Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (9/2007) Nội dung - I – Hệ phương trình tuyến tính tổng qt II – Hệ phương trình tuyến tính I Hệ phương trình tuyến tính tổng quát - Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng:  a11 x1  a12 x2 a x  a x  21 22      am1 x1  am x2        a1n xn a2 n xn        amn xm   b1 b2    bm a11, a12, …, amn gọi hệ số hệ phương trình b1, b2, …, bm gọi hệ số tự hệ phương trình I Hệ phương trình tuyến tính tổng qt - Định nghĩa hệ Hệ phương trình tuyến tính gọi tất hệ số tự b1, b2, …, bm Định nghĩa hệ khơng Hệ phương trình tuyến tính gọi khơng nhất hệ số tự b1, b2, …, bm khác Nghiệm hệ n số c1, c2, …, cm cho thay vào phương trình hệ ta đẳng thức I Hệ phương trình tuyến tính tổng quát - Một hệ phương trình tuyến tính có thể: vơ nghiệm, Hệ khơng tương thích có nghiệm Hệ tương thích Có vơ số nghiệm Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng chung tập nghiệm Để giải hệ phương trình ta dùng phép biến đổi hệ hệ tương đương, mà hệ giải đơn giản I Hệ phương trình tuyến tính tổng qt - Định nghĩa phép biến đổi tương đương Một phép biến đổi gọi tương đương biến hệ phương trình hệ tương đương Có phép biến đổi tương đương hệ phương trình Nhân hai vế phương trình với số khác khơng Cộng vào phương trình phương trình khác nhân với số tùy ý Đổi chổ hai phương trình Chú ý: Chúng ta kiểm tra dễ dàng phép biến đổi phép biến đổi tương đương I Hệ phương trình tuyến tính tổng qt - Ví dụ Giải hệ phương trình:  x  y  2 x  y  3z   x  2y  z    x  y  2h  h    y  z   h h   3y  z   1 h h    x  y    y  3z    4z   Phương trình có nghiệm nhất: x = 1; y = -1; z = I Hệ phương trình tuyến tính tổng quát - Ma trận hệ số: Ma trận mở rộng: 1   1     1   1 0  1 3     2 1    I Hệ phương trình tuyến tính tổng qt - 1 0  1 3     2 1 3   1 0  2h  h   3 3  h h    3 1 3   1 h h   1 0   3 3    0 4    I Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định nghĩa ẩn sở ẩn tự Ẩn sở ẩn tương ứng với cột chứa phần tử sở Ẩn tự tương ứng với cột khơng có phần tử sở 1 1   2  BĐSC HÀNG    3 1   x1, x3, x4: ẩn sở x2: ẩn tự 1 1  0 1     0 6 8   I Hệ phương trình tuyến tính tổng qt - Ví dụ Tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình 3x2   3x1  x2 3x  x  ẩn sở:  x3  x3  12 x3 x1 , x2 , x5  x1 x   Nghiệm tổng quát:  x3 x   x5   x4  x4  x4  x5  x5  x5 x3 , x4 ẩn tự do:  24  2  3  7  2         5   15 I Hệ phương trình tuyến tính tổng qt - Ví dụ Tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình biết ma trân mở rộng  1 1 1  1    2 1   I Hệ phương trình tuyến tính tổng qt - Ví dụ Tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình biết ma trận mở rộng 1 0  0    0   I Hệ phương trình tuyến tính tổng qt Ví dụ Tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình biết ma trận mở rộng 1 2  3 2  1 1  1  2  1   I Hệ phương trình tuyến tính tổng qt - Ví dụ Tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình biết ma trận mở rộng 1 2  3 1  1 1   3 3 1   I Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm m 1   m m ,   1 m m    I Hệ phương trình tuyến tính tổng quát - Example Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm  1 1 2     m m  1   I I Hệ phương trình tuyến tính tổng qt Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm 1 2  3  2 1  1 1 0 m   ,  m  1  I Hệ phương trình tuyến tính tổng qt - Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm 2   1     1 m m    II Hệ - Định nghĩa hệ Hệ phương trình tuyến tính gọi tất hệ số tự b1, b2, …, bm Hệ tuyến tính ln ln có nghiệm khơngx1 = x2 = … = xn = Nghiệm gọi nghiệm tầm thường Hệ có nghiệm không r (A) = n = số ẩn II Hệ - Hệ AX = có nghiệm khơng tầm thường r(A) < n Hệ AX = 0, với A ma trận vng có nghiệm không tầm thường (nghiệm khác 0) det(A) = II Hệ - Ví dụ Tìm nghiệm tổng qt hệ phương trình  x1  x2  2 x1  x2 3 x  x   x3  x4    x3 x3  x4  x4   II Hệ - Ví dụ Giữa nghiệm hệ  x  2y  z   2 x  y  z   x  2y  z   tìm nghiệm thỏa biểu thức y – xy = 2z II Hệ - Ví dụ Giả sử A ma trận hệ có phương trình ẩn, giả sử có ẩn tự Tìm r(A)? Ví dụ Giải thích hệ phương trình có m phương trình, n ẩn với m < n ln ln có vơ số nghiệm II Hệ Ví dụ Tìm tất gía trị tham số m để hệ sau có nghiệm khơng tầm thường z  x  y   5z  2 x  y  3 x  my  (m  1) z   ... - I – Hệ phương trình tuyến tính tổng qt II – Hệ phương trình tuyến tính I Hệ phương trình tuyến tính tổng qt - Định nghĩa hệ phương. .. gọi hệ số hệ phương trình b1, b2, …, bm gọi hệ số tự hệ phương trình I Hệ phương trình tuyến tính tổng quát - Định nghĩa hệ Hệ phương. .. phương trình tuyến tính gọi tất hệ số tự b1, b2, …, bm Định nghĩa hệ không Hệ phương trình tuyến tính gọi khơng nhất hệ số tự b1, b2, …, bm khác Nghiệm hệ n số c1, c2, …, cm cho thay vào phương trình