1 TRUONGHOCSO.COM MÃ SỐ D3 Hướng dẫn giải gồm 05 trang TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 3 y x x m    , m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 0 m  . 2. Tìm m để tiếp tuyến tại tại điểm có hoành độ bằng 1 của đồ thị hàm số (1) tạo với hai trục tọa độ một tam giác OAB có diện tích bằng 3 2 (O là gốc tọa độ). Hướng dẫn: 1. Bài toán cơ bản, học sinh tự giải. 2. Tọa độ điểm M có hoành độ bằng 1 thuộc đồ thị hàm số   1; 2 M m  . Đạo hàm 2 3 6 y x x    . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm   1; 2 M m  là     1 . 1 2 : 3 2 y y x m d y x m           . Giao điểm của d với trục hoành : 2 ;0 3 m A        và với trục tung   0; 2 B m  . Tam giác OAB vuông tại O nên   2 1 1 2 1 2 2 2 2 3 6 OAB m S OA OB m m       .   2 1 3 2 9 2 3 5 2 OAB m S m m m                Câu 2 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình       4 2 2 2 1 1 1 ; 2 9 2 5 0 x x y x y x x y y x                . Hướng dẫn: Hệ phương trình đã cho tương đương với       2 2 2 2 2 0 2 5 2 0 x y x y x y x y              Đặt 2 ; 2 x y a y b     thu được   2 2 2 2 2 2 0 2 5 0 2 5 0 2 5 0 xb a a xb xb a x b b a x b x b x b                          Xét các trường hợp         2 0 0 0 0 ; 2;2 , 2;2 2 0 5 9 5 97 9 5 97 9 ; ; , ; 2 2 4 2 4 2 x y x y b a x y y b y x y                                            Hệ đã cho có 5 nghiệm. 2 Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình   2 2 sin tan os os2 2 tan x x c x c x x    . Hướng dẫn: Điều kiện cos 0 x  . Phương trình đã cho tương đương với              2 2 3 3 2 2 sin sin sin os os2 2 sin os os sin 2cos sin cos cos cos sin 1 sin cos cos sin 2cos sin 0 cos sin cos 2sin cos 0 tan 1 4 1 tan tan 2 x x x c x c x x c x c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k x x k                                                   Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân   2 1 2 1 0 2 1 x x I x x e dx       . Hướng dẫn:         2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 0 0 0 0 2 1 2 2 1 ; 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x I x x e dx x x e dx e dx e u du x e dx dx dv v x e dx xe x x e dx I xe e                                            Câu 5 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có 2 2 ; ' 2 5; 120 AC AB a A A a BAC      . Gọi M là trung điểm của cạnh CC’, chứng minh MB vuông góc với MA’ và tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng A’BM. Hướng dẫn: Áp dụng định lý cosin ta có 2 2 2 2 2 3 ; ' 3 ; ' ' 21 ' MB a MA a MB MA BA a MA MB        . Lại có             ' ' ' 1 1 , ' . . ; , ' , ' 3 3 3 ABA M ABA MBA V d M ABA S d S d M ABA d C ABA a       . 2 2 ' ' 1 1 1 5 . ' 5; . 3 3 2 2 3 ABA MBA a S AB A A a S MB MA a d        . Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực , x y thỏa mãn đồng thời 2 2 2 ; 2 3 y x y x x     . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 6 6 7 N x y    . Hướng dẫn: Từ giả thiết ta có 0 y  , suy ra   2 2 2 4 3 2 2 3 4 12 9 y x x x x x       . Hơn nữa 2 2 2 6 2 3 5 6 0 0 2 5 x x x x x x          Do đó   2 2 2 4 3 2 4 3 2 6 6 7 6 6 4 12 9 7 24 72 60 7 N x y x x x x x x x             . Xét hàm số   4 3 2 6 24 72 60 7 ; 0; 5 f x x x x x            .               6 0; 5 24 1 5 ; 0 0; 1; 5 6 11719 1 0 7; 1 19; 19 19 1; 5 625 2 x f x x x x f x x x x f f f Max f x MaxN x y                                  3 II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm   8;0; 23 A  , nằm trong mặt phẳng   :2 2 7 0 P x y z     và tiếp xúc với mặt cầu         2 2 2 : 1 2 3 17 S x y z       . Hướng dẫn: Mặt cầu đã cho có tâm   1; 2; 3 I    , bán kính 17 R  . Gọi     2 2 2 ; ; 0 u a b c a b c      là vector chỉ phương của đường thẳng  cần tìm. Đường thẳng cần tìm nằm trong mặt phẳng (P) nên . 0 2 2 0 2 2 d P u n a b c c a b            . Ta có   9;2;20 AI    ,   , 2 20 ;20 9 ; 9 2 d AI u c b a c b a            . Đường thẳng cần tìm tiếp xúc với mặt cầu (S) khi             2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , 2 20 20 9 9 2 17. 896 61 20 0 61 20 896 0 224 326 8 23 ; 1; 224 326 61 61 61 61 0 0; 0 8 23 4; 1; 10 4 10 d d AI u d I R R c b c c b a a b c u b a ab b a a x z a b c y b a c L x z a b c y                                                                 Câu 8.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm       1; 1 , 0;2 , 0;1 A B C  . Lập phương trình đường thẳng d đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến d đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn: Đường thẳng d đi qua   1; 1 A   và có vector pháp tuyến là     2 2 ; 0 d n a b a b     . Phương trình d có dạng:     1 1 0 a x b y     . Khoảng cách từ B và C đến đường thẳng d lần lượt là     2 2 2 2 3 2 , ; , a b a b d B d d C d a b a b       . Tổng khoảng cách       2 2 2 2 2 2 3 2 1 , , 3 2 a b a b d d B d d C d a b a b a b a b a b              . Sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối x y x y    , đẳng thức xảy ra khi 0 xy  , ta có     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 2 2 5 29 a b a b a b a b d a b a b a b              . Đẳng thức xảy ra khi 0 2; 5 : 2 5 7 0 2 5 ab a a b d x y b               . 4 Câu 9.a (1,0 điểm). Giải hệ phương trình   2 2 2 2 2 2 2 3 1 0 ; 4 2 2 x y x y x xy x y x y                 . Hướng dẫn: Hệ phương trình đã cho tương đương với                    2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 0 2 1 1 0 1 3 1 3 ; ; , ; , 0;1 , 1;0 2 2 2 2 2 1 2 2 0 1 x y x y x x y x x x y x y x y                                              . Hệ đã cho có 4 nghiệm. B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm     3;5;4 , 3;1;4 A B , tìm tọa độ điểm C nằm trong mặt phẳng   : 1 0 P x y z     sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 2 17 . Hướng dẫn: Tọa độ điểm C :   ; ; 1 C a b a b   . Tam giác ABC cân tại C khi             2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 5 3 1 5 3 AC BC a b a b a b a b b                  . Hơn nữa   4, 3;3;4 AB I (I là trung điểm của AB).     2 2 4 1 2 17 . 2 17 17 3 8 17 7 2 ABC a S CI AB CI a a a                  Suy ra có hai điểm C thỏa mãn bài toán :     4;3;0 7;3;3 C C . Câu 8.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ellipse   2 2 : 1 10 5 x y E   . Lập phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng : 2013 0 d x y    và cắt ellipse đã cho tại hai điểm M, N sao cho 4 6 3 MN  . Hướng dẫn: Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng y x b   . Tọa độ giao điểm của đường thẳng trên và ellipse là nghiệm của hệ   2 2 2 2 3 4 2 10 0 1 10 5 y x b y x b x y x bx b                       Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm M,N thỏa mãn bài toán khi (*) có 2 nghiệm phân biệt 2 2 120 20 0 6 b b        . Tọa độ hai điểm M, N là     1 1 2 2 ; , ; M x x b N x x b   , với 1 2 , x x là hai nghiệm phân biệt của (*). Áp dụng định lý Viete ta có 1 2 2 1 2 4 3 2 10 3 b x x b x x                   2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 2 10 4 6 32 16 16 16 2 4 9 3 3 3 3 9 3 3 b b MN x x x x x x b b                  . Có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán : 3; 3 y x y x     . 5 Câu 9.b (1,0 điểm). Một hộp đựng 40 viên bi, trong đó có 20 viên bi đỏ, 10 viên bi xanh, 6 viên bi vàng và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi, tính xác suất để hai viên bi lấy ra có cùng màu. Hướng dẫn: Lấy 2 viên bi bất kỳ có 2 40 C cách. Xét các trường hợp sau; Hai viên bi lấy ra có cùng màu đỏ : 2 20 C cách Hai viên bi lấy ra có cùng màu xanh : 2 10 C cách Hai viên bi lấy ra có cùng màu vàng : 2 6 C cách Hai viên bi lấy ra có cùng màu trắng : 2 4 C cách. Như vậy, tổng số cách lấy ra hai viên bi cùng màu là 2 2 2 2 20 10 6 4 256 C C C C    , xác suất cần tính là 2 40 256 64 195 P C   . . TRUONGHOCSO.COM MÃ SỐ D3 Hướng d n giải gồm 05 trang TUYỂN TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN; Khối: D Thời gian làm bài:. ; 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x I x x e dx x x e dx e dx e u du x e dx dx dv v x e dx xe x x e dx I xe e                   