Ngoài nÕu ta viÕt A < M cã nghÜa lµ A môđun thực M A = < M có nghĩa A không môđun M Sau đặc trng môđun 2.1.2 Định lý Giả sử M R-môđun phải Nếu A tập khác M , điều kiện sau tơng đơng: i) A < M ii) A nhóm nhóm cộng môđun M với a ∈ A, r ∈ R ta cã ar ∈ A iii) víi mäi a1 , a2 ∈ A ta cã a1 + a2 ∈ A, vµ víi mäi a ∈ A, r ∈ R ta cã ar ∈ A Chøng minh: tập Dành phần chứng minh cho ngời đọc xem nh− lµ bµi Ta cã mét nhËn xÐt thó vị là: vành đợc xét nh R-môđun phải (trái), nên ta ý iđêan phải (trái) vành R môđun RR (R R) 2.1.3 Ví dụ (1) Mỗi môđun M có hai môđun tầm thờng {0} (ta kí hiệu 0) M , môđun có phần tử phần tử không môđun M (2) Cho MR m0 M Lúc dùng Định lý 2.1.2 ta có thÓ thÊy m0 R := {mo r |r ∈ R} môđun M (3) Cho M không gian vectơ thể K Lúc môđun không gian vectơ 2.2 Giao tổng môđun 2.2.1 Bổ đề Cho tập môđun M Khi ®ã A = {m ∈ M|∀A ∈ [m A]} A môđun M Chứng minh: Kiểm chứng dễ dàng nhờ Định lý 2.1.2 ý = A = M A∈∅ Tõ Bỉ ®Ị 2.2.1 cã thĨ suy A môđun lớn M chøa tÊt c¶ A ∈ Γ 2.2.2 HƯ A 2.2.3 Bổ đề Cho X tập cđa MR Khi ®ã A := { n j=1 xj rj |xj ∈ X, rj ∈ R vµ n ∈ IN}, 0, nÕu X = ∅ nÕu X = môđun M Chứng minh: Khi X = dễ dàng có A m n M NÕu X = ∅, ta cã m n xj rj ∈ A ⇒ xi ri , i=1 < j=1 xj rj ∈ A, xi ri + i=1 j=1 m n xj rj ∈ A, r ∈ R ⇒ j=1 Vậy theo Định lý 2.1.2, A xj rj r A j=1 < M 2.2.4 Định nghĩa Môđun A xác định nhờ Bổ đề 2.2.3 đợc gọi môđun cuả M sinh tập X kí hiệu |X) 2.2.5 Định lý |X) môđun bÐ nhÊt cđa M chøa X vµ |X) = ®ã C < C M vµ X ⊂ C Chøng minh: Khi X = kết luận cuả Định lý dễ dàng có, lúc |X) = Nếu X = Cho C môđun cu¶ M tïy ý chøa X Nhê tÝnh chÊt cuả môđun nên ta có |X) < C Ngoài X tập cuả |X) nên |X) môđun bé cuả M chứa X Bây giả sử D = C C < M X C Khi X tập cuả D Do D < M nên |X) < D Mặt khác |X) xem nh C , nên D < |X) Ta có điều phải chứng minh 2.2.6 Định nghĩa Cho MR (1) Tập X cuả M đợc gọi hệ sinh M |X) = M (2) Môđun M (hay iđêan phải, trái) đợc gọi hữu hạn sinh M tồn hệ sinh gồm hữu hạn phần tử (3) Môđun M (hay iđêan phải, trái) đợc gọi cyclic (iđêan phải chính, iđêan trái chính) đợc sinh phần tử (4) Tập X cuả môđun M đợc gọi độc lập tập hữu hạn {x1 , , xm } X mµ xi = xj víi i = j (i, j = 1, , m) th× m i=1 xi ri = 0, ri ∈ R kÐo theo ri = 0(i = 1, , m) (5) Tập X cuả môđun M đợc gọi sở M hệ sinh M độc lập 2.2.7 Ví dụ (1) Mỗi môđun M có hệ sinh tầm thờng M (2) Cho R vành Khi {1} sở RR (hay R R) (3) Ta sÏ chøng minh r»ng Q I ZZ hệ sinh hữu hạn Trớc hết, ta chøng minh kÕt qu¶ sau: I ZZ ta rót hữu hạn số phần Mệnh đề Nếu từ hƯ sinh tïy ý X cđa Q tư tïy ý tập hợp phần tử lại hƯ sinh cđa Q I ZZ Chøng minh: ChØ cần chứng minh kết ta rút phÇn tư x0 khái X NÕu rót nhiỊu phần tử ta chứng minh quy nạp Vì X hệ sinh nên x0 /2 biểu diễn thành tổng hữu hạn nh sau x0 = x0 z0 + xi zi , xi ∈ X, zi ∈ ZZ xi =x0 Tõ ®ã: xi 2zi , xi ∈ X, zi ∈ ZZ x0 = x0 2z0 + xi =x0 vµ x0 n = xi 2zi , xi =x0 ®ã n := − 2z0 ∈ ZZ, n = Giả sử ta lại biểu diễn x0 /n nh thì: x0 = x0 z0 + n xj zj , xj ∈ X, zj ∈ ZZ xj =x0 Khi ®ã x0 = x0 nz0 + xj nzj = xj =x0 xi 2zi z0 + xi =x0 xk z”k , xk ∈ X, z”k ∈ ZZ xj nzj = xj =x0 xk =x0 nghÜa phần tử x0 đợc biểu diễn qua tập X \ {x0 } Do X lµ hƯ sinh cđa Q I ZZ nên X \ {x0 } hệ sinh cđa Q I ZZ I ZZ cã hƯ sinh vô hạn, không, theo nh kết Từ đây, ta suy Q trên, sau số lần rút phần tử khỏi hệ sinh, hệ sinh cđa Q I ZZ sÏ lµ ∅, hay Q I ZZ Vô lí Chú ý hợp môđun nói chung môđun (vì hợp nhóm nhóm con) Tuy nhiên dễ dàng suy đợc: 2.2.8 Bổ đề Giả sử = {Ai |i I} tập môđun Ai Khi ®ã: | Ai ) = i∈I { i∈I |ai Ai I I I' hữu hạn } MR nÕu Λ = ∅ nÕu Λ = 0, nghĩa là, = môđun | < Ai ) trïng víi tËp tÊt c¶ tỉng hữu hạn iI , Ai 2.2.9 Định nghĩa Nếu = {Ai |i I} tập tuỳ ý môđun Ai < M , | Ai ) đợc gọi tổng môđun {Ai , i I}, kí hiệu Ai i∈I i∈I Chó ý lµ Λ = {A1 , , An } phần tử thuộc viết dới dạng n Ai viết đợc i=1 n , ∈ Ai i=1 Ngoµi kể trờng hợp tập vô hạn th× sù biĨu diƠn ë Bỉ = at nhng đề 2.2.8 không nhất, nghĩa có iI khác at iT 2.2.10 Định nghĩa (1) Môđun MR đợc gọi đơn nÕu M = vµ ∀A < M[A = hay A = M], nghÜa lµ M = vµ M có hai môđun M (2) Vành R đợc gọi đơn R = vµ ∀A < R RR [A = hay A = R], nghÜa lµ R = vµ R có hai iđêan hai phía R (3) Môđun A < M đợc gọi môđun cực tiểu (minimal) môđun M nh A = vµ ∀B < M[B < A ⇒ B = 0] = (4) Tơng tự, môđun A < M đợc gọi môđun cực đại (maximal) môđun M nh A = M B < M[A < B ⇒ B = M] = Ta có: 2.2.11 Bổ đề MR đơn M = vµ ∀m(= 0) ∈ M, M = mR Chứng minh: Cho MR đơn m = Lúc mR = (rõ m.1 = m mR) Từ mR = M Đảo lại, cho A = 0, A < M a ∈ A, a = Ta cã aR = M Tõ ®ã M = aR < A < M ⇒ A = M 2.2.12 Định lý Cho MR R-môđun phải hữu hạn sinh khác không Lúc môđun thực M chứa môđun cực đại Đặc biệt, M có môđun cực đại Chứng minh: Giả sử {m1 , m2 , , mn } lµ hƯ sinh cđa M NÕu A < M , th× ta cã = tËp F = {B|A < B < M} = khác rỗng A F Nó lại đợc thứ tự theo quan hệ bao hàm Để áp dụng Bổ đề Zorn, ta cần phải chứng minh tập Γ (⊂ F , Γ = ∅) s¾p thø tù toàn phần có cận Đặt C= B B Khi A < C Giả sử C = M Khi ®ã m1 , m2 , , mn ∈ C VËy tån t¹i B ∈ Γ ®Ó m1 , m2 , , mn ∈ B Do B = M Mâu thuẩn với tính chÊt B ∈ Γ VËy C ∈ F bfh áp dụng Bổ đề Zorn, F tồn phần tử cực đại D Ta chứng minh D môđun cực đại MR Giả sử D < L < MR = Khi ®ã L F Theo tính chất cực đại D F , ta cã D = L Khi cho A = 0, ta cã kÕt luËn cuèi cïng 2.3 môđun thơng Cho MR N < MR Vì N nhóm nhóm cọng aben M nên nhóm thơng M/N nhóm aben hoàn toàn xác định (theo phần lý thuyết nhóm) Các phần tử lớp ghép x + N N M phép toán cọng M/N lµ (x + N ) + (y + N ) = x + y + N Ta phải xác định phép nhân môđun để M/N trở thành R-môdun phải 2.3.1 Định lý Cho MR N < M 10 (i) Qui tắc M/N ì R M/N (m + N, r) −→ (m + N ).r = mr + N phép nhân môđun (ii) Nhóm aben M/N với phép nhân môđun trở thành R-môđun phải Chứng minh: (i) Ta chứng minh qui tắc ánh xạ Thật vậy, cho x + N = x + N ⇒ x − x ∈ N ⇒ (x − x )r ∈ N ⇒ xr − x r ∈ N ⇒ xr + N = x r + N (ii) Kiểm tra dựa vào định nghĩa 2.3.2 Định nghĩa M/N xác định nh Định lý 2.3.1 đợc gọi môđun thơng môđun M môđun N 2.3.3 Chú ý Khi cho I iđêan phải R lúc R/I trở thành R-môđun phải Nhng cho I iđêan hai phía R/I vừa R-môđun phải trái, vừa R/I -môđun phải trái Đ3 Đồng cấu môđun 3.1 Đồng cấu môđun 3.1.1 Định nghĩa Cho A B hai R-môđun phải Đồng cấu từ A vào B ánh xạ : A −→ B tho¶ ∀a1 , a2 ∈ A ∀r1 , r2 ∈ R [α(a1 r1 + a2 r2 )] = α(a1 )r1 + α(a2 )r2 ] Lóc ®ã ta viết : AR BR Sau ta có định nghĩa: 3.1.2 Định nghĩa Đồng cấu : AR BR đợc gọi đơn cấu đơn ánh, đợc gọi toàn cấu toàn ánh, đợc gọi đẳng cấu song ánh, nghĩa toàn cấu đơn cấu 3.1.3 Ví dụ (1) Đồng cấu không từ AR vào BR : a B (2) Phép nhúng môđun A vào BR i : A B a a 11 Khi tồn k I cho Mk A vµ M = Mk ⊕ B Định lý 3.8 nói lên phân tích nhÊt cđa tỉng trùc tiÕp theo nghÜa cđa Krull - Remak - Schmidt 112 Chơng 6: tổng quan lớp vành quan trọng Đ1 Vành nửa đơn - Vấn đề linh hãa tư 1.1 Mét sè chó ý vỊ vµnh nửa đơn Một lớp vành quan trọng đà có nhiều đặc trng đẹp đẽ, lớp vành nửa đơn Nó đợc định nghĩa nh vành cho iđêan phải (hay trái) hạng tử trực tiếp Chúng ta nhắc lại ba đặc trng quan trọng vành nửa đơn Trớc hết, ta nêu lên đặc trng thông qua phạm trù Mod-R (hay R-Mod) 1.1.1 Định lý [Osofsky] Vành R nửa đơn R-môđun phải (trái) cyclic nội xạ Ngoài ra, đặc trng đẹp đẽ nó, việc biểu diễn thông qua vành Artin đơn Wedderburn-Artin 1.1.2 Định lý [Wedderburn-Artin] Một vành R nửa đơn nÕu nã lµ tỉng trùc tiÕp vµnh cđa mét sè hữu hạn vành ma trận thể Ta nêu thêm đặc trng nội vành nửa đơn 1.1.3 Định lý J = Vành R nửa đơn R Artin phải hay trái Nhắc lại Định lý 1.1.3 đà có lúc Jacobson định nghĩa vành nửa đơn vành cho J = đến số nhà toán học sử dụng định nghĩa Chính thế, để khỏi nhầm lẫn, có số nhà toán học đà gọi vành nửa đơn (theo nghĩa giáo trình chúng ta) vành nửa ®¬n Artin (semisimple Artinian ring) 1.2 VÊn ®Ị linh hãa tử Ngay từ định nghĩa môđun, đà gặp đồng cấu vành unita : R Endr (M), M nhóm aben, xác định cho ta cấu trúc R-môđun phải M , ký hiệu MR Lúc đó, với việc lấy K = Kerλ = {a ∈ R|xa = 0, ∀x M} 112 iđêan hai phía chÝnh lµ linh hãa tư cđa M R, ký hiệu mà ta đà sử dụng rR (M) hay r(M) Và lớp môđun quan trọng hình thành dựa điều kiện này, môđun trung thành Một môđun MR đợc gọi trung thành (faithful module) K = 0, nghĩa đơn cấu vành unita Ngoài ra, kết thứ hai (có liên quan) đà đợc sử dụng, là: Khi cho MR , I iđêan R cho I < rR (M), M trở thành R/I -môđun phải dàn R-môđun M trùng với dàn R/I -môđun M Ta mở rộng điều đà nêu 1.2.1 Định nghÜa Cho MR vµ X ⊆ M Linh hãa tử phải (right annihilator) X R là: rR (X) = {r ∈ R|xr = 0, x ∈ X} Cho A ⊆ R Linh hãa tư tr¸i (left annihilator) cđa A M lµ: lM (A) = {x ∈ M|xa = 0, a ∈ A} Khi X = {x} hay A = {a}, ta viÕt rR (x) hay lM (a) Với linh hóa tử R, nhầm lẫn, ngời ta bỏ ký hiƯu R lR , rR , mµ chØ viÕt l, r 1.2.2 Mệnh đề Cho R S hai vành có đơn vị Cho R MS song môđun, X M, A R Lúc đó: (a) lR (X) iđêan trái R (b) rM (A) môđun MS Hơn nữa, X môđun R M , lR (X) iđêan R, A iđêan phải R, rM (A) môđun R MS Còn trờng hợp R vành giao hoán, ta có kết tơng tự Chứng minh Ta chứng minh (b) Các chứng minh khác tơng tự Cho x, y rM (A), s, s ∈ S, ∀a ∈ A, ta cã: a(xs + ys ) = a(xs) + a(ys ) = (ax)s + (ay)s = Ta cã rM (A) = ∅ v× ∈ rM (A) VËy ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh 1.2.3 MƯnh ®Ị Cho R M X, Y ⊆ M, A, B ⊆ R Lóc ®ã: (a) X ⊆ Y ⇒ lR (X) ⊇ lR (Y ) A ⊆ B ⇒ rM (A) ⊇ rM (B) (b) X ⊆ rM lR (X), A ⊆ lR rM (A) 113 (c) lR (X) = lR rM lR (X), rM (A) = rM lR rM (A) Chøng minh Chøng minh (a) vµ (b) dƠ dµng Ta chøng minh (c) Ta áp dụng (b) cho lR (X) nhận ®−ỵc lR (X) ⊆ lR rM lR (X) TiÕp tơc ¸p dơng (a), th× ta cã: X ⊆ rM lR (X) ⇒ lR (X) ⊇ lR rM lR (X) Tõ điều này, ta có điều phải chứng minh 1.2.4 MƯnh ®Ị Cho R M Cho (Kα )α∈A , (I )A lần lợt nhóm nhóm cộng M R tơng ứng Lúc đó: (a) lR ( A Kα ) = ∩A lR (Kα ) rM ( A Iα ) = ∩A rM (Iα ) (b) A lR (Kα ) ⊆ lR (∩A Kα ) A rM (Iα ) ⊆ rM (∩A Iα ) Chøng minh Chứng minh nh tập Đ2 Vành tựa Frobenius 2.1 Một số kết mở đầu Ta xem xét đến mét sè ®iỊu kiƯn linh hãa tư Khi cho mét R-môđun phải C tùy ý, ta luôn có A < rR lC (A), ∀A < RR VÊn đề lúc ta có chiều ngợc lại bất đẳng thức Sau điều kiện 2.1.1 Định lý Nếu CR vật đối sinh phạm trù Mod-R, A = rR lC (A), ∀A Chøng minh DÜ nhiªn A chøng minh r»ng < < RR rR lC (A) §Ĩ chøng minh chiều ngợc lại, ta r A r ∈ rR lR (C) ThËt vËy, lÊy r ∈ R \ A, nghÜa lµ r + A = Theo giả thiết, CR đối sinh nên đối sinh rR + A/A Theo HƯ qu¶ 1.2.5, ta lấy toàn cấu tắc : rR + A rR + A/A đồng cấu khác không nên tồn đồng cấu : rR + A/A C cho = 0, điều cịng cã nghÜa lµ τ (r + A) = 114 Ta cã = τ ν(A) = τ (1)A, nghĩa (1) lC (A) Hơn nữa, τ ν(1)r = τ ν(r) = τ (r + A) = V× vËy, r ∈ rR lC (A) 2.1.2 Mệnh đề (a) Nếu RR nội xạ, (1) ∀A, B < RR , l(A ∩ B) = l(A) + l(B) (2) Với iđêan trái hữu hạn sinh C < R R, lr(C) = C (b) NÕu RR thỏa (1) (2) (a), với đồng cấu từ iđêan phải hữu hạn sinh R ®Ịu cã thĨ më réng ®Õn mét ®ång cÊu từ R vào R (điều có nghĩa đồng cấu đợc viết qua phép nhân trái) Chứng minh Tr−íc hÕt, ta chøng minh (a) (1) Ta ®· cã l(A) + l(B) < l(A ∩ B) §Ĩ chøng minh chiều ngợc lại, ta lấy phần tử tùy ý x ∈ l(A ∩ B) Khi ®ã a + b xb R : A+B R-đồng cấu (cần thử ánh xạ sau R-đồng cấu?) Vì RR nội xạ, nên theo tiêu chuẩn Baer, tồn phần tử y R cho ϕ(a + b) = y(a + b) = xb Nãi riªng, = ϕ(a) = ya, ∀a ∈ A nên y l(A) Ngoài ra, b B, ϕ(b) = yb = xb, nªn xb − yb = hay z = x − y ∈ l(B) Suy x = y + z ∈ l(A) + l(B) Ta cã (1) Ta tiÕp tôc chøng minh (a) (2) Gi¶ sư C = Rc1 + Rc2 + + Rcn R R, c1 , c2 , , cn < ∈ C Theo MƯnh ®Ị 1.2.4, ta cã: n r( n Rci ) = i=1 r(Rci ) i=1 TiÕp tơc sư dơng (a)(1) sau ®· chøng minh cho số hữu hạn iđêan phải thông qua quy n¹p: n lr( n n Rci ) = l( i=1 r(Rci )) = i=1 lr(Rci ) i=1 Vì để chøng minh (2), ta chØ cÇn chøng minh r»ng lr(Rc) = Rc, c R 115 Dĩ nhiên, ta đà có Rc < lr(Rc) Để chứng minh chiều ngợc lại, ta giả sử b lr(Rc) Khi đó, ta có r(c) < r(b) (?) Nhê vËy, ta cã thÓ thiết lập đợc đồng cấu f : cR cr br ∈ R Theo tÝnh chÊt néi x¹ cđa RR , tồn phần tử a R cho f(cr) = br = acr, ∀r ∈ R Nãi riªng, ac = b hay b ∈ Rc VËy lr(Rc) < Rc Suy điều phải chứng minh Bây giờ, ta chứng minh (b) quy nạp theo số phần tử sinh iđêan phải cho giả thiết Với n = LÊy mét ®ång cÊu ϕ : aR −→ R tïy ý V× tõ ar = ⇒ ϕ(ar) = = ϕ(a)r ⇒ r(Ra) = r(a) < r(ϕ(a)) = r(R(a) Ta sử dụng Mệnh đề 1.2.3 (a)(2) R(a) = lr(R(a)) < lr(Ra) = Ra Từ đó, tồn c R mà (a) = ca cịng tõ ®ã, ta cã ϕ(ar) = ϕ(a)r = car, r R Kết cho trờng hợp n = Giả sử kết cho trờng hợp n Ta chứng minh kết với trờng hợp n + Giả sử n+1 R RR : i=1 R-đồng cấu tùy ý Theo giả thiết quy nạp, tồn c1 , c2 ∈ R cho n n θ( ri ) = c1 ( ri ), θ(an+1 rn+1 ) = c2 an+1 rn+1 i=1 i=1 Tr−êng hỵp c1 = c2 , ta cã kÕt luËn B©y giê, ta gi¶ sư c1 = c2 Theo gi¶ thiÕt (1), n c1 − c2 ∈ l( n R ∩ an+1 R) = l( i=1 vậy, tồn s ∈ l( n R) + l(an+1 R), i=1 R), t ∈ l(an+1 R) mµ c1 − c2 = s t i=1 116 Đặt c = c1 s = c2 − t Tõ ®ã: n+1 θ( n ri ) = θ( i=1 ri ) + θ(an+1 rn+1 ) i=1 n = (c1 − s)( ri ) + (c2 − t)an+1 rn+1 i=1 n+1 = c( ri ) i=1 Điều phải chứng minh 2.2 Đặc trng Từ kết ta suy đặc trng vành QF là: 2.2.1 Định lý Các điều kiện sau tơng đơng vành R đà cho: (i) Môđun RR Nơte nội xạ (ii) Môđun RR Nơte đối sinh (iii) Môđun RR Nơte môđun R R nội xạ (iv) Môđun RR Nơte môđun R R đối sinh (v) Môđun RR Nơte rl(A) = A, ∀A < RR , lr(B) = B, ∀B < R R RR , lr(B) = B, ∀B < R R < R R (vi) Môđun R R Nơte vµ rl(A) = A, ∀A < (vii) Vµnh RR lµ Artin (hai phÝa) vµ rl(A) = A, ∀A < RR , lr(B) = B, ∀B Chøng minh: (vii) ⇒ (v) rõ ràng (v) (i) Cho (iii) Lúc đó, víi mäi A, B < RR , ta cã r(l(A) + l(B)) = (rl(A)) ∩ (rl(B)) = A ∩ B, suy lr(l(A) + l(B)) = l(A ∩ B), hay l(A) + l(B) = l(A B) Từ Định lý trên, ta có RR nội xạ, hay R thoả (iii) Các phần lại, độc giả tự chứng minh 2.2.2 Định nghĩa Vành R thoả điều kiện tơng đơng Định lý 2.2.1 đợc gọi vành tựa Frobenius (quasi-Frobenius), viết tắt QF 117 Ta có thêm nhiều đặc trng sau QF-vành: 2.2.3 Định lý [Faith - Walker] Các điều kiện sau tơng đơng vành R đà cho: (i) Vành R QF (ii) Mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh nội xạ (iii) Mọi R-môđun phải (trái) nội xạ xạ ảnh Chứng minh: Độc giả tự chứng minh 2.2.4 Định nghĩa Môđun MR đợc gọi liên tục (continuous) thoả (C1 ) môđun ®Ịu cèt u mét h¹ng tư trùc tiÕp cđa M (C2 ) môđun A B cđa M cho A B cho B lµ hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M Vành R đợc gọi liên tục phải RR môđun liên tục Các đặc trng sau QF-vành đợc chứng minh bëi Ikeda (1952), Ikeda and Nakayama (1954), Eilenberg and Nakayama (1956), Faith (1966), Utumi (1965), Camillo and Yousif (1990), Huúnh, Dũng and Wisbauer (1990): 2.2.5 Định lý Các điều kiện sau tơng đơng vành R đà cho: (i) Vµnh R lµ QF (ii) R lµ vµnh Artin phải trái, tự nội xạ phải trái (iii) R vành Note phải trái, tự nội xạ phải trái (iv) R vành Artin phải trái, tự nội xạ phải trái (v) R vành Nơte phải trái, tự nội xạ phải trái (vi) R thoả ACC linh hoá tử phải, tự nội xạ phải trái (vii) R vành Artin phải trái, liên tục phải trái (viiii) R thoả ACC linh hoá tử phải, liên tục phải trái (ix) R thoả ACC iđêan phải cốt yếu, tự nội xạ phải trái Chứng minh: Độc giả tự chứng minh 2.2.6 Định nghĩa Vành R đợc gọi thoả ®iỊu kiƯn tèi tiĨu h¹n chÕ (restricted ACC) ®èi víi linh hoá tử phải R/Soc(RR ) có ACC linh hoá tử phải 2.2.7 Định nghĩa Môđun MR đợc gọi có chiều Goldie hữu hạn (has finite uniform dimension) nÕu M kh«ng chøa mét tỉng trực tiếp vô hạn môđun Vành R đợc gọi có chiều Goldie hữu hạn RR môđun có chiều Goldie hữu hạn 118 Vành R đợc gọi vành Goldie phải (right Goldie) RR có chiều Goldie hữu hạn thoả ACC linh hoá tử phải Các đặc trng sau QF-vành liên quan đến điều kiện dây chuyền hạn chế đợc chứng minh Dũng (1989), Armendariz Park (1990), Ara and Park (1990), Thuyết (1990): 2.2.8 Định lý Các điều kiện sau tơng đơng vành R đà cho: (i) Vành R QF (ii) R thoả điều kiện tối tiểu hạn chế linh hoá tử phải, tự nội xạ phải (iii) R/Soc(RR ) vành Goldie phải, nội xạ phải (iv) R/Soc(RR ) vành Goldie phải, liên tục phải trái Chứng minh: Độc giả tự chứng minh Đ3 Vành giả Frobenius Các đặc trng sau PF-vành đợc chứng minh Azumaya, Osofsky, Utumi: 3.1 Định lý đặc trng Các điều kiện sau tơng đơng vành R đà cho: (i) R có đế phải cốt yếu hữu hạn sinh, tự nội xạ phải (ii) R nửa hoàn chỉnh có đế phải cốt yếu, tự nội xạ phải (iii) Mọi R-môđun phải trung thành vật sinh phạm trù Mod-R (iv) R tổng trực tiếp hữu hạn R = ni=1 ei R, ei luỹ đẳng R, ei R, i = 1, , n, nội xạ, không phân tích đợc với đế đơn (v) R vật đối sinh nội xạ phạm trù ModR (vi) R tự nội xạ phải R-môđun phải đơn nhúng đợc vào RR Chứng minh: Độc giả tự chứng minh 3.2 Định nghĩa Vành R thoả điều kiện tơng đơng Định lý 3.1 đợc gọi vành giả Frobenius (pseudo-Frobenius), viết tắt PF 119 Đ4 Vành mà R/J nửa đơn 4.1 Vành nửa nguyên sơ 4.1.1 Định nghĩa Vành R cho R/J nửa đơn J luỹ linh đợc gọi vành nửa nguyên sơ (semiprimary) Nh ta đà chứng minh trớc vành nửa nguyên sơ môđun Artin, môđun Nơte môđun có độ dài hữu hạn nh Chính ta có kết quả: 4.1.2 Định lý Vành Nơte phải nửa nguyên sơ Artin phải 4.2 Vành hoàn chỉnh 4.2.1 Định nghĩa Tập I R T -luỹ linh trái (left T -transitive nilpotent) nÕu mäi d·y a1 , a2 , , I tån t¹i mét sè n cho a1 an = TËp I cđa R lµ T -luü linh ph¶i nÕu mäi d·y a1 , a2 , , I tån t¹i mét sè n cho an a1 = 4.2.2 Định lý Nếu I T-luỹ linh phải hay trái nil Chứng minh: Độc giả tự chứng minh 4.2.3 Định lý đặc trng (Bass) Các điều kiện sau tơng đơng vành R đà cho: (i) Mọi R-môđun phải có phủ xạ ảnh (ii) Vành R thoả R/J nửa đơn J T -luỹ linh phải (iii) Vành R thoả R/J nửa đơn R-môđun phải khác không chứa môđun cực đại (iv) Mọi R-môđun phải phẳng xạ ảnh (v) R thoả điều kiện tối tiểu iđêan trái (vi) R không chứa tập vô hạn luỹ đẳng trực giao R-môđun trái khác không chứa môđun cực tiểu Chứng minh: Độc giả tự chứng minh 4.2.4 Định nghĩa Vành R thoả điều kiện tơng đơng Định lý 4.3.3 đợc gọi vành hoàn chỉnh phải (perfect) 120 4.3 Vành nửa hoàn chỉnh Các luỹ đẳng vành R trở thành luỹ đẳng vành thơng R Tuy nhiên lớp luỹ đẳng vành thơng không thiết có phần tử đại diện luỹ đẳng R Ví dụ, ZZ có hai luỹ đẳng, ZZ6 có bốn 4.3.1 Định nghĩa Cho I iđêan vành R g + I luỹ đẳng R/I Ta nói luỹ đẳng nâng đợc (đến e) môđulô I tồn luỹ ®¼ng e ∈ R cho g + I = e + I Ta nói luỹ đẳng nâng môđulô I trờng hợp luỹ đẳng R/I nâng đợc đến luỹ đẳng R 4.3.2 Định lý Nếu I nil iđêan vành R luỹ đẳng nâng môđulô I Chứng minh: Độc giả tự chứng minh 4.3.3 Định lý đặc trng Các điều kiện sau tơng đơng vành R đà cho: (i) Vành R thoả R/J nửa đơn luỹ đẳng nâng môđulô J (ii) R có hệ luỹ đẳng trực giao hoàn toàn e1 , , en cho với ei Rei vành địa phơng (iii) Mọi R-môđun trái (phải) đơn có phủ xạ ảnh (iv) Mọi R-môđun trái (phải) hữu hạn sinh có phủ xạ ảnh Chứng minh: Độc giả tự chứng minh 4.3.4 Định nghĩa Vành R thoả điều kiện tơng đơng Định lý 4.3.2 đợc gọi vành nửa hoàn chỉnh (semiperfect) Ta nêu lên vấn đề biểu diễn môđun xạ ảnh 4.3.5 Định lý Cho R vành nửa hoàn chỉnh với tập sở luỹ đẳng nguyên thuỷ e1 , , em R Lúc đó, PR môđun xạ ảnh tồn tập A1 , , Am cho: (A1 ) P = e1 m) R ⊕ ⊕ e(A R m Chứng minh: Độc giả tự chứng minh 121 Đ5 Các Vành khác 5.1 Môđun đối trung thành 5.1.1 Định lý đặc trng Các điều kiện sau tơng đơng ®èi víi m«®un MR ®· cho: (i) M sinh bao nội xạ E(RR ) (ii) Tồn tập hữu hạn {m1 , , mn} phần tử MR cho r({m1 , , mn }) = (iii) Tồn số nguyên dơng n cho R nhúng đợc nh R-môđun vào M n (iv) M sinh R-môđun phải nội x¹ (v) σ[M] = Mod − R (vi) {U = M (IN )|U cyclic } tập vật sinh phạm trù Mod-R Chứng minh: Độc giả tự chứng minh 5.1.2 Định nghĩa Môđun MR thoả điều kiện tơng đơng Định lý 4.1.1 đợc gọi môđun đối trung thành (cofaithful) 5.2 Môđun trung thành 5.2.1 Định lý đặc trng Các điều kiện sau tơng đơng môđun MR đà cho: (i) M ®èi sinh R (ii) r(M) = (iii) M đối sinh R-môđun phải xạ ảnh Chứng minh: Độc giả tự chứng minh 5.2.2 Định nghĩa Môđun MR thoả điều kiện tơng đơng Định lý 4.2.1 đợc gọi môđun trung thành (faithful) Dĩ nhiên ta có vật sinh đối trung thành trung thành Các chiều ngợc lại cho ta phân loại số lớp vành 5.3 Các định lý lớp vành 5.3.1 Định lý Các điều kiện sau tơng đơng vành R đà cho: i) R có đế phải cốt yếu hữu hạn sinh ii) Mọi R-môđun phải trung thành đối trung thành Chứng minh: Độc giả tự chứng minh 122 5.3.2 Định nghĩa Vành R thoả điều kiện tơng đơng Định lý 4.3.1 đợc gọi vành tựa-Artin phải (right quasi-Artinian ring) 5.3.3 Định lý Các điều kiện sau tơng đơng vành R đà cho: (i) R tự nội xạ phải (ii) Mọi R-môđun phải đối trung thành vật sinh phạm trù ModR (iii) E(RR ) vật sinh phạm trù Mod-R Chứng minh: Độc giả tự chứng minh 5.3.4 Định nghĩa Vành R đợc gọi FPF phải R-môđun phải trung thành, hữu hạn sinh vật sinh phạm trù Mod-R 5.3.5 Định nghĩa Vành R đợc gọi GFC phải R-môđun phải trung thành, cyclic vật sinh phạm trù Mod-R 5.3.6 Định nghĩa Vành R đợc gọi FSG phải R-môđun phải đối trung thành, hữu hạn sinh vật sinh phạm trù Mod-R 5.3.7 Định nghĩa Vành R đợc gọi CSG phải R-môđun phải đối trung thành, cyclic vật sinh phạm trù Mod-R Ta tổng kết lại qua sơ đồ mối quan hệ Vành nửa đơn QF-vành Vµnh tùa-Artin ←− PF-vµnh ↑ ↓ Vµnh Artin FPF-vµnh ↓ Vành nửa nguyên sơ GFC-vành Vành hoàn chỉnh ↓ Vµnh nưa hoµn chØnh 123 −→ Vµnh tù néi xạ FSG-vành CSG-vành Mục lục Lời nói đầu Chơng 0: Môđun Đ1 Định nghĩa môđun Đ2 Môđun môđun thơng Đ3 Đồng cấu môđun Đ4 Tích tổng trực tiếp Đ5 Môđun tự Đ6 Tích tenxơ môđun Đ7 DÃy khớp 4 11 14 18 21 27 môđun Chơng 1: Vành số lớp môđun đặc biệt Đ1 Đ2 Đ3 Đ4 Đ5 Vành tự đồng cấu Nhóm Hom Môđun cốt yếu đối cốt yếu Môđun nội xạ xạ ảnh Sự phân tích vành Chơng 2: Sinh đối sinh Đ1 Vật sinh vật đối sinh Đ2 Vết gạt bỏ Đ3 Môđun hữu hạn sinh Đ4 Phạm trù [M ] 33 36 42 42 59 61 42 64 66 69 hữu hạn đối sinh Chơng 3: Môđun vành Artin Đ1 Các khái niệm ví dụ Đ2 Các định lý quan trọng liên quan 70 70 78 Chơng 4: Môđun vành nửa đơn Đ1 Môđun nửa đơn Đ2 Vành nửa đơn Chơng 5: Căn đế Đ1 Căn đế Đ2 Một số định lý quan trọng liên quan Đ3 Vành địa phơng - Định lý Krull - Schmidt 83 83 87 94 - Remak Ch−¬ng 6: Tỉng quan lớp vành quan trọng Đ1 Đ2 Đ3 Đ4 Đ5 33 Vành nửa đơn - Vấn đề linh hóa tử Vành tựa Frobenius Vành giả Frobenius Vành mà R/J nửa đơn Các vành khác Tài liệu tham khảo 94 103 109 112 112 114 119 120 122 124 ’O ` LIE ˆ U THAM KHA TAI F W ANDERSON and K R FULLER, Rings and Categories of Modules, Spinger - Verlag, New York, N Y 1974 N.V DUNG, D.V HUYNH, P SMITH and R WISBAUER, Extending modules, Pitman, London, 1994 C FAITH and S PAGE, FPF Ring Theory: Faithful Modules and Generators of Mod-R, London Math Soc Lecture Notes Series 88 Cambridge Univ Press, Cambridge, 1984 K R GOODEARL, Ring Theory, Marcel Dekker, New York, 1976 F KASCH, Moduln und Ringe, Teubner - Stuttgart, 1977 ă S.H MOHAMED and B.J MULLER, Continuous and Discrete Modules, London Math Soc Lecture Notes Ser Vol 147, Cambridge Univ Press, Cambridge, 1990 B STENSTROM, Rings of quotients, Grundleheren Math Wiss Band 217, Springer - Verlag, New York, 1975 L V THUYET and H TRON, Groups and Rings, Hue University, (1994) L V THUYET, On rings whose finitely generated cofaithful modules are generators, Algebra-Berichte, Mă unchen No 70 (1993) 10 R WISBAUER, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach, Reading, 1991 Typeset by AMS-TEX 124 ... cho R -mô? ?un phải MR ta có ZZ MR 1.4 Thay đổi vành Có vài cách tự nhiên quan trọng mô? ?un vành lại có cấu trúc mô? ?un vành khác Ví dụ, mô? ?un vành R mô? ?un vành R Tổng quát, ta dùng đồng cấu vành. .. mô? ?un mô? ?un sau meet join mô? ?un 34 giao tổng, dàn mô? ?un mô? ?un dàn sau Chú ý dàn mô? ?un MR M(R) nh Ta phát biểu chúng nh sau: 1.4.1 Mệnh đề Cho : R S đồng cấu vành M nhóm aben đồng thời R -mô? ?un... tử cực đại Đ2 Mô? ?un CON Và mô? ?un thơng 2.1 mô? ?un 2.1.1 Định nghĩa Cho M R -mô? ?un phải Tập A M đợc gọi mô? ?un M (kÝ hiÖu A < M hay AR < MR ), A R -mô? ?un phải với phép toán cộng nhân mô? ?un hạn chế A