BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH oOo ðặng Tuấn Hiệp ðA THỨC DUY NHẤT VÀ BI-URS KIỂU (1,N) CHO HÀM PHÂN HÌNH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET Chuyên ngành: ðại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 2 Mở đầu Một trong các vấn đề quan trọng của lý thuyết hàm giải tích là nghiên cứu các không điểm và điểm kỳ dò. Theo hướng này, vào những năm 20 của thế kỷ XX, R. Nevanlinna đã công bố các công trình nghiên cứu mà ngày nay được xem là một trong những thành tựu đẹp đẽ và sâu sắc nhất của toán học: Lý thuyết Nevanlinna. Nội dung chính của lý thuyết Nevanlinna là hai đònh lý cơ bản: đònh lý cơ bản thứ nhất là một tương tự siêu việt của đònh lý cơ bản của đại số, đònh lý cơ bản thứ hai là mở rộng của đònh lý Picard. Gần 60 năm sau, P. Vojta đã phát hiện ra bản dòch của lý thuyết Nevanlinna trong số học: đònh lý Roth. Phát hiện này đã giúp P. Vojta đề ra giả thuyết tổng quát về lý thuyết Nevanlinna số học mà một trong các hệ quả là đònh lý Fermat tiệm cận. Sự tương tự giữa lý thuyết Nevanlinna và xấp xỷ Diophant đã cho một công cụ mới để nghiên cứu các vấn đề của số học: chỉ cần tìm ra từ điển thích hợp, có thể phiên dòch các kết quả của lý thuyết Nevanlinna thành các kết quả số học. Lý thuyết Nevanlinna cũng cho một sự tương tự giữa số đại số và hàm phân hình. Nếu xét trên trường cơ sở là trường không Acsimet, mà trường các số phức p-adic là một ví dụ, chúng ta có lý thuyết Nevanlinna p-adic, được xây dựng và phát triển bởi Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang, Mai Văn Tư, W. Cherry, P. C. Hu, C. C. Yang, A. Escassut, A. Boutabaa, Giả thuyết nổi tiếng của W. Cherry chỉ ra có sự tương tự giữa trường số phức và trường p-adic: "Mọi kết quả đúng cho đa thức (hoặc hàm hữu tỷ) trên C thì cũng đúng cho hàm nguyên (hàm phân hình, tương ứng) trên C p , trừ những kết quả hiển nhiên sai", nghóa là tồn tại một bản dòch từ trường số phức C sang trường không Acsimet K. Đây là vấn đề đã và đang nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh: hàm phân hình trên C xác đònh một cách duy nhất bởi ảnh ngược, không tính bội của năm giá trò phân biệt. Đònh lý năm điểm của Nevanlinna suy ra rằng hai hàm nguyên khác hằng chung nhau bốn giá trò hữu hạn phải trùng nhau (ta nói rằng hai hàm 3 f và g chung nhau giá trò a nếu f −1 (a)=g −1 (a)). Kết quả này không thể tốt hơn, vì hai hàm e z và e −z chung nhau tại 0, 1, −1. Sau đó, Polya chỉ ra, nếu hai hàm phân hình f và g chung nhau bốn giá trò phân biệt, kể cả bội, thì g là biến đổi Mobius của f, nghóa là g = af + b cf + d với các hằng số a, b, c, d thỏa mãn (c, d) =(0, 0). Lý thuyết về tập xác đònh duy nhất của các hàm phân hình được F. Gross nêu ra một cách tự nhiên: Liệu chỉ xét nghòch ảnh của một tập con S mà không phải là nghòch ảnh của từng phần tử, chúng ta có thể nhận được các kết quả tương tự đònh lý năm điểm Nevanlinna hay không? Tức là có tồn tại hay không tập S để với bất kỳ các hàm phân hình f, g thỏa mãn f −1 (S)=g −1 (S) kéo theo f = g? Ký hiệu W là trường số phức C hoặc trường K đóng đại số, đặc số không, đầy đủ với chuẩn không Acsimet, A(W) là vành các hàm chỉnh hình trên W, M(W) là trường các hàm phân hình trên W. Giả sử S là tập con không rỗng của  W = W ∪ {∞}, F là một họ nào đó các hàm xác đònh trên W lấy giá trò trên  W, f ∈F. Đặt E f (S)=  a∈S {(z,m) ∈ W × N|z là không điểm bội m của f − a}, E f (S)=  a∈S {z ∈ W|z là không điểm của f − a}. Hai hàm phân hình f,g được gọi là chung nhau S, tính cả bội (tương ứng, không tính bội) nếu E f (S)=E g (S) (tương ứng, E f (S)=E g (S)). Tập S được gọi là tập xác đònh duy nhất (tương ứng, tập xác đònh duy nhất không tính bội) cho họ các hàm F, kí hiệu là URS (tương ứng, URSIM), nếu với mọi hàm f,g ∈F thỏa mãn E f (S)=E g (S) (tương ứng, E f (S)=E g (S)) thì f = g. Giả sử B = {a 1 ,a 2 , ,a n } là tập hữu hạn, chúng ta gọi P B (z)= (z − a 1 )(z − a 2 ) (z − a n ) là đa thức liên kết với tập hợp B. Trong [13], C. C. Yang - P. Li đã nêu khái niệm sau. Đònh nghóa. Đa thức P (z) ∈ W[z] được gọi là đa thức duy nhất mạnh cho họ các hàm F nếu với mọi hàm f,g ∈Fvà hằng số c =0nào đó thỏa mãn P(f)=cP (g) thì c =1và f = g. Tương tự, đa thức P (z) ∈ W[z] được gọi là đa thức duy nhất cho họ các hàm F nếu với mọi hàm f,g ∈Fthỏa 4 mãn P(f)=P (g) thì f = g. Từ các đònh nghóa của URS và đa thức duy nhất ta thấy rằng có một mối quan hệ chặt chẽ giữa chúng. Cho tập S là URS cho các hàm phân hình, chúng ta xây dựng một đa thức P (z) không có nghiệm bội và nhận S làm tập nghiệm. Khi đó điều kiện E f (S)=E g (S) có nghóa là P (f) và P (g) có cùng không điểm với cùng bội, điều này yếu hơn điều kiện P(f)=cP (g). Nghóa là, nếu S là URS cho các hàm phân hình thì đa thức P liên kết với S cũng là đa thức duy nhất mạnh cho các hàm phân hình. Vì vậy để nghiên cứu URS cho các hàm phân hình ta nghiên cứu các đa thức duy nhất. Khi xem xét sự xác đònh của hàm phân hình thông qua ảnh ngược của một tập hợp ta gặp rất nhiều khó khăn để giảm số điểm của tập hợp đó. Cho đến nay, chưa có phương pháp nào để tìm URS cho các hàm phân hình phức (tương ứng, p-adic) có số phần tử bé hơn 11 (tương ứng, 10). Vì vậy có một vấn đề được đặt ra là xem xét sự xác đònh của các hàm phân hình thông qua ảnh ngược của nhiều hơn một tập hợp. Đònh nghóa. ([3]) Giả sử S, T là các tập con trong  W = W ∪ {∞} sao cho S ∩T = ∅. Khi đó cặp (S, T) được gọi là bi-URS cho F nếu với hai hàm khác hằng số f,g ∈Fthỏa mãn E f (S)=E g (S) và E f (T )=E g (T ) thì f = g. Năm 1996, P. Li và C. C. Yang ([12]) đã chứng minh rằng trên C tồn tại bi-URS kiểu (1,n) cho hàm phân hình có dạng ({∞},S) với #S ≥ 15. Trên trường K không Acsimet, năm 1971, W. W. Adams và E. G. Straus đã chỉ ra: với mọi a = b ∈ K, cặp ({a}, {b}) là bi-URS cho hàm nguyên. Năm 1998, A. Boutabaa và A. Escassut ([4]), bằng các ước lượng phù hợp cho đa thức P (z)=z n − az m +1, đã chỉ ra: với mọi n ≥ 5 và ω ∈ K ∪ {∞}, tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z 1 ,z 2 , ,z n }). Tiếp theo, trong [6], các tác giả đã chứng minh không tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z 1 ,z 2 ,z 3 }). Sau đó, đến năm 2001, bằng cách sử dụng các ước lượng hàm Nevanlinna, Hà Huy Khoái và Tạ Thò Hoài An ([9]) đã chỉ ra sự tồn tại của bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z 1 ,z 2 ,z 3 ,z 4 }). Như vậy, vấn đề tồn tại bi-URS cho M(K) kiểu (1,n) đã được giải quyết trọn vẹn và n =4 là số tốt nhất có thể. Gần đây, bằng cách sử dụng công cụ của Hình học đại số, xây dựng các đa thức liên kết và xét tính hyperbolic của các đường cong tương ứng, 5 Nguyễn Trọng Hòa ([3], [10]) đã chỉ ra sự tồn tại bi-URS cho M(K) kiểu (2,n), với mọi n ≥ 3 và khẳng đònh n =3là số bé nhất có thể. Các kết quả của Tạ Thò Hoài An và Nguyễn Trọng Hòa đạt được là những đóng góp mới không chỉ ở nội dung mà ở cả phương pháp tiếp cận khi nghiên cứu các vấn đề tương tự. Bởi vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu về đa thức duy nhất và song tập xác đònh duy nhất kiểu (1,n) cho hàm phân hình trên trường không Acsimet. Cụ thể, chúng tôi muốn hệ thống lại một cách chi tiết các chứng minh của những kết quả mà các tác giả đã chỉ ra. Qua đó, chúng tôi sẽ cố gắng xây dựng các ví dụ cụ thể để minh họa các kết quả trong một số trường hợp đặc biệt. Đề tài của chúng tôi mang tên: "Đa thức duy nhất và bi-URS kiểu (1,n) cho hàm phân hình trên trường không Acsimet". Phương pháp của chúng tôi là sử dụng ước lượng các hàm Nevanlinna để đánh giá tập không điểm của một lớp các đa thức thỏa mãn một số điều kiện nào đó. Nội dung của luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, các tài liệu tham khảo và ba chương. Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p-adic và lý thuyết Nevanlinna p-adic. Đây là các kiến thức cơ sở cho các chương sau. Chương 2 trình bày các kết quả về đa thức duy nhất cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet. Chương 3 trình bày các kết quả về song tập xác đònh duy nhất kiểu (1,n) cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet. Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Trọng Hòa, ngưới đã đặt vấn đề và dẫn dắt tác giả hoàn thành công việc của mình. Tác giả xin gửi tới TS. Nguyễn Trọng Hòa lời cảm ơn chân thành. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS. Mỵ Vinh Quang người thầy đầu tiên đã hướng dẫn tác giả trong công việc nghiên cứu các vấn đề về lý thuyết Nevanlinna p-adic và các áp dụng. Tác giả cũng xin chân thành biết ơn ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là TS. Nguyễn Thái Sơn đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả hoàn thành công việc của mình. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới PGS. 6 TS. Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, PGS. TS. Đậu Thế Cấp và PGS. TS. Lê Hoàn Hóa đã giảng dạy cho tác giả các chuyên đề cao học. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể cán bộ Phòng Khoa học công nghệ và Sau đại học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành công việc học tập và nghiên cứu của mình. Cuối cùng, tác giả xin tỏ lòng biết ơn đến Mẹ, người mà đã chấp nhận khó khăn và dành hết tình thương yêu, động viện tác giả hoàn thành công việc học tập của mình. 7 Chương 1 Các kiến thức cơ sở Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sở về hàm phân hình và lý thuyết Nevanlinna trên trường không Acsimet. Trước hết, chúng tôi đưa ra các ký hiệu dùng trong luận văn. • K là trường đóng đại số, đặc số 0 và đầy đủ với chuẩn không Acsimet. • C là trường các số phức. • C p là trường các số phức p-adic. • L là C hoặc K. •A(L) là vành các hàm nguyên trên L. •M(L) là trường các hàm phân hình trên L. • W là trường đóng đại số, đặc số 0. •  W là không gian xạ ảnh một chiều trên W. •Flà một họ các hàm xác đònh trên W và lấy giá trò trên  W. 8 1.1 Trường không Acsimet Các khái niệm và kết quả được nhắc đến trong phần này được trình bày một cách chi tiết trong [8]. Chuẩn không Acsimet Đònh nghóa 1.1. Một chuẩn trên trường W là ánh xạ |.| : W → R + =[0, ∞), thỏa mãn các điều kiện sau: (1) |x| =0⇔ x =0, (2) |xy| = |x||y|; ∀x, y ∈ W, (3) |x + y|≤|x| + |y|; ∀x, y ∈ W. Nếu thay (3) bởi điều kiện mạnh hơn: (3  ) |x + y|≤max{|x|, |y|} thì ta thu được chuẩn không Acsimet. Mỗi chuẩn | .| trên trường W cảm sinh một hàm khoảng cách d xác đònh bởi d(x, y)=|x − y| với mọi x, y ∈ W, và do đó chuẩn này cảm sinh một tôpô trên W. Trường với chuẩn không Acsimet được gọi là trường không Acsimet, ký hiệu K. Hai chuẩn trên một trường W gọi là tương đương nếu nó cùng cảm sinh một tôpô trên W. Cho r là số thực dương và điểm x ∈ W. Ký hiệu đóa mở, đóa đóng tâm x bán kính r theo thứ tự bởi: D(x, r)={y ∈ W|d(x, y) <r}, D(x, r)={y ∈ W|d(x, y) ≤ r}. Đóa D = D(0, 1) được gọi là đóa đơn vò. Với hằng số c>1, hàm v c : W → R ∪ {∞}, v c (x)=  − log c |x| nếu x =0, +∞ nếu x =0. được gọi là hàm cộng tương ứng của chuẩn |.|. 9 Mệnh đề 1.1. Một chuẩn trên trường W là không Acsimet nếu và chỉ nếu hàm cộng v tương ứng của nó thỏa mãn các điều kiện sau: (1) v(x)=+∞⇔x =0, (2) v(xy)=v(x)v(y); ∀x, y ∈ W, (3) v(x + y) ≥ min{v(x),v(y)}; ∀x, y ∈ W. Không gian p-adic (Xem [8], [2]) Một ví dụ của chuẩn không Acsimet là chuẩn p-adic, được xác đònh như sau: Cho p là số nguyên tố. Với mỗi số nguyên a =0, ta có thể viết a = p v a  , p không chia hết a  . Số tự nhiên v được xác đònh duy nhất bởi a và p, cho nên ta nhận được hàm v p : Z ∗ → Z + ,v p (a)=v. Có thể mở rộng hàm v p lên trường các số hữu tỷ: với mọi x = a/b ∈ Q, đặt v p (x)=  v p (a) − v p (b) nếu x =0, +∞ nếu x =0. Khi đó, chúng ta có chuẩn p-adic tương ứng, ký hiệu |.| p trên Q, xác đònh bởi: |x| p =  p −v p (x) nếu x =0, 0 nếu x =0. Đònh lý 1.1 (Ostrowski [8]). Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương đương với chuẩn p-adic hoặc chuẩn giá trò tuyệt đối thông thường. Như vậy chỉ có hai hướng mở rộng trường các số hữu tỷ Q. Mở rộng theo chuẩn giá trò tuyệt đối thông thường ta được trường các số thực R. Mở rộng theo chuẩn p-adic ta được trường các số p-adic, ký hiệu là Q p . Gọi Q p là bao đóng đại số của Q p . Tuy đóng đại số nhưng Q p không đầy đủ theo tôpô không Acsimet. Ký hiệu C p =  Q p là trường mở rộng đầy đủ của Q p theo tôpô không Acsimet, và được gọi là trường các số phức p-adic. Mệnh đề 1.2. C p là trường đóng đại số và đầy đủ theo chuẩn không Acsimet. C p là không gian khả ly nhưng không compact đòa phương. 10 1.2 Hàm phân hình p-adic Đònh nghóa 1.2. Một chuỗi lũy thừa f(z)= ∞  n=0 a n z n ; a n ∈ K, hội tụ trên đóa D(0,ρ) được gọi là hàm chỉnh hình p-adic trên đóa ấy. Hàm chỉnh hình p-adic trên toàn K được gọi là hàm nguyên p-adic. Giả sử f và g là các hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm chung trên một đóa. Khi đó hàm ϕ = f g , được gọi là hàm phân hình p-adic trên đóa đó. Nếu f và g là các hàm nguyên p-adic thì ϕ là hàm phân hình p-adic trên K, còn gọi là hàm phân hình p-adic. Sau này, nếu không cần phân biệt, chúng ta gọi chung hàm phân hình trên K và hàm phân hình trên C là hàm phân hình. Cho f là hàm chỉnh hình p-adic khác hằng số trên đóa D(0,ρ). Với mỗi 0 <r<ρ, ta đònh nghóa hạng tử tối đại: µ(r, f) = max n≥0 {|a n |r n }, tương ứng là chỉ số tâm: ν(r, f ) = max n≥0 {n : |a n |r n = µ(r, f )}. Chúng ta quy ước µ(0,f) = lim r→0 + µ(r, f); ν(0,f) = lim r→0 + ν(r, f ). Bổ đề 1.1. Chỉ số tâm ν(r, f ) tăng lên khi r → ρ và thỏa mãn công thức log µ(r, f) = log |a ν(0,f ) | +  r 0 ν(t, f) − ν(0,f) t dt + ν(0,f) log r. Bổ đề 1.2 (Đònh lý chuẩn bò Weierstrass). Cho f là hàm chỉnh hình trên đóa D(0,ρ). Khi đó, có tồn tại một đa thức monic P có bậc là ν(r, f ) và một hàm chỉnh hình p-adic g trên D(0,r) sao cho f = gP. Hơn nữa, g không có không điểm trong D(0,r) và P có đúng ν(r, f) không điểm kể cả bội trên D(0,r). [...]... 1 và khi đó, vì Fn,b là đa thức duy nhất yếu cho M(K) nên ta phải có f = g Đònh lý 2.9 Các đa thức F3,b và F4,b không là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho M(K) 28 Chứng minh Dễ thấy, đa thức F3,b là đa thức bậc 3 và có chỉ số đạo hàm k = 1, nên theo đònh lý 2.1 hoặc đònh lý 2.2, ta có F3,b không là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho M(K) Xét đa thức F4,b , ta có F4,b = 12z(z − 1)2 Do đó chỉ số đạo hàm. .. là đa thức duy nhất mạnh Đối với trường không Acsimet, năm 2001, bằng cách sử dụng các ước lượng hàm Nevanlinna, Hà Huy Khoái và Tạ Thò Hoài An ([9]) đã đưa ra điều kiện đủ để một đa thức là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet K Sau đó, đến năm 2002, J T-Y Wang ([16]) đã chỉ ra điều kiện cần và đủ để lớp các đa thức thỏa mãn điều kiện tách nghiệm là đa thức duy. .. đa thức lấy hệ số trên C bậc bé hơn 5 không phải là đa thức duy nhất yếu (do đó cũng không phải là đa thức duy nhất mạnh) và họ đưa ra nhận xét rằng không dễ để có thể khẳng đònh một đa thức có phải là đa thức duy nhất hay không Gần đây, B Shiffman ([14]) đã đưa ra một điều kiện đủ tổng quát cho một đa thức phức là đa thức duy nhất Sau đó, H Fujimoto ([7]) cũng đưa ra những điều kiện đủ để một đa thức. .. là đa thức duy nhất yếu (mạnh) cho trường các phân thức trên K 2.2 Đa thức duy nhất yếu Đònh lý sau đây cho ta biết một điều kiện đủ để đa thức P (z) ∈ W[z] là đa thức duy nhất yếu Đònh lý 2.4 Giả sử P (z) ∈ W[z] là đa thức thỏa mãn điều kiện (H), có chỉ số đạo hàm k ≥ 3 Khi đó P (z) là đa thức duy nhất yếu cho M(W) Để chứng minh đònh lý này, chúng ta cần một số khái niệm sau đây Giả sử f là hàm phân. .. duy nhất yếu và mạnh cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet, đặc số p ≥ 0 bất kỳ Đònh nghóa 2.1 ([9]) Một đa thức khác hằng số P (z) ∈ W[z] được gọi là đa thức duy nhất yếu cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện P (f ) = P (g) thì f = g Tương tự, đa thức P (z) ∈ W[z] được gọi là đa thức duy nhất mạnh cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F và hằng số khác không c ∈ W thỏa... F4,b là k = 2 và min{q1 , q2 } = 1 Theo đònh lý 2.3, ta cũng có đa thức F4,b không là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho M(K) Hơn nữa, từ cách chứng minh của đònh lý 2.2, ta có thể khẳng đònh đa thức F3,b cũng không là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho A(K), với A(K) là vành các hàm nguyên 2.5 Đa thức duy nhất mạnh Đònh lý 2.10 (Xem [1]) Giả sử P (z) là đa thức thỏa mãn các điều kiện (H) và (G), hơn nữa... đa thức là đa thức duy nhất mạnh (yếu) cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet Đồng thời, chúng tôi cũng đã nghiên cứu thêm các điều kiện để hai lớp đa thức Yn,m và Fn,d trở thành các đa thức duy nhất mạnh cho M(K) Các kết quả này giúp chúng tôi xây dựng được một cách đầy đủ các ví dụ về song tập xác đònh duy nhất kiểu (1, n) cho M(K) Điều này sẽ được trình bày trong chương 3 35 Chương 3 Bi-URS. .. = P (g + d) = P (g ) Vậy P không là đa thức duy nhất yếu cho M(W) Do đó P cũng không là đa thức duy nhất mạnh cho M(W) Đònh lý 2.2 Nếu k = 1 thì P không là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho F Chứng minh Giả sử k = 1, khi đó q ≥ 2 và P (z) = q(z − d)q−1 Suy ra P (z) = (z − d)q + c, với d, c ∈ K và c = 0 Với bất kì hàm khác hằng số f ∈ F và hằng số ξ = 1 sao cho ξ q = 1 Đặt hàm g = ξf + (1 − ξ)d Dễ dàng... ta đang làm việc trên trường không Acsimet, nên chắc chắn sẽ có một số tính chất đặc thù và dễ dàng kiểm tra hơn khi xét trên trường số phức nói chung Đối với đa thức duy nhất trên trường không Acsimet chúng ta cũng có các tính chất khác biệt mà trong trường số phức không có được Cụ thể là mệnh đề sau Mệnh đề 2.1 ([16]) Các khẳng đònh sau là tương đương: (1) P (z) là đa thức duy nhất yếu (mạnh) cho. .. Yn,n−1 (g) Vì vậy, Yn,n−1 không là đa thức duy nhất yếu cho M(K) Hiển nhiên, khi đó Yn,n−1 cũng không là đa thức duy nhất mạnh cho M(K) Bây giờ, chúng ta sẽ xét tất cả các giá trò m, n sao cho Yn,m là đa thức duy nhất yếu cho M(K) Một vấn đề đặt ra là cần phải thêm các điều kiện nào của m, n để cho Ym,n cũng sẽ là đa thức duy nhất mạnh cho M(K) Đònh lý sau đây là câu trả lời cho vấn đề này Đònh lý 2.6 . là hàm phân hình p-adic trên K, còn gọi là hàm phân hình p-adic. Sau này, nếu không cần phân biệt, chúng ta gọi chung hàm phân hình trên K và hàm phân hình. đa thức duy nhất cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet. Chương 3 trình bày các kết quả về song tập xác đònh duy nhất kiểu (1,n) cho các hàm phân