Nguyn Tn t 1 PHNG TRèNH LNG GIC TRONG THI I HC Trong thi i hc, chỳng ta thng gp cõu gii phng trỡnh lng giỏc. Cõu ny chim 1 im trong v cng khụng phi l cõu khú. Tuy nhiờn do phn kin thc lng giỏc nm chng trỡnh lp 11 nờn cỏc em hc sinh cng gp khụng ớt khú khn. phn ny, chỳng ta s xem xột mt s bi lng giỏc trong cỏc thi i hc nhng nm gn õy. Qua ú ta s xem xột cỏc phng phỏp gii ch yu. 1. thi tuyn sinh i hc nm 2010 - 2011 (Khi A) Gii phng trỡnh ( ) 2 1 sin 2x cos 2x 2 sin xsin 2x 1 co t x + + = + Phõn tớch v gii: i vi phng trỡnh lng giỏc cú cha n mu, vic u tiờn l t iu kin v qui ng. iu kin: 2 1 cot x 0, x x k sin x 0 ỡ + ạ " ẻ ạ p ớ ạ ợ Ă Phng trỡnh ó cho tng ng: ( ) 2 1 sin 2x cos 2x 2 sin x sin 2x 1 co t x + + = + 1 sin 2x cos 2x 2 2 cos x + + = (1) Phng trỡnh (1) cú hai loi bin x v 2x nờn ta bin i a v phng trỡnh tớch. Vỡ v phi cha s hng cos x nờn ta cn lm xut hin s hng cos x v trỏi. Do ú: ( ) ( ) 2 1 2sin x cos x 2cos x 2 2 cos x cos x sin x cos x 2 0 + = + - = cos x 0 x k 2 ,k sin x 1 x k2 4 4 p ộ = ộ = + p ờ ờ ẻ ờ p ổ ử ờ + = p ỗ ữ ờ = + p ờ ố ứ ở ờ ở Â So sỏnh iu kin, ta c nghim: S k , k2 ,k 2 4 p p ỡ ỹ = + p + p ẻ ớ ý ợ ỵ Â (Khi B) Gii phng trỡnh sin 2x cos x sin x cos x cos 2x sin x cos x + = + + (1) Phõn tớch v gii: Phng trỡnh ó cho cú hai loi bin x v 2x nờn ta bin i a v phng trỡnh tớch. Cỏch 1: Vỡ v trỏi cú nhõn t chung l sin 2x nờn ta bin i nh sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 sin 2x 2cos x 1 2cos x 2cos x 1 2 sin x 1 + = + + - ( ) ( ) ( ) 2cosx 1 sin 2x 2cosx 2 sin x 1 + - = - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2cosx 1 cosx sin x 1 sin x 1 sin x 1 cosx 2cos x 1 1 0 sin x 1 cos2x cosx 0 + - = - - + - =ộ ự ở ỷ - + = Nguyn Tn t 2 ( ) 2 x k 2 x k 3 3 cos2x cosx cos x 3 3 x k2 sin x 1 x k2 x k2 2 2 p p ộ = + p p ộ ờ = + ờ = - = p -ộ ờ = -p + p ờ ờ ờ p = ờ ở ờ = + p p ờ = + p ờ ở ở Cỏch 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 sin x 1 cos 2x sin x cos x cos 2x sin x cos x cos 2x sin x 1 cos x sin x 1 0 sin x 1 cos2x cos x 0 + + = + + - + - = - + = Tip tc gii nh trờn. Cỏch 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 sin x 2cos x 1 sin x 1 cos x cos 2x cos 2x sin x 1 sin x 1 cos x 0 sin x 1 cos 2x cos x 0 - + - = - + - = - + = (Khi D) Gii phng trỡnh sin 2x 2cos x -sin x -1 0 tan x 3 + = + (1) Phõn tớch v gii: Trc ht, ta t iu kin: x k tan x 3 0 3 ,k cosx 0 x k 2 p ỡ ạ - + p ù ỡ + ạ ù ù ẻ ớ ớ p ạ ù ợ ù ạ + p ù ợ Â Vi iu kin trờn thỡ (1) tng ng: sin 2x 2cosx -sin x -1 0 + = (2) Phng trỡnh ny cú hai loi bin x v 2x nờn ta bin i a v phng trỡnh tớch. ( ) ( ) ( ) ( ) 2cosx sin x 1 sin x 1 0 sin x 1 2cosx 1 0 + - + = + - = sin x 1 x k2 2 ,k 1 cosx x k2 2 3 p ộ = - = - + p ộ ờ ờ ẻ ờ ờ p = ờ = + p ở ờ ở Â So sỏnh vi iu kin, ta c nghim l: x k2 3 p = + p 2. thi tuyn sinh i hc nm 2009 - 2010 (Khi A) Gii phng trỡnh ( ) 1 sin x cos 2x sin x 1 4 cos x 1 tan x 2 p ổ ử + + + ỗ ữ ố ứ = + Nhn xột: cú 3 loi bin tham gia x, 2x, x 4 p + nờn nh hng l bin i lng giỏc rỳt gn bi toỏn. Nguyn Tn t 3 Ta cú th dựng cụng thc cng bin i ( ) 1 sin x sin x cos x 4 2 p ổ ử + = + ỗ ữ ố ứ Gii iu kin: x k 1 tan x 0 4 ,k cosx 0 x k 2 p ỡ ạ - + p ù + ạ ỡ ù ẻ ớ ớ ạ p ợ ù ạ + p ù ợ Â ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 sin x cos 2x sin x 1 4 cos x 1 tan x 2 1 sin x cos 2x sin x cos x cos x 1 tan x 1 sin x cos 2x sin x cos x cos x sin x p ổ ử + + + ỗ ữ ố ứ = + + + + = + + + + = + ( )( ) sin x cosx 0 sin x cosx sin x cos2x 0 sin x cos2x 0 + = ộ + + = ờ + = ở * sin x cos x 0 x k 4 p + = = - + p khụng tha iu kin. * 2 sin x 1 sin x cos2x 0 2sin x sin x 1 0 1 sin x 2 = ộ ờ + = - - = ờ = - ở So sỏnh iu kin, ta c: 1 sin x 2 = - 7 x k2 , x k2 6 6 p p = - + p = + p . (Khi B) Gii phng trỡnh ( ) sin 2x cos 2x cos x 2cos 2x sin x 0 + + - = (1) Nhn xột: Cú 2 loi bin l x v 2x m khụng th a c phng trỡnh mt hm lng giỏc theo mt bin nờn nh hng bin i t tha s chung. Gii ( ) ( ) 1 sin2xcosx cos x cos 2x 2cos 2x sin x 0 cos 2x cos x 2 sin2xcosx-sinx = 0 + + - = + + ( ) ( ) 2 cos 2x cos x 2 sin x 2cos x 1 = 0 + + - ( ) cos2x sin + cosx + 2 0 = cos 2x 0 x k ,k 4 2 p p = = + ẻ Â . (Khi D) Gii phng trỡnh sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 0 - + - - = (1) Nhn xột: Cú 2 loi bin x v 2x nhng khụng th a c v loi phng trỡnh mt hm lng giỏc theo 1 bin nờn ta bin i v rỳt tha s chung. Ta cú th th nhúm s hng nh sau: ( ) sin 2x cos x cos x 2sin x 1 - = - Nh vy cỏc s hng cũn li ta phi lm xut hin tha s chung: cos x hoc 2sin x 1 - nhng ta thy khụng th lm xut hin cosx c nờn cỏc s hng cũn li phi thnh tam thc bc hai theo n sin x v phi cú nghim l 1 2 . Tht vy: ( ) ( ) 2 cos 2x 3sin x 1 2sin x 3sin x 2 sin x 2 2sin x 1 - + - = + - = + - Nguyn Tn t 4 Gii ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 cos x 2sin x 1 2sin x 3sin x 2 0 cos x 2sin x 1 2sin x 1 sin x 2 0 2sin x 1 sin x cos x 2 0 - + + - = - + - + = - + + = x k2 6 2sin x 1 ,k 5 x k2 6 p ộ = + p ờ - ẻ ờ p ờ = + p ờ ở Â 3. thi tuyn sinh i hc nm 2008 - 2009 ( Khi A) Gii phng trỡnh (1 2sin x)cosx 3 (1 2sinx)(1 sinx) - = + - Gii iu kin: 1 7 sin sin 1 2 2 2 2 6 6 2 ạ - ạ ạ - + ạ + ạ + x x x k x k x k p p p p p p Khi ú: ( ) 1 (1 2sin x)cosx 3(1 2sin x)(1 sin x) - = + - Ta thy hai v khụng cú nhõn t chung nờn ch cũn cỏch nhõn phõn phi v rỳt gn: ( ) ( ) ( ) 2 cosx sin 2x 3 1 2sin x sin x cosx sin 2x 3 sin x cos2x 2 - = - + - = + Nhn xột: cú 2 loi bin l x v 2x nhng ngay t u hai v ó khụng cú nhõn t chung nờn ta khụng bin i theo cỏch thụng thng nhm a v phng trỡnh tớch m cn chỳ õy l dng quen thuc: asin u bcosu csin v dcos v + = + vi 2 2 2 2 a b c d + = + Thy vy: ( ) 2 3cos x sin x cos2x 3sin 2x sin x sin 2x 3 6 p p ổ ử ổ ử + = - + = - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 2 2 2 3 6 18 3 2 2 2 3 6 2 ộ ộ + = - + = - + ờ ờ ờ ờ ổ ử ờ ờ + = - - + = - + ỗ ữ ờ ờ ở ố ứ ở x x k x k x x k x k p p p p p p p p p p p So sỏnh vi iu kin bng cỏch v ng trũn lng giỏc, ta c tp nghim l: 2 , 2 , 18 3 2 ỡ ỹ = - + - + ẻ ớ ý ợ ỵ Â S k k k p p p p (Khi B) Gii phng trỡnh 3 sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos4x sin x) + + = + Nhn xột: cú quỏ nhiu loi bin tham gia x, 2x, 3x, 4x nờn nh hng l h bc v bin i lng giỏc rỳt gn toỏn. Vỡ cn h bc s hng 3 sin x nờn ta dựng cụng thc nhõn ba: ( ) 3 3 1 sin3x 3sin x -4sin x sin x 3sin x sin3x 4 = ị = - Gii Nguyn Tn t 5 3 sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin x) + + = + ( ) 1 3 1 sin x sin 3x sin x 3 cos3x 2(cos 4x sin x sin 3x) 2 4 4 + + + = + - 1 3 3 1 sin 3x sin x 3 cos3x 2cos 4x sin x sin 3x 2 2 2 2 + + = + - sin 3x 3 cos3x 2cos 4x + = 1 3 sin 3x cos3x cos 4x 2 2 + = cos 4x cos 3x 0 6 p ổ ử - - = ỗ ữ ố ứ 7x x 2sin sin 0 2 12 2 12 p p ổ ử ổ ử - - + = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 2 7x x k k 42 7 2 12 x m x m2 2 12 6 p p p ộ ộ = + - = p ờ ờ ờ ờ p -p ờ ờ + = p = + p ờ ờ ở ở (Khi D) Gii phng trỡnh 3cos5x 2sin3xcos2x sin x 0 - - = (1) Nhn xột: cú quỏ nhiu loi bin tham gia x, 2x, 3x, 5x nờn nh hng l bin i lng giỏc rỳt gn toỏn. Mun bin i s hng sin3x cos2x ta cn dựng cụng thc ( ) ( ) 1 sinacos b sin a b sin a b 2 = + + - ộ ự ở ỷ Gii ( ) ( ) 1 3cos5x sin5x sin x sin x 0 3cos5x sin5x 2sin x - + - = - = (2) n õy, ta gp mt dng phng trỡnh quen thuc: 2 2 asinu bcosu a b sin v + = + Phng trỡnh ny gii nh l phng trỡnh bc nht theo sin, cos: ( ) x k 18 3 2 sin 5x sin x , k . 3 x k 6 2 p p ộ = + ờ p ổ ử - = ẻ ỗ ữ ờ p p ố ứ = - + ờ ở Â 4. thi tuyn sinh i hc nm 2007 - 2008 (Khi A) Gii phng trỡnh: 1 1 7 4 sin 3 sin 4 sin 2 x x x p p ổ ử + = - ỗ ữ ổ ử ố ứ - ỗ ữ ố ứ Nhn xột: cú 3 loi bin 3 7 , , 2 4 - - x x x p p nờn nh hng dựng cung liờn kt v bin i lng giỏc. Gii 3 sin sin 2 sin cos 2 2 2 x x x x p p p p ổ ử ổ ử ổ ử - = + - = + = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ ( ) 7 2 sin sin 2 sin sin cos 4 4 4 2 x x x x x p p p p ổ ử ổ ử ổ ử - = - - = - + = - + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ứ Phng trỡnh tr thnh: Nguyn Tn t 6 1 1 2 2(sin cos ) 0 sin cos x x x x + + + = iu kin: sin 0 , cos 0 2 x x k k x p ạ ỡ ạ ẻ ớ ạ ợ Â 1 (sin cos ) 2 2 0 sin .cos x x x x ổ ử + + = ỗ ữ ố ứ sin 0 4 1 sin 2 2 x x p ộ ổ ử + = ỗ ữ ờ ố ứ ờ ờ - = ờ ở 4 8 5 8 ộ = - + ờ ờ - ờ = + ờ ờ ờ = + ờ ở x k x k x k p p p p p p Tt c cỏc h nghim u tha iu kin. (Khi B) Gii phng trỡnh: 3 3 2 2 sin 3cos sin cos 3 sin cos - = - x x x x x x Nhn xột: õy l phng trỡnh ng cp bc 3 Gii Xột cosx = 0 khụng tha phng trỡnh. Vy vi cosx 0: Chia 2 v cho cos 3 x, t t = tanx 3 2 t 3 3 0 t t + - - = 2 ( 3)( 1) 0 t t + - = 3 1 t t = - = 3 4 x k x k p p p p = - + = + ( Khi D) Gii phng trỡnh: ( ) 2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx + + = + Nhn xột: Tng t khi B 2009-2010 Gii ( ) 2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx + + = + 2 4sin cos 2sin cos 1 2cos + = + x x x x x 2sin .cos (1 2cos ) 1 2cos + = + x x x x (1 2cos )(sin 2 1) 0 + - = x x 1 cos 2 sin 2 1 ộ = - ờ ờ = ở x x 2 2 3 4 x k x k p p p p ộ = + ờ ờ ờ = + ờ ở Qua mt s thi i hc nhng nm gn õy, ta thy cõu gii phng trỡnh lng giỏc ch yu kim tra hai k nng gii toỏn ca hc sinh l bin i lng giỏc t nhõn t chung a v phng trỡnh tớch v so sỏnh nghim tỡm c vi iu kin ban u. Nh vy, lm tt cõu lng giỏc, hc sinh cn nh cỏc cụng thc lng giỏc, bit gii cỏc phng trỡnh lng giỏc c bn, biu din cỏc gúc lng giỏc trờn ng trũn lng giỏc ng thi phi rốn luyn k nng bin i i s. . 2sin x 1 - = - Nh vy cỏc s hng cũn li ta phi lm xut hin tha s chung: cos x hoc 2sin x 1 - nhng ta thy khụng th lm xut hin cosx c nờn cỏc s hng cũn li