Đang tải... (xem toàn văn)
Tập đề cương bài giảng học phần Hình học cao cấp (Phần bài tập) được viết dựa trên cuốn giáo trình Hình học cao cấp của tác giả Văn Như Cương (giáo trình CĐSP – NXB Giáo dục 2004). Cuốn giáo trình gồm 5 chương lí thuyết với phần đề bài tập không có hướng dẫn giải. Học phần Hình học cao cấp học ở kì V của chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm Toán với thời lượng 75 tiết (45 tiết lí thuyết và 30 tiết bài tập). Khối lượng lí thuyết của học phần tương đối nặng và lượng bài tập là khá lớn. Hiện tại cũng chưa có một cuốn giáo trình bài tập hình học cao cấp dành cho chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm. Vì vậy việc phần bài tập không có hướng dẫn giải là một khó khăn rất lớn đối với không chỉ sinh viên mà cả giảng viên nhất là các giảng viên trẻ. Vì vậy, tôi đã mạnh dạn viết phần bài tập hình học cao cấp với việc bổ sung thêm một số bài tập và phần hướng dẫn, đáp số, gợi ý tùy vào mức độ khó, dễ của bài tập. Hy vọng cuốn đề cương bài giảng sẽ là một tài liệu tham khảo giúp cho sinh viên thuận lợi hơn trong việc học tập không chỉ theo chương trình đào tạo Cao đẳng sư phạm Toán theo niên chế mà cả theo học chế tín chỉ. Chắc chắn cuốn đề cương bài giảng sẽ còn thiếu sót, kính mong các thầy cô và các bạn sinh viên cùng đóng góp ý kiến để cuốn đề cương bài giảng ngày càng hoàn thiện hơn. Xin cảm ơn các thầy cô và các bạn! TÁC GIẢ: Bùi Thị Thanh Thủy
MỤC LỤC NỘI DUNG Trang LỜI NÓI ĐẦU 1 BÀI TẬP CHƯƠNG I 2 Bài tập chương I 2 Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương I 4 BÀI TẬP CHƯƠNG II 7 Bài tập chương II 7 Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương II 15 BÀI TẬP CHƯƠNG III 34 Bài tập chương III 34 Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương III 40 BÀI TẬP CHƯƠNG IV 48 Bài tập chương IV 48 Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương IV 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 1 1 LỜI NÓI ĐẦU Tập đề cương bài giảng học phần Hình học cao cấp (Phần bài tập) được viết dựa trên cuốn giáo trình Hình học cao cấp của tác giả Văn Như Cương (giáo trình CĐSP – NXB Giáo dục 2004). Cuốn giáo trình gồm 5 chương lí thuyết với phần đề bài tập không có hướng dẫn giải. Học phần Hình học cao cấp học ở kì V của chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm Toán với thời lượng 75 tiết (45 tiết lí thuyết và 30 tiết bài tập). Khối lượng lí thuyết của học phần tương đối nặng và lượng bài tập là khá lớn. Hiện tại cũng chưa có một cuốn giáo trình bài tập hình học cao cấp dành cho chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm. Vì vậy việc phần bài tập không có hướng dẫn giải là một khó khăn rất lớn đối với không chỉ sinh viên mà cả giảng viên nhất là các giảng viên trẻ. Vì vậy, tôi đã mạnh dạn viết phần bài tập hình học cao cấp với việc bổ sung thêm một số bài tập và phần hướng dẫn, đáp số, gợi ý tùy vào mức độ khó, dễ của bài tập. Hy vọng cuốn đề cương bài giảng sẽ là một tài liệu tham khảo giúp cho sinh viên thuận lợi hơn trong việc học tập không chỉ theo chương trình đào tạo Cao đẳng sư phạm Toán theo niên chế mà cả theo học chế tín chỉ. Chắc chắn cuốn đề cương bài giảng sẽ còn thiếu sót, kính mong các thầy cô và các bạn sinh viên cùng đóng góp ý kiến để cuốn đề cương bài giảng ngày càng hoàn thiện hơn. Xin cảm ơn các thầy cô và các bạn! 2 2 TÁC GIẢBÀI TẬP CHƯƠNG I A. Mục tiêu: Bài tập chương này nhằm mục đích: - Giúp sinh viên có cái nhìn về lịch sử phát triển hình học. Vai trò của tiên đề V của Ơ-clit đối với sự phát triển của hình học. Hiểu được phương pháp tiên đề để xây dựng hình học, mô hình của một hệ tiên đề, vai trò của toán học cao cấp trong việc nghiên cứu hình học. Sinh viên hiểu được việc xây dựng hình học cũng như một số lí thuyết Toán học đã biết bằng phương pháp tiên đề. - Sinh viên biết vận dụng lí thuyết để đưa ra một số mô hình đơn giản. - Sinh viên thảo luận để tự đưa ra một số hệ tiên đề đơn giản và tìm cho các hệ tiên đề đó những mô hình cụ thể. B. Mô tả nội dung: Bài tập chương I bao gồm 3 vấn đề sau: - Sơ lược lịch sử hình học. - Phương pháp tiên đề - Một số hệ tiên đề của hình học Ơ-clit ba chiều. C. Nội dung cụ thể: I. Bài tập Bài 1. Xét hệ tiên đề H sau: + Khái niệm cơ bản: “điểm” và “đi trước”. + Tiên đề: 1) Không điểm nào đi trước chính nó 2) Nếu điểm A đi trước điểm B, điểm B đi trước điểm C thì A đi trước điểm C. Nêu ra một vài mô hình của H. Bài 2. Nêu ra một vài mô hình của hệ tiên đề H đã nói trong phần lí thuyết. Tìm một mô hình của hệ tiên đề H sao cho mô hình đó có đúng n vectơ, với n là số nguyên dương cho trước. Bài 3. Hệ tiên đề K gồm: + Khái niệm cơ bản: điểm, đường, quan hệ thuộc. + Các tiên đề: 1) Có ít nhất một điểm. 2) Qua hai điểm phân biệt có không quá một đường. 3) Mỗi đường có ba điểm phân biệt. 4) Mỗi điểm nằm trên ba đường phân biệt. a. Chứng minh các định lí: 1) Hai đường phân biệt có không quá một điểm chung. 2) Có ít nhất là bảy điểm, có ít nhất là bảy đường. 3 3 b. Xây dựng mô hình của K gồm bảy điểm, bảy đường hoặc chín điểm, chín đường. Bài 4. Hệ tiên đề P gồm: + Khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng, điểm thuộc đường thẳng. + Các tiên đề: 1) Bất kì hai điểm phân biệt nào đều thuộc một và chỉ một đường thẳng. 2) Bất kì hai đường thẳng phân biệt nào đều chỉ thuộc một và chỉ một điểm. 3) Có ít nhất bốn điểm trong đó bất kì ba điểm nào cũng không thuộc cùng một đường thẳng. a. Hãy xây dựng các mô hình của P. Chứng tỏ rằng hệ tiên đề P phi mâu thuẫn nếu số học phi mâu thuẫn. b. Hãy chứng tỏ rằng tiên đề 3) là độc lập. c. Chứng minh hệ tiên đề P không đầy đủ. Bài 5. Tìm một mô hình cụ thể của hình học Lôbasepxki phẳng. Bài 6. Hãy dùng hệ tiên đề của hình học phẳng ở trường phổ thông để chứng minh các định lí sau: a. Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng. b. Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt và thẳng hàng. Chứng minh rằng nếu C nằm giữa A và B, còn D nằm giữa B và C thì D nằm giữa A và B còn C nằm giữa A và D. c. Định lí Pasch (tức tiên đề Pasch trong hệ tiên đề của Hilbert). Bài 7. Hãy dùng hệ tiên đề của hình học không gian ở trường phổ thông để chứng minh các định lí sau: a. Ngoài mặt phẳng cho trước còn có nhiều điểm khác. b. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm phân biệt A, B, C không nằm trên (P). Nếu mặt phẳng (P) cắt đoạn thẳng AB thì nó còn cắt đoạn thẳng BC hoặc đoạn thẳng CA. c. Định lí về việc mỗi mặt phẳng chia không gian thành hai nửa không gian (tương tự như mỗi đường thẳng trong mặt phẳng chia mặt phẳng đó thành hai nửa mặt phẳng). Hãy phát biểu định lí và chứng minh. d. Chứng minh các trường hợp bằng nhau của hai tam giác bất kì trong không gian (chú ý rằng định nghĩa hai tam giác bằng nhau được mở rộng trong trường hợp hai tam giác nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, còn tiên đề 12 chỉ nói về hai tam giác cùng nằm trong mặt phẳng) 4 4 Bài 8. Hãy dùng tiên đề 12 của hình học phẳng (tức là không dùng tiên đề 13 về hai đường song song) để chứng minh định lí sau: a. Góc ngoài tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó. b. Nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song. Bài 9. Hãy nhớ lại cách chứng minh định lí “tổng số đo góc trong mọi tam giác bằng 180 0 ” trong sách giáo khoa phổ thông. Cách chứng minh đó phải dựa vào tiên đề về đường song song. Sau đây là cách chứng minh khác không dùng đến tiên đề đó: Chứng minh: ta giả thiết tổng số đo góc trong tam giác là S. Lấy tam giác bất kì ABC, ta có · BAC + · ABC + · ACB = S. Gọi D là điểm ở giữa của đoạn thẳng BC, ta có hai tam giác ABD và ACD. Từ giả thiết ta có: · BAD + · ABD + · ADB = S · DAC + · ACB + · ADC = S Suy ra: · BAD + · DAC + · ABD + · ACB + · ADB + · ADC = 2S Hay · BAC + · ABC + · ACB + 180 0 = 2S, tức là S = 180 0 . Hãy bình luận về cách chứng minh đó. Bài 10. Cho V là không gian Ơ-clit n chiều (trên trường số thực). Hãy gọi mỗi vectơ u ur của V là một “điểm”, và với bất kì hai điểm u ur và v ur của V ta cho tương ứng với vectơ v − ur u ur của V. Hãy chứng minh rằng khi đó V là không gian Ơ-clit n chiều. II. Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương I Bài 1. + Mô hình 1: “Điểm” là những điểm thông thường trên một đường thẳng nằm ngang và “đi trước” là “ở bên trái”. + Mô hình 2: “Điểm” là những “số nguyên” và “đi trước” là “lớn hơn”. Bài 2. Mô hình của hệ tiên đề H: + Vectơ: số nguyên bất kì, phép cộng là phép cộng hai số nguyên. Ta dễ dàng kiểm tra thỏa mãn các tiên đề của hệ tiên đề H. 5 5 Bài 3. Chứng minh 1) Giả sử hai đường phân biệt có hai điểm chung phân biệt. Khi đó theo tiên đề 1) có không quá một đường (trái giả thiết hai đường là phân biệt). Chứng minh 2) Theo tiên đề 1) có ít nhất 1 điểm. Gọi điểm đó là A. Khi đó, theo tiên đề 4) A nằm trên ba đường phân biệt, giả sử đó là m, n, p. Mặt khác theo tiên đề 3) mỗi đường có ba điểm phân biệt. Giả sử một trong ba điểm đó đều là A, thì mỗi đường còn có hai điểm phân biệt khác A. Vậy có ít nhất là bảy điểm. Lập luận tương tự ta cũng chứng minh được có ít nhất là bảy đường. Bài 4. Mô hình của P: + Điểm: đỉnh của tứ diện. + Đường thẳng: cạnh của tứ diện. + Điểm thuộc đường thẳng: đỉnh thuộc cạnh của tứ diện. Ta dễ dàng kiểm tra mô hình thỏa mãn các tiên đề của hệ P. Bài 5. (Hình 1) Mô hình của hình học Lôbasepxki phẳng – mô hình nửa phẳng Poincare: X' X Hình 1 + “Điểm Lôba”: cũng là điểm Ơ-clit trên mặt phẳng ( ) α trừ những điểm nằm trên bờ XX’ + “Đường Lôba”: là nửa đường tròn Ơ-clit thuộc ( ) α có tâm thuộc XX’ hoặc là nửa đường thẳng gốc thuộc XX’. Dễ thấy định đề phủ định của định đề 5 được thỏa mãn. 6 6 Bài 6. Chứng minh a, Theo tiên đề 1, có nhiều đường thẳng, mà một đường thẳng chứa nhiều điểm nên ta suy ra có ít nhất 2 đường thẳng phân biệt, mỗi đường thẳng có ít nhất hai điểm. Nếu hai đường thẳng không có điểm chug thì có 4 điểm. Nếu hai đường thẳng có điểm chung thì vì chúng phân biệt nên chỉ có 1 điểm chung (tiên đề 2). Vì vậy trong bốn điểm nói trên chỉ có thể có hai điểm trùng nhau. Vậy có ít nhất ba điểm không thẳng hàng. Định lí Pasch: Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng a và ba điểm A, B, C không thuộc a. Nếu đường thẳng a cắt đoạn thẳng AB thì nó cắt đoạn thẳng AC hoặc cắt đoạn thẳng BC. Chứng minh: (Hình 2) C B A a Hình 2 Theo tiên đề 5, đường thẳng a chia mặt phẳng (P) thành hai nửa mặt phẳng, một chứa điểm A, một chứa điểm B (vì đoạn thẳng AB cắt đường thẳng a). Điểm C phải thuộc một trong hai nửa mặt phẳng đó nên đường thẳng a phải cắt một trong hai đoạn thẳng AC hoặc BC. Bài 7. a, Theo tiên đề 14, có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng, giả sử là A, B, C, D. Giả sử A, B, C thuộc mặt phẳng (P) nào đó. D không thuộc (P) nên đường thẳng AD chỉ có một điểm chung với (P). Mà một đường thẳng có nhiều điểm nên ngoài mặt phẳng (P) có nhiều điểm. b, Chứng minh tương tự định lí Pash trong mặt phẳng. c, Định lí: Mỗi mặt phẳng của không gian chia không gian thành hai tập điểm không rỗng, không giao nhau, sao cho: 7 7 - Hai điểm A, B phân biệt thuộc cùng một tập hợp khi và chỉ khi đoạn thẳng AB không có điểm chung với mặt phẳng đó. - Hai điểm A, B phân biệt không thuộc cùng một tập hợp khi và chỉ khi đoạn thẳng AB có điểm chung với mặt phẳng đó. Bài 10. Chứng minh: Sử dụng các tiên đề về không gian vectơ Ơ-clit. 8 8 BÀI TẬP CHƯƠNG II A. Mục tiêu: Bài tập chương này nhằm mục đích rèn cho sinh viên: - Có kĩ năng trong việc dùng phương pháp tọa độ để giải các bài tập về các phép biến hình afin, phép biến hình đẳng cự, phép đồng dạng. - Sinh viên biết cách vận dụng các phép biến hình nói trên để giải các bài toán hình học trong chương trình THCS. - Tổ chức sưu tầm phân loại các bài tập hình học trong chương trình THCS giải bằng phương pháp biến hình. So sánh với phương pháp sơ cấp. B. Mô tả nội dung: Bài tập chương II bao gồm các vấn đề sau: - Phép biến hình afin - Phép đẳng cự - Phép đồng dạng. C. Nội dung cụ thể: I. Các kiến thức cơ bản cần nắm vững: 1. Định nghĩa và các tính chất của phép biến hình afin. 2. Định lí về sự xác định phép afin. 3. Biểu thức tọa độ của phép biến hình afin. 4. Định nghĩa và các tính chất của phép thấu xạ afin. 5. Định lí về phân tích một phép afin thành tích của các phép thấu xạ afin. 6. Định nghĩa và các tính chất của phép đẳng cự của mặt phẳng Ơ-clit. 7. Định lí về sự xác định của phép đẳng cự, biểu thức tọa độ của phép đẳng cự. 8. Phép dời hình và phép phản chiếu. Dạng chính tắc của phép dời hình và phép phản chiếu. II. Bài tập: PHÉP BIẾN HÌNH AFIN Bài 1. Cho song ánh f: P → P có tính chất: f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng. Chứng minh: a. f biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng. b. f biến đường thẳng thành đường thẳng. c. f biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song. d. f bốn đỉnh của một hình bình hành thành bốn đỉnh của một hình bình hành. e. f không làm thay đổi tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng. Bài 2. Cho phép afin f và hai điểm A, B phân biệt. Chứng minh rằng nếu f(A) = B và f(B) = A và I là trung điểm của AB thì f(I) = I. 9 9 Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi f là phép afin sao cho f(A) = B và f(B) = A, f(C) = D và f(D) = C. Chứng minh: a. Nếu d là đường thẳng đi qua trung điểm AB và CD thì f biến mọi điểm của d thành chính nó. b. Tứ giác ABCD là hình thang. Bài 4. Chứng minh rằng nếu phép afin f biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ song song hoặc trùng với a thì f là phép tịnh tiến hoặc vị tự. Bài 5. Có bao nhiêu phép afin biến một tam giác đã cho thành chính nó? Bài 6. Cho tứ giác ABCD và A’B’C’D’. Với điều kiện nào thì có phép afin f biến các đỉnh A, B, C, D lần lượt thành các đỉnh A’, B’, C’, D’. Bài 7. Ngũ giác ABCDE có tính chất: Mỗi đường chéo của ngũ giác song song với một cạnh của nó. Chứng minh rằng có phép afin biến các đỉnh A, B, C, D, E lần lượt thành các đỉnh B, C, D, E, A. Các bài tập từ 8 đến 18 được xét trong hệ tọa độ afin Bài 8. Tìm biểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm A(1, 0), B(0,2), C( − 3, 0) lần lượt thành các điểm A’(2, 3), B’( − 1,4), C’( − 2, − 1). Bài 9. Tìm biểu thức tọa độ của phép đảo ngược của phép afin sau: x' 2x 3y 7 y' 3x 5y 9 = + − = + − Bài 10. Xác định g o f và f o g biết f và g là hai phép afin: f: x' 2x y 5 y' 3x y 7 = + − = − + ; g: x' x y 4 y' x 2y 5 = − + = − + + Bài 11. Cho phép afin: x' 3x 4y 12 y' 4x 3y 6 = + − = − + a. Tìm ảnh và tạo ảnh của đường thẳng 2x y 1 0 + − = . b. Tìm trên đường thẳng d: 7x 2y 24 0 − − = một điểm sao cho ảnh của nó cũng nằm trên d; một điểm sao cho tạo ảnh của nó cũng nằm trên d. 10 10 [...]... B' C Hình 5 Xét một hình tương đương afin đặc biệt của (E) đó là đường tròn (C) Ba đường thẳng cần chứng minh đồng quy trở thành ba đường cao trong tam giác Từ đó ta có ngay điều phải chứng minh 22 22 Bài 26 (Hình 6) A C1 M C' ( C) B' O B B1 A' C A1 Hình 6 Chuyển sang bài toán về đường thẳng Simpson Bài 27 (Hình 7) Chuyển sang hình bình hành nội tiếp (C) khi đó hình bình hành là hình chữ nhật Còn trường... tiếp hình bình hành trở thành hình thoi Trường hợp hình chữ nhật nội tiếp đường tròn ta có ngay điều phải chứng minh A M B Q 1 2 O 3 4 N D P Hình 7 23 23 C Trường hợp hình thoi ngoại tiếp đường tròn Gọi O là tâm đường tròn µ µ µ µ O1 = O 2 , O3 = O 4 (C), ta đi chứng minh từ đó suy ra A, O, C thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có B, O, D thẳng hàng Bài 28 (Hình 8) B A I M D C N Hình 8 Dùng 1 phép biến hình. .. a' B b a A Hình 14 ∩ B = a’ b, a’ là ảnh của a qua phép quay tâm C, góc quay 60 0, A là tạo ảnh của B qua phép quay đó • Phân tích: Giả sử ta dựng được Bài 48 (Hình 15) d D O" O' O Hình 15 30 30 (O”) là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục d 31 31 Bài 49 (Hình 16) l M M' O' O" O Hình 16 ∩ M’ = (O’) (O”), ở đó (O”) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo u r r l uuuu v= OO' OO' vectơ Bài 50 (Hình 17) C... khi M d, hiển nhiên I d Suy ra quỹ tích I là đường thẳng d 34 34 ⊥ Chứng minh JO // MM1 suy ra JO ⊥ thẳng d’ d và đi qua O Bài 59 (Hình 20) d Suy ra quỹ tích J là đường A P Q B N M C N' M' Hình 20 Bài 60 (Hình 21) P' Q' Q A M P I N Hình 21 Bài 61 (Hình 22) 35 35 B x A A' O I' t I y Hình 22 36 36 ... afin biến hình bình hành ABCD thành một hình tương đương afin đặc biệt là hình vuông (Hình 1) Khi đó, từ giả thiết ta ∆ ∆ suy ra AM = DN, MD = NC Chứng minh được ABM = DAN Suy ra góc AIB bằng 900 nên quỹ tích I là đường tròn đường kính AB, đường tròn này đi qua tâm của hình vuông, tiếp xúc với hai cạnh AD và BC tại A và B Trở lại đối với hình bình hành, quỹ tích I là một elip đi qua tâm hình bình hành... A' B Hình 12 − Xét phép quay Q1 tâm B’, góc quay 900, biến C thành A, phép quay Q 2 o Q1 − 0 Q2 tâm C’, góc quay 90 , biến A thành B Xét tích là một phép ϕ1 ϕ2 − ≠ quay với góc quay + = 1800 k.3600 Áp dụng kết quả bài 42, ta có điều phải chứng minh Bài 46 (Hình 13) A' C' I J 600 600 A 600 B C Hình 13 Xét phép quay tâm B, góc quay 600 thì các điểm C’, C lần lượt biến thành A và A’ 29 29 Bài 47 (Hình. .. BC thì ABCD là hình thang Trường hợp 2: nếu AD cắt BC tại E thì ta đi chứng minh E, I, J thẳng hàng Bài 4 Lí thuyết Bài 5 Có 3! = 6 phép Bài 6 Luôn có duy nhất một phép afin f biến A, B, C lần lượt thành A’, B’ C’ Để f(D) = D’ ta cần có điều kiện (A, C, I) = (A’, C’, I’) và (B, D, I) = (B’, D’, I’) ở đó I, I’ lần lượt là giao điểm của AC và BD, A’C’ và B’D’ Bài 7 (Hình 3) A B E I J D C Hình 3 Luôn có... thấu xạ trục là đường thẳng BD Bài 21 (Hình 4) 20 20 B B' A A' C C' O' O F' D' F E' D E Hình 4 Với hai lục giác gần đều ABCDEF và A’B’C’D’E’F’ luôn tồn tại phép afin f biến hình bình hành AFEO thành hình bình hành A’F’E’O’ Do tính chất bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng của f ta suy ra C, E, D tương ứng biến thành C’, E’, D’ Bài 23 Xét một phép afin biến elip thành một hình tương đương afin đặc biệt... tiếp xúc với (O) và (O’) Bài 49 Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) Dựng hai điểm M và M’ lần lượt nằm trên hai đường đó sao cho MM’ // OO’ và MM’ có độ dài bằng a cho trước Bài 50 Cho hai đường tròn (O), (O’) và điểm A Dựng tam giác vuông cân đỉnh A và hai đỉnh còn lại lần lượt nằm trên (O) và (O’) Bài 51 Cho hình vuông ABCD và một điểm M thuộc một cạnh của hình vuông Dựng hình vuông MNPQ có các đỉnh... D tương ứng trên đường thẳng AC Chứng minh hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng III Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương II Bài 1 Áp dụng các tính chất của phép biến hình afin Bài 2 (A, B, I) = thẳng BA 17 − 1 suy ra (B, A, f(I)) = 17 − 1 nên f(I) là trung điểm đoạn Bài 3 a Theo bài 2, suy ra trung điểm I, J của AB và CD biến thành chính nó Gọi M là một điểm bất kì của đường thẳng IJ thì từ
