Rèn luyện kỹ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp trung học phổ thông Nguyễn Thị Thanh Thủy Trường Đại học Giáo dục Luận văn ThS ngành: Lý luận phương pháp dạy học (Bộ mơn Tốn học) Mã số: 60 14 10 Người hướng dẫn: PGS.TS Bùi Văn Nghị Năm bảo vệ: 2010 Abstract Nghiên cứu hệ thống lí luận kĩ giải tốn, giải tập toán học Nghiên cứu dạng toán phương pháp tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) Nghiên cứu đề xuất giải pháp rèn luyện có hiệu kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh khá, giỏi cuối cấp Trung học phổ thông Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài Keywords Phương pháp giảng dạy; Phổ thông trung học; Biểu thức; Tốn học Content MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Theo Luật giáo dục Việt Nam năm 2005, mục tiêu giáo dục phổ thông “Giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ kĩ bản, phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo, hình thành nhân cách người Việt Nam Xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách trách nhiệm cộng đồng, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ Tổ quốc” Về phương pháp giáo dục, cần phải “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vươn lên”, “bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Mơn Tốn mơn học cơng cụ, giữ vai trị quan trọng chương trình THPT Trong tốn tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ toán yêu cầu cao học sinh tư duy, kĩ Song, học sinh dạng tốn dạng tốn khó, cần phải ý có biện pháp để rèn luyện kĩ giải dạng tốn này, góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề Từ lí trên, đề tài chọn là: “Rèn luyện kĩ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT” Lịch sử nghiên cứu Hiện có số cơng trình nghiên cứu gần gũi với đề tài này, chủ yếu nghiên cứu rèn luyện kĩ cho HS giải tốn Hình học Một số đề tài là: “Rèn luyện kĩ giải tốn Hình học khơng gian phương pháp tọa độ trường THPT" - Luận văn thạc sĩ Thái Thị Anh Thư, ĐHSP HN, năm 2004; "Rèn luyện kĩ giải toán thiết diện hình khơng gian chương trình Hình học PT" - luận văn thạc sĩ Nguyễn Tiến Trung, ĐHSP HN, năm 2006, "Rèn luyện kĩ giải toán Đường thẳng mặt phẳng không gian, Quan hệ song song cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông", luận văn thạc sĩ Nguyễn Thị Định, K3, ĐHGD - ĐHQG HN, năm 2010 v.v Đề tài khác đề tài nói chủ đề cần rèn luyện đối tượng học sinh Đó chủ đề tìm GTLN, GTNN đối tượng HS khá, giỏi cuối cấp THPT Sở dĩ chọn đối tượng HS khá, giỏi cuối cấp THPT, vì, có cuối cấp em biết nhiều phương pháp giải dạng toán Hơn nữa, chúng tơi trình bày trên, dạng tốn khó, nên với HS khá, giỏi phù hợp Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu + Mục đích nghiên cứu: Đề xuất giải pháp nhằm rèn luyện có hiệu kĩ tìm GTLN, GTNN cho HS + Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu hệ thống lí luận kĩ giải tốn, giải tập toán học - Nghiên cứu dạng toán phương pháp tìm GTLN, GTNN - Nghiên cứu đề xuất giải pháp rèn luyện có hiệu kĩ tìm GTLN, GTNN cho HS khá, giỏi cuối cấp THPT - Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài Đối tƣợng nghiên cứu khách thể nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: trình dạy học tìm GTLN, GTNN trường THPT - Phạm vi nghiên cứu: tốn tìm GTLN, GTNN trường THPT - Khách thể nghiên cứu: HS khá, giỏi cuối cấp THPT Mẫu khảo sát Một số lớp 12, trường THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng Vấn đề nghiên cứu - Các kĩ tìm GTLN, GTNN biểu thức? - Giải pháp rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT? Giả thuyết khoa học Giải pháp quan trọng cho việc nâng cao kĩ giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp Trung học phổ thơng việc hệ thống hóa dạng tốn, kĩ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức có biện pháp thích hợp rèn luyện cho học sinh Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp điều tra quan sát - Phương pháp thực nghiệm sư phạm Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương: Chương Kĩ giải toán Chương Giải pháp rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT Chương Thực nghiệm sư phạm CHƢƠNG KĨ NĂNG GIẢI TOÁN 1.1 Quan niệm kĩ năng, kĩ giải toán 1.1.1 Quan niệm kĩ năng, kĩ giải tốn Tùy theo phương diện nhìn nhận khác kĩ năng: xét tâm lí, hành vi, hay xét theo lực vận dụng, hành động, hay xét theo phương diện giáo dục, mà có cách định nghĩa khác kĩ Trong luận văn này, quan niệm: Kĩ khả vận dụng tri thức (khái niệm, định lí, thuật giải, phương pháp) để giải nhiệm vụ đặt Như vậy, tri thức (bao gồm tri thức vật, tri thức phương pháp) sở kĩ Trong Toán học, kĩ khả giải toán, thực chứng minh phân tích có phê phán lời giải chứng minh nhn c Kĩ giải tập toán HS khả sử dụng có mục đích, sáng tạo kiến thức toán học đà học để giải tËp to¸n häc 1.1.2 Điều kiện để có kĩ Muốn có kĩ hành động chủ thể cần phải: Có kiến thức để hiểu mục đích hành động, biết điều kiện, cách thức để đến kết quả, để thực hành động; Tiến hành hành động với yêu cầu nó; Đạt kết phù hợp với mục đích đề ra; Có thể hành động có hiệu điều kiện khác nhau; Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ 1.1.3 Các mức ca k nng gii toỏn Kĩ giải tập toán học cú th chia thnh ba mức độ khác nhau:biết làm, thành thạo; mềm dẻo, linh hoạt, sáng t¹o 1.2 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ giải tốn cho học sinh 1.2.1 Mục tiêu dạy học mơn tốn Trang bị cho HS tri thức, kĩ năng, phương pháp tốn học phổ thơng, bản, thiết thực; Góp phần phát triển lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho HS; Góp phần hình thành phát triển phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý chí thói quen tự học thường xuyên; Tạo sở để HS tiếp tục học CĐ, ĐH, TCCN, học nghề vào sồng lao động 1.2.2 Yêu cầu rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh trường THPT Giúp học sinh hình thành nắm vững mạch kiến thức chương trình; Giúp học sinh phát triển lực trí tuệ (Tư lơgic ngơn ngữ xác; Khả suy đốn, tư trừu tượng trí tưởng tượng khơng gian; Những thao tác tư phân tích, tổng hợp khái qt hóa; Các phẩm chất trí tuệ tư độc lập, tư linh hoạt sáng tạo) 1.3 Giải tập tốn học 1.3.1 Vai trị ca bi toỏn hc Bài tập có vai trò quan trọng môn toán Thông qua việc giải tập học sinh phải thực hoạt động định; Những tập thể khả khác h-ớng đến việc thực mục tiêu dạy học môn toán ; Thụng qua bi tp, giỏo viờn cú th hoàn chỉnh hay bổ sung tri thức đà đ-ợc trình bày phần lý thuyÕt Điều quan trọng thông qua tập giáo viên rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh 1.3.2 Ý nghĩa việc gii bi toỏn theo nhiu cỏch Việc sâu vào tìm hiểu nhiều cách giải khác cho toán có vai trò to lớn việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, rèn luyện trí thông minh, óc sáng tạo cho học sinh 1.4 Nhng tri thức liên quan đến tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 1.4.1 Những phương pháp thơng thường tìm GTLN, GTNN biểu thức biến số Dựa vào bất đẳng thức; Dựa vào khảo sát hàm số; Tìm tập giá trị 1.4.2 Những phương pháp thường dùng tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức Sử dụng bất đẳng thức; khảo sát hàm số; hình học hóa, lượng giác hóa 1.4.3 Những bất đẳng thức thường dùng tốn tìm GTLN, GTNN Gồm bất đẳng thức có SGK, BĐT mở rộng 1.4.4 Mối liên quan tốn chứng minh BĐT tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức Các phương pháp chứng minh BĐT phương pháp chủ yếu sử dụng tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức ngược lại; Về hai dạng tốn chuyển hóa cho nhau, nhiên có điểm khác nhau; Về u cầu: Bài tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức bắt buộc phải đẳng thức xảy nào, cịn tốn chứng minh BĐT khơng thiết phải làm điều 1.5 Một số đặc điểm phong cách học tập học sinh khá, giỏi Những HS khá, giỏi thường có số đặc điểm phong cách học tập sau: - Thể rõ đặc điểm tư toán học (theo Viện sĩ B.V Gờ-nhe-den-cô, đó là: Năng lực nhìn thấy khơng rõ ràng q trình suy luận, thấy thiếu sót điều cần thiết chứng minh; Sự đọng; Sự xác kí hiệu; Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận; lí lẽ đầy đủ lơgic) - Thể nét độc đáo tư toán học (theo A.Ia Khin-chin, đó là: Suy luận theo sơ đồ lơgic chiếm ưu thế; Khuynh hướng tìm đường ngắn dẫn đến mục đích; Phân chia rành mạch bước suy luận; Sử dụng xác kí hiệu, Tính có đầy đủ lập luận) - Thường ngại tính tốn, khơng thích làm làm lại điều biết khơng có HS khá, giỏi thường suy nghĩ nhanh hiệu quả, thường ngại tính tốn cụ thể, khơng thích lặp lặp lại kiểu làm nhàm chán 1.6 Định hƣớng cho giải pháp rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh 1.6.1 Quy trình hình thành kĩ Theo chúng tơi, quy trình hình thành kĩ giải tốn nói chung, kĩ tìm GTLN, GTNN cho HS gồm ba bước sau: Bước 1: Hướng dẫn HS giải số tốn mẫu lớp, có phân tích phương pháp suy nghĩ, tìm lời giải, lưu ý cho HS điểm cần thiết Bước 2: HS tự rèn luyện kĩ giải toán theo hệ thống tốn có chủ định giáo viên, giáo viên phân tích, khắc phục khó khăn, thiếu sót cho HS Bước 3: Rèn luyện kĩ giải toán mức độ cao hơn, tổng hợp 1.6.2 Những yêu cầu giáo viên việc hình thành kĩ giải tốn cho học sinh Để hình thành kĩ giải tập toán học cho HS, giáo viên cần thực tốt vấn đề sau: Xác định kĩ cụ thể hệ thống kĩ giải tập toán học cho HS THPT mức độ lớp học, cấp học tương ứng; Xác định hệ thống tập toán học tương ứng chủ yếu để HS luyện tập kĩ giải tập bản, tập tổng hợp; Xây dựng sơ đồ định hướng khái quát, thuật toỏn giải dạng, loại tập; Hướng dẫn học sinh hoạt động tìm kiếm lời giải, tập mẫu tập tương tự nhằm giúp HS nắm sơ đồ định hướng giải tập tốn học nói chung tập cụ thể nói riêng; Sử dụng hệ thống tập sau bài, chương để giúp HS luyện tập theo mẫu, không theo mẫu, thường xuyên theo nhiều hình thức giải khác nhau; Chú ý đến tính hệ thống kĩ CHƢƠNG GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO HỌC SINH Trong chương trình chúng tơi trình bày việc rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN biểu thức cho HS theo dạng khác Trong dạng sử dụng số PP xác định mục 1.4 chương Chúng tơi trình bày theo cấu trúc mặt để thuận lợi cho việc rèn luyện kĩ cho học sinh theo bài, mặt khác dạng có nhiều PP giải khác Mỗi phần nhỏ trình bày theo ba bước xác định mục 1.6 chương 2.1 Dạng tìm GTLN, GTNN hàm số Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN f  x    x  3x  tập hợp D cho đây: a D  1;4 b D  1;4  c D  1;4 d D  1;4  Bài giúp HS phân biệt GTLN, GTNN hàm số mơ ̣t kho ảng đóng, khoảng khơng đóng: Trên khoảng khơng đóng phải d ựa vào bảng biến thiên hàm sớ để k ết luận; Trên khoảng đóng [a; b] cần tìm GTLN, GTNN tập hợp giá trị hàm số a; b; điểm tới hạn thuộc đoạn [a; b] x2  Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN y  x x2 Cách 1: Tìm tập giá trị hàm số; Cách 2: Dùng khảo sát hàm số 2.2 Dạng biểu thức chứa biến Nếu biểu thức chứa biến số đương nhiên ta sử dụng phương pháp khảo sát hàm số mục 2.1 Tuy nhiên, hàm số dễ dàng khảo sát được, nên mục chủ yếu trình bày phương pháp khác ngồi phương pháp khảo sát hàm số 2.2.1 Sử dụng bất đẳng thức biết 2.2.2 Xét biểu thức có liên quan Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số y  Hướng dẫn: Xét y 2.2.3 Đặt ẩn phụ x2  4 x  Ví dụ 4: Tìm GTNN y     2  3 2x 2x   3      2  3    x x Chú ý: HS dễ mắc phải sai lầ m tìm tâ ̣p giá tri ̣của ẩ n phu ̣ ; Đặt ẩn phụ m ột số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp: dạng a + , dạng thức a 2.2.4 Sử dụng điểm thuộc đồ thị hàm số x2  x  Ví dụ 5: Xét  C  y  Tìm (C) điểm M để tổng khoảng cách từ M tới hai x 1 đường tiệm cận xiên (C) đạt giá trị nhỏ 2.2.5 Lượng giác hóa + Đa thức Trê-bư-sep: x   cos 2t ; 4x3 – 3x = cos3t + Dạng     x  a sin t , t   ;  a  x : x   a, a:Đặt   2   x  a cos t , t  0,    Ví dụ : Tìm GTLN hàm số f ( x)   x x  x  18x  8x  1  1;1 Hướng dẫn: Do x   1;1 nên t  0;   : cos t  x ; f ( x)  sin t cos t cos 2t cos 4t  sin 8t  g (t ) 2.3 Dạng biểu thức chứa hai biến Với dạng toán mà điều kiện ràng buộc hai biến bậc nhất, dễ dàng rút biến theo biến kia, quy biến khảo sát hàm số biến phương pháp giải toán rõ ràng Tuy nhiên, trường hợp này, giáo viên khuyến khích học sinh tìm cách giải khác nhanh hơn, có nhận xét tốt Phần trình bày chủ yếu quan tâm tới phương pháp khác với phương pháp quy biến 2.3.1 Dựa vào trường hợp xảy đẳng thức sử dụng BĐT Cô-si  xy  x  y  Ví dụ 7: Cho  Tìm GTNN P: P  x  y  x, y  Đẳng thức xảy x = y =    , nên phải áp du ̣ng BĐT Cô-si phù hơ ̣p: x        44 x     x ; y        44 y     y  4       P  const  2   12    30  24  x  y   1  2.3.2 Dựa vào tính đối xứng hai biến 2.3.2.1 Quy đánh giá đơn thức, đa thức đối xứng  x  y  ; xy;  x  y    Ví dụ 8: Cho x  y  Tìm GTNN A  x3  y  xy Cách 1: Đánh giá xy , từ đánh giá A Cách 2: Rút biến y   x Biến đổi A hàm số biến x  x   t  Cách 3: Đưa biến Đặt  Biến đổi A hàm số biến t y   t   2.3.2.2 Đặt ẩn phụ Ví dụ 9: Cho xy  1; x  y Tìm GTNN A: A  x2  y2 x y 1 x Đặt t  x  Cách 1: Rút y  Có: A  x x x x 2 (x  y ) (x2  y )2  Cách 2: Xét A  (do xy  ) ( x  y) x  y2  x2  Đặt t  x  y 2.3.2.3 Đánh giá tổng nghịch đảo  x2 y  x y x4 y Ví dụ 10: Tìm GTNN P: P         y x x  y x y 2.3.3 Dựa vào dấu hiệu ràng buộc hai biến giả thiết 2.3.3.1 Bài tốn có giả thiết x  y  k ( k số) Chú ý: GTNN thường đặt cho biểu thức dạng:  x n  y n  ; n   * GTLN thường đặt cho biểu thức dạng: xy; x  a  y  b  x  0; y  x y Ví dụ 11: Cho  Tìm GTNN P ;P   1 x 1 y x  y  2.3.3.2 Một số dạng khác  x  xy  2 Ví dụ 12: Cho x  y  Tìm GTLN, GTNN P: P   xy  y 2.3.4 Khảo sát theo biến Ví dụ 13: Cho x  0;1 ; y  0;2 Tìm GTNN P  1  x   y  x  y  Hướng dẫn: P  1  x   y    y   1  x  Xét D   x; y  :  x  1;0  y  2   u   x Có: u  0;1 ; v  0; 2 ; P  2uv  v  2u    2u 2v  uv   g (u; v) v   y Đặt  P  g (u; v)   g (u; v)  với D1  (u, v) :  u  1;0  v  2   v0;2  u0;1 ( u ;v )D1  2 Xét hàm số f (u)  2vu  v u ; u  0;1 ; với tham số v   0; 2 ( x ; y )D f (u)  min( f (0), f (1)  min( 0; v  2v) Xét h(v) với v   0; 2 Suy P  2 u[ 0;1] 2.3.5 Lượng giác hóa Những trường hợp thường dùng phương pháp lượng giác hóa:      x  a sin t , t   ;  + Muốn khử a  x : x   a, a :Đặt     x  a cos t , t  0,        + Muốn khử a  x , a  x : Đặt x  a cos 2t  t  0,      2 a  x  a1  cos 2t   2a sin t ;  + Muốn biến đổi  x a  x  a1  cos 2t   2a cos t : Đặt t  tan x t     ;    ;có:      2   x  a sin t x  y  a (a  0)  t  0; 2  :  + Có:  y  a cos t  x  a sin t x2 y   (a; b  0)  t  0; 2  :  a b  y  b cos t  x   tan t  cos t tan u  tan v x y : Đặt x  tan u, y  tan v ;Có  tan u  v   tan u tan v  xy x 1 t2 2t 2t ; + Có: ; Đặt t  tan 2  t 1 t 1 t 2t 2t 1 t  sin x ;  tan x Có:  cos x ; 1 t2 1 t2 1 t2 + Có biểu thức x  : Đặt x  + Muốn khử căn:      t  0;   /    cos t      tan t cos2 t 2 Ví dụ 14: Cho x  y  x  y   (1) Tìm GTLN, GTNN P: x2 1      P  3x  y    x   y  xy   x   sin t 2 Hướng dẫn: (1)  x  1   y  1   t  0;2  :   y   cos t 2.3.6 Hình học hóa x  x    y  y0   R  M x, y   đường tròn tâm I  x0 ; y0  ;bán kính R ax0  by0  c   M x0 y   đường thẳng: ax  by  c  2 x  x2    y1  y   M M với M1  x1; y1  ; M  x2 ; y2  2 ax0  by0  c  d  M ;()  với M  x0 ; y0  ;() : ax  by  c  a  b2 b k  : hệ số góc đường thẳng OM với O  0;0 ; M  a; b  a Ví dụ 15: Tìm GTNN f x   Hướng dẫn:    x  px  p  x  2qx  9q ( p  q )  Xét A x  p, p , B x  q; q , OA   A    : y  p    B    : y   q  x  p   p ; OB   q2    thuộc hai nửa mặt phẳ ng bờ trục hoành Do f x   OA  OB  AB = const Vâ ̣y O thuô ̣c đoạn AB  f ( x)  x  q   p  q   p  q  2 x x p p xq q 0 p q q p pq 2.4 Dạng biểu thức có từ biến số trở lên 2.4.1 Dạng biểu thức đối xứng xoay vòng biến theo điều kiện ràng buộc biến  x1 ; x2 ; ; xn  D  2.4.1.1 Dạng có ràng buộc biến:   F  x1 , x2 , xn     x1  x2  xn  D Dạng GTLN ho ặc GTNN xảy  Từ đó mà có cách đánh giá F x1 , x2 , xn   phù hợp Chú ý: Một số hệ BĐT Cô-si: 1 n2     + xi  i  1, n ; x1 x2 xn x1  x2   xn     1 + x   i  1, n  ;  1 x 1 x  + xi  i  1, n ; 1  x1 1  x2  1  xn    n x1x2 xn i    n n   xn  n x1 x2 xn Dấu "  " xảy  xi  x j i; j  1; n, i  j Một số hệ BĐT Bu-nhia-côp-ski: + + a  c2  b  d 2 Dấu "="xảy x y z x  y  z     a, b, c  Dấu "=" xảy a  b2  c2  d  a b c abc Ví dụ 16: Cho a; b; c  0; abc  Tìm GTNN P; Q:  ad  bc  x y z   a b c a2 b2 c a2 b2 c2 ; Q với  ,   cho trước P     bc ac ab b  c c  a a  b a  b  c  Hướng dẫn:P đạt GTNN khi:   a  b  c 1 abc  1 Ta chứng minh: P  a  b  c  theo nhiề u cách , dựa vào BĐT quen thuô ̣c a2 bc a2 b  c  2  a Chẳ ng ̣n: bc bc a  0; b  0; c   Ví dụ 17: Cho  1 Tìm GTNN a  b  c   P  a  b  ab  b  c  bc  c  a  ca Q  a  2b  ab  b  2c  bc  c  2a  ca Hướng dẫn: P: 3 2 a  b a  b2  ab   a  b    a  b    a  b   a  b  ab  4  P  3 a = b = c = 2.4.1.2 Dạng có ràng buộc hai biến có liên quan đến biểu thức lượng giác Với số dương x; y; z : xy  yz  zx  ; tồn tam giác ABC cho : x  tan A B C ; y  tan ; z  tan 2 Nếu thêm GT số x; y; z nhỏ tồn tam giác nhọn thỏa mãn tính chất  x2 2x 2x x A  cos A;  sin A;  tan A;  sin Khi đó: 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x Ví dụ 18: Cho số dương nhỏ x; y; z : xy  yz  zx  ; x y z   Tìm GTNN P: P  2 1 x 1 y 1 z2 Hướng dẫn: Tồn tam giác ABC nhọn P   tan A  tan B  tan C  2.4.1.3.Dạng có ràng buộc hai biến có liên quan đến biểu thức hình học Ví dụ 19: Cho a, b, c  0;2 , a  b  c  Tìm GTLN, GTNN T  a  b2  c Hướng dẫn: a, b, c  0;2  M a; b; c   khối lập phương : 0  x  2;  y  2;  z  2 có đỉnh: O0;0;0; A2;0;0; B0;2;0; C0;0;2 M a; b; c  với a  b  c   M a; b; c  mp  x  y  z  ; mp   mpIJK M a, b, c  thoả mãn điều kiện M thuộc thiết diện tạo mp(IJK) cắt khối lập phương Thiết diện lục giác EFPQRS z ( E, F, P, Q, R, S K trung điểm cạnh) max T   a; b; c  0;1;2; KL: S C T   a  b  c  E G R F B 2.4.2 Dạng biểu thức khác (không đối xứng, khơng xoay vịng) 2.4.2.1.Đánh giá dựa vào bất đẳng thức thông dụng A Q 3a 4b 5c P Ví dụ 20: Cho a; b; c  Tìm GTNN P: P    I bc ca ab  3a   4b  x  5c  Hướng dẫn: Xét P  12    3    4    5 bc  ca  ab     a  b  c     bc ca a b 2  2 1              b  c  c  a  a  b     b  c   c  a   a  b      2        Đánh giá BĐT Bu-nhia-cơp-ski Ví dụ 21: Cho tam giác ABC Tìm GTLN M  2cos A  cos B  cos C C C A B C C A B  Hướng dẫn: M  31  sin   sin cos  6 sin  sin cos 3 2 2 2  11 C M  Dấu "=" xảy  ABC cân C: sin  3 2.4.2.2 Lượng giác hóa Ví dụ 22: Cho số dương x; y; z : xy  yz  zx  Tìm GTLN M:    M   1  x   x2  1  y  1  z    1 y2 1 z2 Hướng dẫn: Tồn tam giác ABC cho: x  tan A B C ; y  tan ; z  tan 2 M  2cos A  cos B  cos C 2.4.2.3.Hình học hóa J y Bổ đề: Với số dương cho trước x; y; z , tồn tam giác ABC có độ dài cạnh đối diện A; B; C a; b; c cho: a  y  z; b  z  x ; c  x  y Ví dụ 23: Cho x, y, z  : xyz x  y  z   Tìm GTNN P = (x + y)(y + z) Xét ABC có: AB  x  y; BC  y  z; CA  z  x ( x; y; z độ dài tiếp tuyến kẻ từ A, B, C tới đường tròn nội tiếp ABC ) Hướng dẫn:Đặt BC  a; CA  b; AB  c A C1 x p p  a  p  b p  c   x  y  z .xyz  y 1 B S ABC  AB.BC sin B  AB.BC  AB.BC   x  y  yy z A  2  zx   y x  y  z   "  " xảy   Dấu  x, y , z  S ABC  a  b  2a  2b   (1)  Ví dụ 24: Cho  Tìm GTNN P: c  d  17   c  d  (2)   a  c   b  d  P y D I2 C (C2) -1 B -1 I1 A x (C1) Hướng dẫn: 1  a  1  b  1   M a; b  (C ) 2  c  3  d  3   N c; d   (C ) P  MN , C , C  C   C    Gọi A, B, C, D giao điểm I I với C , C  , M , N lần lượt C , C  , BC  MN  AD  I I  R  R   MN  I I  R  R     P  2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 P    M  B; N  C; P    M  A, N  D B1 z z C ;c  d   P =   a  b  1  ;c  d   max P =   a  b  1  2 2.5 Dạng biểu thức lƣợng giác 2.5.1 Sử dụng bất đẳng thức lượng giác     Ví dụ 25: Tìm GTNN y   cos x     sin x   cos x   sin x   Hướng dẫn: 1 1  y   cos x   sin x   2 cos x sin x  2 2 1   1  1    1   2  sin x cos x   sin x  1 25 2 Do  sin x     y  1  4.1  sin x 2 25    x k Vâ ̣y y  Chú ý: Một số HS sai lầ m là đánh giá GTNN của từng số hạng , không chú ý xem đẳ ng thức có xảy hay không, dẫn đế n miny = 2.5.2 Đưa tổng số khơng âm, khơng dương Ví dụ 26: Tìm GTNN y  4sin 3x  cos x  cos x  Hướng dẫn: y  2sin 3x   4sin 3x  cos x +6 cos x  1    sin 3x  1   cos x   x,  x  sin 3x  1    sin 3x  1  Dấu "  " xảy    sin x   x   k 2 cos x  1 Vậy y   x    k 2 2.5.3 Quy hàm số lượng giác cos x  cos8x  Hướng dẫn: y   sin x2 cos x  sin x  Đặt t  sin xt   1;1 y   t 21  2t   3t  4t   4t  4t  3t  2t   f t ; Ví dụ 27: Tìm GTLN, GTNN y  21  sin x cos x   Bài toán đưa tìm GTLN ; GTNN hàm số f (t )  1;1 Kế t quả: max y  ; miny = 2.5.4 Sử dụng bất đẳng thức phụ      Ví dụ 28: Tìm GTNN y  1  1    0;   sin x  cos x   2  Hướng dẫn: Sử dụng BĐT phụ: 1  u 1  v    uv y   2  x    x 0;   2   u, v  2.6 Dạng hình học Ví dụ 29: Cho M 1;1;1 Lập phương trình mặt phẳng qua M, cắt tia Ox,Oy, Oz A, B, C cho tứ diện OABC tích đạt GTNN x y z Hướng dẫn: Phương trình mặt phẳng (ABC)    ; M (1;1;1)    a b c 1 VOABC  OA.OB.OC  a b c  abc  V 6 1 1 1 Theo Côsi:     3.3   abc   V  a b c a b c abc Vâ ̣y V  (đvtt)  a  b  c  CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích, nội dung, tổ chức thực nghiêm sƣ phạm (TNSP) ̣ + Mục đích TNSP: kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài + Nội dung TNSP lấy từ chương luận văn + Tổ chức thực nghiệm: - Lớp thực nghiệm: Lớp 12 Tự nhiên trường THPT chuyên Trần Phú Sĩ số: 50 - Lớp đối chứng: Lớp 12 Tự nhiên trường THPT chuyên Trần Phú Sĩ số: 50 - Thời gian: Dạy TNSP vào tiết bồi dưỡng lớp, vào ngày 20, 24/10/ 2010 - Giáo viên dạy TNSP: Nguyễn Thị Thanh Thủy 3.2 Giáo án thực nghiệm sƣ phạm (có luận văn) 3.3 Kết thực nghiệm sƣ phạm 3.3.1.Đề kiểm tra ( 45 phút ) kết làm HS: 2 4 Bài 1Cho x  0; y  0; xy  x  y  Tìm GTNN Q: Q  x  y Bài Cho x  0; y  0; x  y  Tìm GTNN P: P  1   xy x y xy x  y x2  y Bài 3: Cho  Tìm GTNN A: A  xy  x y  Bài kiểm tra tác giả nhằm mục đích kiểm tra kĩ tìm GTLN, GTNN biểu thức đối xứng hai biến phương pháp nêu giáo án Kết kiểm tra Biểu đồ 3.1: Kết số học sinh lớp thực nghiệm lớp đối chứng làm Mô ̣t số nhâ ̣n xét : Đa số HS lớp thực nghiệm nhanh chóng tìm nhiề u cách giải làm đúng, mô ̣t số em ở lớp đối chứng cũng làm loay hoay thời gian lâu tìm hướng giải, em cịn lại sa vào biến đổi đại số phức tạp, khơng tìm hướng giải 3.3.2 Kết đánh giá giáo viên, giáo sinh dự TNSP Chúng biên soạn phiếu đánh giá phiếu hỏi để lấy ý kiến giáo viên học sinh, theo mẫu Kết xử lý sau thống kê cho thấ y : - Giờ dạy thực nghiệm có khơng khí học tập sơi nổi, học sinh hứng thú, thi đua tốc độ phát hướng giải, tích cực làm Hiệu rât rõ em thực chắn việc giải dạng toán rèn luyện Hơn nữa, em có bình tĩnh, tự tin đứng trước tốn khó, có tốc độ xử lý bài toán nhanh tốt - Các giáo án TNSP có tính khả thi hiệu ́ KÊT LUẬN Luâ ̣n văn có những kế t quả chủ yế u sau : Tổ ng quan m ột số vấn đề thuộc lí luận liên quan đến kĩ giải tốn nói chung kĩ tìm GTLN, GTNN biểu thức nói riêng; tóm tắt tri thức liên quan đến tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Từ lí luận, đồng thời vào đặc điểm phong cách học tập học sinh giỏi, luâ ̣n văn đã xác đ ịnh phương hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ giải tốn cho ho ̣c sinh thơng qua quy trình ba bước hình thành kĩ giải tốn nói chung, kĩ tìm GTLN, GTNN nói riêng cho học sinh yêu cầu giáo viên việc hình thành kĩ giải toán cho học sinh Đề xuấ t mô ̣t giải pháp rèn luyê ̣n ki ̃ tim GTLN , GTNN của biể u thức cho ho ̣c sinh ̀ thông qua ̣ thố ng gờ m dạng khác nhau, với 58 ví dụ có phân tích, minh ho ̣a Viê ̣c thiế t kế ̣ thố ng theo da ̣ng thuận lợi cho việc rèn luyện kĩ cho học sinh theo bài, dạng có nhiều phương pháp giải khác Trong dạng, giáo viên thực theo quy trình ba bước hình thành ki ̃ gi ải toán cho học sinh Giải pháp rèn luyện kĩ tìm GTLN , GTNN của biể u thức cho ho ̣c sinh đề xuấ t luâ ̣n văn mô ̣t phầ n đã đươ ̣c kiể m nghiê ̣m , đánh giá qua Thực nghiê ̣m sư pha ̣m Tuy pha ̣m vi thực nghiê ̣m chưa rô ̣ng đã chứng tỏ đươ ̣c tính khả thi và hiê ̣u quả của đề tài Luâ ̣n văn có thể là mô ̣t tài liê ̣u tham khảo bổ ich cho các đờ ng nghiê ̣p và sinh viên khoa ́ Tốn trường ĐHSP References Nguyễn Văn Thái Bình (2004), Rèn luyện kĩ giải tốn ngun hàm, tích phân cho hoc sinh kết hợp với sử dụng phần mềm Macromedia flash Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm Hà Nội Bộ Giáo dục Đào tạo (2007), Phân phối chương trình mơn Tốn THPT Hà Nội Bộ Giáo dục Đào tạo (2006), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình, sách giáo khoa lớp 10 mơn Tốn Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Hữu Châu (2005), Dạy học giải vấn đề mơn Tốn, Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục, số Phan Đức Chính người khác (1985), Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập Nxb Giáo dục, Hà Nội Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất (1999), Các giảng luyện thi mơn Tốn , tập Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Thị Định (2010), Rèn luyện kĩ giải toán Đường thẳng mặt phẳng không gian, Quan hệ song song cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông Luận văn thạc sĩ, K3, trường ĐHGD - ĐHQG Hà Nội Nguyễn Sơn Hà (2007), Vận dụng phương pháp đàm thoại phát giải vấn đề dạy học bất đẳng thức cho học sinh giỏi Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm Hà Nội Phan Huy Khải (1995), 500 toán chọn lọc bất đẳng thức, tập Nxb Hà Nội 10 Nguyễn Bá Kim (1998), Học tập hoạt động hoạt động Nxb Giáo dục, Hà Nội 11 Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội 12 Luật Giáo dục Việt Nam (chỉnh sửa bổ sung năm 2005) 13 Nguyễn Vũ Lương người khác (2008), Các giảng bất đẳng thức Bunhia-côp-ski Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội 14 Nguyễn Vũ Lương người khác (2008), Các giảng bất đẳng thức Cô-si Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội 15 Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội 16 Bùi Văn Nghị người khác (2009), Hướng dẫn ơn-luyện thi đại học, cao đẳng mơn Tốn Nxb Đại học Sư phạm 17 Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn trường phổ thơng Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội 18 Đỗ Văn Oai (2000), Một số vấn đề nội dung phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi lớp phổ thông bậc trung học sở tạo nguồn cho lớp chuyên toán cấp trung học phổ thông miền núi Luận án Thạc sĩ khoa học Sư phạm – Tâm lý, Đại học Sư phạm Hà Nội 19 Hoàng Phê (1996), Từ điển tiếng Việt Nxb Đà Nẵng 20 Thái Thị Anh Thư (2004), Rèn luyện kĩ giải tốn Hình học khơng gian phương pháp tọa độ trường THPT Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm Hà Nội 21 Bùi Quang Trường (2002), Những dạng tốn điển hình đề thi tuyến sinh đại học cao đẳng, tập Nxb Hà Nội 22 Dương Thị Yến (2002), Rèn luyện kỹ ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN chứng minh BĐT cho HS lớp 12 THPT Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm Hà Nội 23 Polya G (1975), Giải toán (bản dịch), Sách dịch Nxb Giáo dục, Hà Nội 24 Polya G (1977), Sáng tạo toán học (bản dịch), Sách dịch Nxb Giáo dục, Hà Nội 25 Polya G (1995), Tốn học suy luận có lí, Sách dịch Nxb Giáo dục, Hà Nội 26 Petrovski A.V (1982), Tâm lí lứa tuổi tâm lí sư phạm, tập Nxb Giáo dục, Hà Nội 27 Sách giáo khoa, sách giáo viên lớp 10, 11, 12 Trung học phổ thông  ... trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp Trung học phổ thơng việc hệ thống hóa dạng tốn, kĩ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức có biện pháp thích hợp rèn luyện. .. CHƢƠNG GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO HỌC SINH Trong chương trình chúng tơi trình bày việc rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN biểu thức cho HS theo dạng... kĩ tìm GTLN, GTNN biểu thức? - Giải pháp rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT? Giả thuyết khoa học Giải pháp quan trọng cho việc nâng cao kĩ giải tốn tìm giá