Thông tin tài liệu
Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ mơn Tốn ứng dụng
Đại số tuyến tính
Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ (tt)
• Giảng viên TS. Đặng Văn Vinh
Nội dung
I – Toạ độ của véctơ.
II – Không gian con.
III - Tổng và giao của hai không gian con.
I. Toạ độ của véctơ
Cho E ={e
1
, e
2
, …, e
n
} là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V
Định nghĩa toạ độ của véctơ
1 1 2 2
n n
x x e x e x e
1
2
[ ]
E
n
x
x
x
x
x V
Bộ số được gọi là tọa độ của véctơ x trong
cơ sở E.
1 2
( , , , )
n
x x x
I. Toùa ủoọ cuỷa veựctụ
2 2 2
Cho { 1; 2 1; 2}
E x x x x x x
Vớ d
Tỡm vộct p(x), bit to trong c s E l
3
[ ( )] 5
2
E
p x
l c s ca khụng gian
2
[x]
P
3
[ ( )] 5
2
E
p x
2 2 2
( ) 3( 1) 5( 2 1) 2( 2)
p x x x x x x x
( ) 5 2
p x x
I. Toùa ủoọ cuỷa veựctụ
Cho {(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)}
E
Vớ d
l mt vộct ca R
3
. Tỡm to ca vộct x trong c s E.
l c s ca R
3
v x = (3,1,-2)
Gi s
1
2
3
[ ]
E
x
x x
x
1 1 2 2 3 3
x x e x e x e
1 2 3
(3,1, 2) (1,1,1) (1,0,1) (1,1,0)
x x x
1 2 3
1 3
1 2
3
1
2
x x x
x x
x x
4
[ ] 2
5
E
x
I. Tọa độ của véctơ
2
2
Cho { 1; 1;2 1} là cơ sở [ ].
E x x x x P x
Ví dụ
Tìm toạ độ của véctơ p(x) = 3x
2
+4x-1 trong cơ sở E.
Giả sử
[ ( )]
E
a
p x b
c
1 2 3
( ) . . .
p x a e b e c e
2 2
3 4 1 ( 1) ( 1) (2 1)
x x a x x b x c x
3
2 4
1
a
a b c
a b c
3
[ ( )] 9
5
E
p x
I. Toùa ủoọ cuỷa veựctụ
1 1
2 2
2. [ ]
E
n n
x y
x y
x y
x y
1 1
2 2
1.
n n
x y
x y
x y
x y
1
2
[ ]
E
n
y
y
y
y
Tớnh cht ca ta vộct
1
2
[ ]
E
n
x
x
x
x
1
2
3. [ ]
E
n
x
x
x
x
I. Tọa độ của véctơ
Ý nghĩa của toạ độ véctơ.
Trong khơng gian n chiều V cho một cơ sở
E ={e
1
, e
2
, …, e
n
}.
Tất cả các vectơ của V đều biễu diễn qua E dưới dạng tọa độ.
Hai phép tốn cơ bản: cộng hai vectơ và nhân vectơ với một
số, và sự bằng nhau trong V có thể phức tạp.
Theo tính chất của tọa độ, ta thấy các phép tốn này giống
hồn tồn trong R
n
.
Suy ra cấu trúc của khơng gian vectơ V hồn tồn giống R
n
.
Chứng minh được V và R
n
đồng cấu với nhau, vậy nên trong
nghiên cứu ta đồng nhất V và R
n
.
Tất cả các khơng gian n chiều đều coi là R
n
.
I. Tọa độ của véctơ
2 2 2
2
{ 1;3 2 1;2 } [ ].
Cho là tập con của
M x x x x x x P x
Ví dụ
Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
Chọn cơ sở chính tắc của P
2
[x] là .
2
, ,1
{ }
E x x
2
1
1 1
1
E
[ ]x x
2
3
2 1 2
1
E
[3 ]x x
2
2
1
0
E
[2 ]x x
Hạng của M = hạng của họ vectơ của M ở dạng toạ độ.
1 3 2
1 2 1
1 1 0
A
( ) 2
r A
Vậy M phụ thuộc tuyến tính
Tập con F
II. Khoâng gian con
V là K-kgvt
Tập con F 2 phép toán trong V K- kgvt F
Kg con F
[...]...II Không gian con - Định lý Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là khơng gian con của V khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa 1.f , g F : f gF 2.f F , K : f F II Không gian con - Ví dụ F ( x1 , x2 , x3 ) R3 | x1 2 x2 x3 0 1 Chứng tỏ F là khơng gian. .. của F II Không gian con - Ví dụ 1 1 F A M 2[ R]| A 0 2 2 1 Chứng tỏ F là khơng gian con M2[R] 2 Tìm cơ sở và chiều của F II Không gian con - M {v1, v2 ,, vn } V L(M)=Span{v1 , v2 , , vn } {1v1 2v2 n vn i R} 1 L(M) là khơng gian con... của F II Không gian con - Ví dụ 1 1 2 1 3 1 1 0 F , 0 1 , 2 1 , 2 0 2 1 Tìm cơ sở và chiều của F II Không gian con - Ví dụ Cho x (1, 2,3); M {(1,1,1);(2,1,0);(3, 1,3)} x có thuộc khơng gian con sinh ra bởi M? II Không gian con ... - Ví dụ Cho x (1,0, m); M {(1,1,1);(2,3,1);(3, 2,0)} Tìm tất cả giá trị của m để x thuộc khơng gian con sinh ra bởi M? III Tổng và giao của hai không gian con - Cho F và G là hai khơng gian con của K-kgvt V Định nghĩa giao của hai khơng gian con Giao của hai khơng gian con F và G là tập hợp con của V,... khơng gian con Tổng của hai khơng gian con F và G là tập hợp con của V, ký hiệu bởi F G {f g | vớ i f F và g G } III Tổng và giao của hai không gian con - Định lý 1 F G & F G là hai khơng gian con của V 2 dim(F G ) dim(F ) dim(G ) dim( F G ) Kết quả F G F F G V F G G F G V III Tổng và giao của hai không gian. .. của hai không gian con - Giải câu 2 Bước 1 Tìm tập sinh của F E1 { (-1 ,1,0),(2,0,1)} Bước 2 Tìm tập sinh của G E2 {(1,1,0),(1,0,1)} Þ F + G = < (- 1,1,0),(2,0,1), (1,1,0), (- 1,0,1) > ỉ 1 ç ç ç2 A= ç ç ç1 ç ç - 1 ç è 1 0ư ÷ ÷ 0 1÷ ÷ ÷ ÷ 1 0÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 0 1ø ỉ 1 ç ç bđsc đv hà ng ç 0 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾® ç ç ç0 ç ç ç0 ç è 0ư ÷ ÷ 2 1÷ ÷ ÷ ÷ 0 - 1÷ ÷... G ) = r ( A) = 3 Cơ sở: E = { (- 1,1,0),(0, 2,1),(0,0, - 1)} III Tổng và giao của hai không gian con - Ví dụ Cho F và G là hai khơng gian con của R3, với F ( x1, x2 , x3 ) | x1 x2 x3 0} G (1,01,);(2,3,1) 1 Tìm cơ sở và chiều của F G 2 Tìm cơ sở và chiều của F G III Tổng và giao của hai không gian con ... - Ví dụ Cho F (1,1,1);(2,1,1);(3,1,1) Tìm cơ sở và chiều của F II Không gian con - Ví dụ Cho F x 2 x 1, 2 x 2 3 x 1, x 2 2 x 2 Tìm cơ sở và chiều của F II Không gian con - Ví dụ a b a 2b F a, b R... của họ M II Khơng gian con - Giả sử dim(V) = n Hạng M = Hạng Ma trận M {x1 , x2 , , xm } Kgian con x là tổ hợp tt của M hạng M < m M phụ thuộc tt M độc lập tt M là cơ sở của V hạng M = m M tập sinh của V hạng M = dim(V) hạng M = dim(V) = số vectơ trong M hạng M = hạng M thêm vectơ x Chiều kgian con M = hạng M II Không gian con ... - Các bước để tìm khơng gian con F+G 1 Tìm tập sinh của F Giả sử là {f1, f2, …, fn} 2 Tìm tập sinh của G Giả sử là {g1, g2, …, gn} 3 F G f1, f 2 , , f n , g1, g 2 , , g n III Tổng và giao của hai không gian con - Ví dụ Cho F và G là hai khơng gian con của R3, với F ( x1, x2 , x3 ) | x1 . ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ mơn Tốn ứng dụng
Đại số tuyến tính
Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ (tt)
• Giảng viên TS. Đặng Văn. Khoâng gian con
V là K-kgvt
Tập con F 2 phép toán trong V K- kgvt F
Kg con F
II. Khoâng gian con
Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là không gian con
Ngày đăng: 17/02/2014, 07:20
Xem thêm: Tài liệu Toán ứng dụng - chương 4: Không gian vecto(tt) docx, Tài liệu Toán ứng dụng - chương 4: Không gian vecto(tt) docx