Võ Quốc Bá Cẩn CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ Phần 1. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy Scwharz. I. Giới thiệu tổng quan về bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Với mọi số thực và ta có n aaa , ,, 21 n bbb , ,, 21 ))(()( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .,1,:: njibbaa jiji =∀= II. Các bài toán áp dụng. Bài 1 . (Jack Garfunkel) Cho các số không âm , chứng minh bất đẳng thức cba ,, cba ac c cb b ba a ++≤ + + + + + 4 5 Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ ++= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ ⋅++= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∑ ∑∑∑∑ cyc cyccyccyccyc cbaba a cba cbaba a cbaa cbaba a cbaa ba a )95)(( )(5 )95)(( )95( )95)(( )95( 2 2 2 Như thế, ta chỉ cần chứng minh 16 5 )95)(( )( ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ ++ ∑ cyc cbaba a cba Như điều này hiển nhiên đúng vì 0 )95)(95)(95)()()((16 1230232835243)3)(9)(( )95)(( )( 16 5 222423232 ≥ +++++++++ ++++−++ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ ++− ∑∑∑∑ ∑ bacacbcbaaccbba cbabcabcacbabababaab cbaba a cba cyccyccyccyc cyc Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .0:1:3:: =cba Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số không âm có tổng bằng 1 , chứng minh rằng cba ,, 2 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng 5 11 222 ≤+++++ accbba Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ∑∑ ∑∑∑∑ ++ +++ = ++ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + ⋅++= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + cyccyc cyccyccyccyc cba bcbaa cba ba cba ba cba cba ba cbaba 44 )( 9 44 9 44 )44( 44 44 22 2 2 2 2 2 Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng )( 25 121 44 )( 9 2 cba cba bcbaa cyc ++≤ ++ +++ ∑ Ta có )44)(44)(44(25 6611163 )44)(44)(44(25 1092072519753003163 23224 233224 bacacbcba Abcababaa bacacbcba bcabaabbaa VTVP cyccyccyccyc cyccyccyccyccyc ++++++ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−+ = ++++++ +−++ =− ∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ trong đó 01189825319751210 23322 ≥+++= ∑ ∑ ∑ ∑ cyccyccyccyc bcabaabbaA Ta chứng minh 06611 23224 ≥−−+ ∑ ∑ ∑ ∑ cyccyccyccyc bcababaa 0612 23222224 ≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⇔ ∑∑∑∑∑∑ cyccyccyccyccyccyc bcababcababaa Ta có ∑∑∑ −=− cyccyccyc babaa 222224 )( 2 1 3 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng ∑ ∑∑ ∑∑∑∑∑ −+−= −+++−−= −−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − cyc cyccyc cyccyccyccyccyc bcacabba bacabcabbabc babcbcacbbcaba )2)(( ))(()(3 )(333 22 2222 222323 ∑∑∑ −+= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − cyccyccyc bcacabbcaba 2222 )2(6 Do đó bất đẳng thức tương đương 0)2)((2)2(2)( 2 1 222222 ≥−+−−−++− ∑∑∑ cyccyccyc bcacabbabcacabba 0)422( 2 1 222 ≥+−−−⇔ ∑ cyc bcacabba Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức không xảy ra. Bài 3. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số không âm chứng minh rằng ,,, cba 2222222 )( 4 3 444 cbabacacbcba ++≤+++++ Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + ++= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∑∑∑∑ cyccyccyccyc cba cba cba cba cba cbaacba 53 )4( )(3 53 )4( )53(4 22 2 22 2 22 Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng 2 22 )( 16 3 53 )4( cba cba cba cyc ++≤ ++ + ∑ 0410183065366916545 2232233445 ≥−−−+++⇔ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑∑ cyccyccyccyccyccyccyc cbabababcaabbaa Không mất tính tổng quát, giả sử , bất đẳng thức tương đương với { cbac ,,min= } 0)18306691654545( 32234455 ≥+−−+++ Acbabaabbaba 0))(31015)(5(3 222 ≥+−+++⇔ Acbabababa Trong đó 4 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng 432234 322322234 456918306165 )165436410536()306410410()18536(69 cbccbcbb acbccbbacbcbacbaA ++−−+ ++−+++−−+= Sử dụng giả thiết ta dễ dàng chứng minh được nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi { ,,,min cbac = } 0≥A .0:1:1:: =cba Bài 4. Cho các số dương , chứng minh cba ,, 2 33 4 33 4 33 4 cba ac c cb b ba a ++ ≥ + + + + + Giải. Bổ đề. 2222333 )( 3 1 cbacabcab ++≤++ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, 2333332 33 4 )()( cbabaa ba a cyccyc ++≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∑∑ Ta phải chứng minh ))(()(2 3232325552333 accbbacbacbacba +++++++≥++ Ta có )()( 3 1 )()( )( ))(( )())(( 2222222222222 222222222333 222 222222333 222222323232 cbaabcaccbbacba cba cabcab cbaabcaccbbacabcab cba cabcab cabcabcbaabc cbaabcaccbbacabcab cba cabcab cabcabcbaabccabcabcabcabaccbba ++− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +++++ ++ ++ ≤ ++−+++++ ++ ++ = +++++− ++++++++ ++ ++ = +++++−++++=++ Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng ))(( )( 3 1 )())(()(2 222 22222222225552333 cbacbaabc accbbacbacabcabcbacbacba ++++− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++++++++++++≥++ 5 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Không mất tính tổng quát, chuẩn hóa cho ,1 = + + cba đặt )10(, 3 1 2 ≤≤= − ++ qabcr q cabcab thì ta có . 27 )21()1( 27 )21()1( 22 qq r qq −+ ≥≥ +− Bất đẳng thức tương đương 0)5391087( 27 1 )1(3))428(54( 246222 ≥+−++−−−+ qqqrqrqr Rõ ràng là hàm đồng biến theo rqrrf )428(54)( 22 −+= r nên ta có 0 27 ))31()242615(( )5391087( 27 1 27 )21()1( )1(3 27 )21()1( )428( 27 )21()1( 54 2222 246 2 2 2 2 2 2 ≥ −++− =+−++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +− −− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ −+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ≥ qqqqq qqq qq q qq q qq VT Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .cba = = Bài 5. (Phan Thành Nam) Cho các số không âm có tổng bằng . Đặt cba ,, 1 , 2 3 1 −=k chứng minh rằng 3)()()( 222 ≤−++−++−+ bakcackbcbka Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, () ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + −− + + += ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + −+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +≤ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + −+ ⋅+= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ∑∑ ∑∑∑∑ cyccyc cyccyccyccyc a cb a a a cbka a a cbka acbka 3 1 )( 2 32 3 1 13 3 1 )( 3 1 3 1 )( 3 1 )( 2 2 2 2 2 2 Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng () 3 3 1 )( 2 32 3 1 13 2 ≤ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + −− + + + ∑∑ cyccyc a cb a a 6 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Đặt abcrcabcabq =≤++= , 3 1 thì ta có . 3 0 2 q r ≤≤ Bất đẳng thức tương đương với ( ) ( ) 036329 ≤+−+ qqr Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 03)13(3632336329 2 ≤−=+−+≤+−+ qqqqqqqr Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 1 === cba hoặc 0,1 = = = cba và các hoán vị. Bài 6. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số dương chứng minh rằng ,,, cba ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + ≤ + + + + + accbba abccabbca 111 2 111 222 Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + +++ ++ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ++ ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⋅ + ++ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∑ ∑∑∑∑ 3 )( ))()(( )(2 ))(( 1))(( ))(( 1))((1 2 2 2 2 2 2 cyc cyccyccyccyc bca cba accbba cba caba bca caba caba bca caba bca Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng 2 2 1 3 )( ))()(( ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + +++ ++ ∑∑ cyccyc cb bca cba accbba cba ))()()(( )333( 3 )( 2222 2 cbaaccbba cabcabcba bca cba cyc +++++ +++++ ≤+ + + ⇔ ∑ ))()()(( 3 )( 222222444 2 cbaaccbba accbbacba bca cba cyc +++++ −−−++ ≤− + + ⇔ ∑ 0 ))(( 11 ))(( 2 ≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ + + −−⇔ ∑ cyc cbacbbca caba Không mất tính tổng quát, giả sử khi đó ta có ,cba ≥≥ .0)( ≥−≥− cb b a ca Do đó 7 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng 0 ))()()()(( ))()(()( ))(( 11 ))(( 11))(( ))(( 11 ))(( 22 222 22 2 ≥ ++++++ ++−+−+− = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ + + − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ + + −− ≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ + + −− ∑ cbacbcacabbcab bcacabbacbbabac cbaac cab b cbacb bca a b cbba cbacb bca caba cyc Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .cba = = III. Bài tập tự giải. Bài 1. (Nguyễn Việt Anh) Cho các số dương chứng minh rằng ,,, cba 3 222222 22 3 22 3 22 3 cba acac c cbcb b baba a ++ ≥ +− + +− + +− Hướng dẫn. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, 2 23222 22 3 ))(22( 22 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +− ∑∑∑∑ cyccyccyccyc abaacbabaa baba a Cuối cùng ta chứng minh ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∑∑∑∑ cyccyccyccyc acbabaaaaba 222 2 23 ))(22(3 Bài 2. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho các số dương chứng minh rằng ,,, cba 2222222 )(888 cbabacacbcba ++≤+++++ Hướng dẫn. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∑∑∑∑∑ cyccyccyccyccyc cba cba a cba cba cbaacba 210051 )8( 51 210051 )8( )210051(8 22 2 22 2 22 Ta chỉ cần chứng minh 2 22 )( 210051 )8( 51 cba cba cba cyc ++≤ ++ + ∑ 8 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Phần 2. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Holder. I. Tổng quan về bất đẳng thức Holder. II. Các bài toán áp dụng. Bài 1. (Phan Thành Việt) Cho các số không âm zy x ,, có tổng bằng , chứng minh rằng 3 3 111 ≥ ++ + ++ + ++ xyx z zxz y yzy x Giải. Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có 6 3 32 2 )(8)32()32)(1( 1 zyxzyxxzyxyzyx yzy x cyccyccyc ++= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ∑∑∑ Do đó ta chỉ cần chứng minh ∑ ++++≥++ cyc zyxyzyxzyx 326 )32)(1(3)(8 ∑ ++++++++≥++⇔ cyc zyxyzzyxyzyxxzyx 3227 )32)(9)(3)(()(8 Ta có ∑∑∑ ∑∑∑∑ −−− +++++= ++ − cyccyccyc cyccyccyccyc zyxzyxyzx zyxyxyxyxyxxy zyx VPVT 32234 22233244244 979324 261543926)(4 Mặt khác từ bất đẳng thức AM-GM và Schur, ta có thể dễ dàng chứng minh được ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑∑ ++≥+++++ cyccyccyccyccyccyccyc zyxzyxyzxzyxyxyxyxyxxy 3223422233244244 979324261543926)(4 Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 = = = zyx hoặc 0,3 = = = zyx và các hoán vị. Bài 2 . (Lê Hữu Điền Khuê) Cho các số dương , chứng minh bất đẳng thức cba ,, 1 777 22 2 22 2 22 2 ≥ ++ + ++ + ++ acac c cbcb b baba a Giải. 9 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Đặt c a z b c y a b x === ,, thì ta có 1,0,, = > xyzzyx . Khi đó, bất đẳng thức trở thành 1 17 1 17 1 17 1 222 ≥ ++ + ++ + ++ zzyyxx Do nên tồn tại các số dương sao cho 1,0,, => xyzzyx pnm ,, ,,, 4 22 4 22 4 22 p nm z n mp y m pn x === ta phải chứng minh 1 7 442248 4 ≥ ++ ∑ cyc pnpnmm m Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có 3333442248 2 442248 4 )()7( 7 pnmpnpnmmm pnpnmm m cyccyc ++≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ∑∑ Như thế, ta chỉ cần chứng minh ∑ ++≥++ cyc pnpnmmmpnm )7()( 4422483333 0)()725( 443622533336 ≥−+−+⇔ ∑ ∑ symsym pnmnmpnmpnmnm Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cba = = hoặc các số thỏa cba ,, +∞→+∞→ c b b a , và các hoán vị. Bài 3 . (Phan Thành Việt) Cho các số dương có tổng bằng 3, chứng minh rằng cba ,, 2 3 333 22 3 22 3 22 3 ≥ + + + + + ac c cb b ba a Giải. Bổ đề. ∑ ∑ −=−−−≥−++ cyccyc babaaccbbacbacba 2442222222222666 44))()((43 Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có 3 2322 2 22 3 ))(3( 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∑∑∑∑ cyccyccyccyc abacaba ba a 10 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng Như thế, ta chỉ cần chứng minh rằng ∑∑∑ ++≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + cyccyccyc cabaaba 322 3 2 ))(3( 4 9 ∑∑∑ ++++≥ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⇔ cyccyccyc cabacbaaba 322 3 2 ))(3()(34 0786122723129 2222332433422456 ≥−−−+−−++⇔ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑∑∑ cbacbacbabcababababaa cyccyccyccyccyccyccyccyc Sử dụng bổ đề trên, ta chỉ cần chứng minh rằng 07561227289 222233243342245 ≥−−−+−++ ∑ ∑ ∑ ∑∑∑∑ cbacbacbabcababababa cyccyccyccyccyccyccyc Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 02 334224 ≥−+ ∑ ∑ ∑ cyccyccyc bababa 0756122779 22223324245 ≥−−−++ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ cbacbacbabcababa cyccyccyccyccyc Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . 1 = = = cba 11 [...]... ≥ 15 8 (a + b + c) 4 27 yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng Phần 4 Các bài toán sử dụng bất đẳng thức AM-GM I Tổng quan về bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM II Các bài toán áp dụng Bài 1 (Phan Thành Nam) Cho các số không âm a, b, c có tổng bằng 1, chứng minh rằng a + b2 + b + c2 + c + a2 ≥ 2 Giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có ∑ cyc a + b2 = ∑ cyc =∑ cyc a + b2 a + b2 =∑ cyc (a... cyc cyc ⎠ ⎝ cyc Nên bất đẳng thức tương đương 1 1 ∑ (a 2 − b 2 ) 2 + 2 ∑ (ab + ac − 2bc) 2 − ∑ (a 2 − b 2 )(ab + ac − 2bc) ≥ 0 2 cyc cyc cyc ⇔ 1 ∑ (a 2 − b 2 − ab − ac + 2bc) 2 ≥ 0 2 cyc Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm Bài 2 (Võ Quốc Bá Cẩn) Với mọi số thực a, b, c thì a4 + b4 + c4 + ( ) 3 − 1 abc(a + b + c) ≥ 3 (a 3b + b 3 c + c 3 a) Giải Viết lại bất đẳng thức như sau 12 yêu... đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0 II Bài tập tự giải Bài 1 (Vasile Cirtoaje) Với mọi số thực a, b, c 14 Võ Quốc Bá Cẩn yêu Phạm Thị Hằng a 4 + b 4 + c 4 + ab 3 + bc 3 + ca 3 ≥ 2(a 3 b + b 3 c + c 3 a ) Bài 2 (Phạm Văn Thuận) Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi a, b, c thực a(a + b) 3 + b(b + c) 3 + c(c + a) 3 ≥ 15 8 (a + b + c) 4 27 yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng Phần 4 Các. ..yêu Võ Quốc Bá Cẩn Phạm Thị Hằng Phần 3 Các bài toán về kỹ thuật bình phương I Các bài toán mẫu Bài 1 (Vasile Cirtoaje) Với mọi số thực a, b, c thì (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 ≥ 3(a 3 b + b 3 c + c 3 a ) Giải Viết lại bất đẳng thức như sau ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎜ ∑ a 4 − ∑ a 2 b 2 ⎟ + 3⎜ ∑ a 2 b 2 − ∑ a 2 bc ⎟ − 3⎜ ∑ a 3 b − ∑ a 2 bc ⎟ ≥ 0 ⎟ ⎟ ⎜... cyc 1 ∑ a b − ∑ a bc = 6 ∑ (ab + ac − 2bc) 2 cyc 2 2 cyc 2 cyc Nên bất đẳng thức tương đương 1 1 1 ∑ (a 2 − b 2 ) 2 + 6 ∑ (ab + ac − 2bc) 2 − 3 ∑ (a 2 − b 2 )(ab + ac − 2bc) ≥ 0 2 cyc cyc cyc 2 ⎞ 1 ⎛ 1 ⇔ ∑⎜ a2 − b2 − (ab + ac − 2bc) ⎟ ≥ 0 ⎜ ⎟ 2 cyc ⎝ 3 ⎠ Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm Bài 3 (Phạm Văn Thuận) Cho các số thực a, b, c, chứng minh rằng 7(a 4 + b 4 + c 4 ) + 10(a 3... 5 c 2 + c 5 a 2 − a 3 b 2 c 2 ⎟ + abc⎜ ∑ a 3 b − ∑ a 2 bc ⎟ + 2abc⎜ ∑ a 4 − ∑ a 2 b 2 ⎟ ≥ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 19 19 ⎠ cyc ⎝ 19 cyc cyc ⎠ ⎝ cyc ⎠ ⎝ cyc Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = a = 1, b = c = 0 và các hoán vị 16 1 hoặc 3 ... cyc Do đó, bất đẳng thức tương đương với 43∑ (a 2 − b 2 ) 2 + ∑ (a 2 − b 2 )(45ab + 11ca − 56bc) + cyc cyc 35 ∑ (45ab + 11ca − 56bc) 2 ≥ 0 5282 cyc 1 ⎛ ⎞ ⇔ ∑ ⎜ 43(a 2 − b 2 ) 2 + (a 2 − b 2 )(45ab + 11ca − 56bc) + (45ab + 11ca − 56bc) 2 ⎟ + 172 ⎠ cyc ⎝ 369 + ∑ (45ab + 11ca − 56bc) 2 ≥ 0 454252 cyc ⇔ 1 369 ∑ (86(a 2 − b 2 ) + 45ab + 11ca − 56bc) 2 + 172 ∑ c 2 (a − b) 2 ≥ 0 172 cyc cyc Bất đẳng thức cuối... thực a, b, c, chứng minh rằng 7(a 4 + b 4 + c 4 ) + 10(a 3 b + b 3 c + c 3 a ) ≥ 0 Giải Ta chứng minh kết quả mạnh hơn 7(a 4 + b 4 + c 4 ) + 10(a 3b + b 3 c + c 3 a) ≥ 17 ( a + b + c) 4 27 Thật vậy, bất đẳng thức tương đương 86∑ a 4 + 101∑ a 3b − 34∑ ab 3 − 51∑ a 2 b 2 − 102∑ a 2 bc ≥ 0 cyc cyc cyc cyc cyc ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⇔ 86⎜ ∑ a 4 − ∑ a 2 b 2 ⎟ + 101⎜ ∑ a 3 b − ∑ a 2 bc ⎟ − 34⎜ ∑ ab 3 − ∑ a 2 bc ⎟ . Bá Cẩn CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ Phần 1. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy Scwharz. I. Giới thiệu tổng quan về bất đẳng thức Cauchy. Phần 2. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Holder. I. Tổng quan về bất đẳng thức Holder. II. Các bài toán áp dụng. Bài 1. (Phan Thành Việt) Cho các số