Chuyên đề Toán học  Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số  Bài 1: Cho hàm số: y = 2x m4mx)1m(2x 22 + ++++ (1), m là tham số. 1. Khảo sát hàm số (1) khi m = –1 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. Bài 2: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2x 3 –9x 2 +12x –4 2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 3 x – 9x 2 +12 x = m. Bài 3: Cho hàm số: y = –x 3 + 3mx 2 – 3(m 2 –1)x +m 3 – 2 (C m ) Tìm m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt trong đó có hai điểm có hoành độ dương. Bài 4: Cho hàm số: y = 1x 2mx2x 2 + ++ . Tìm m để khoảng cách từ hai điểm cực đại và điểm cực tiểu đến đường thẳng x + y +2 = 0 bằng nhau. Bài 5: Cho hàm số y = x 3 +3x 2 + m 2 x + m Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y = 2 5 x 2 1 − . Bài 6: Cho hàm số: y = 1x x 2 − (C). Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ đó có thể kẻ tới đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 45°. Bài 7: Cho hàm số: y = 1x 1xx 2 − −− . Một đường thẳng thay đổi song song với đường thẳng y = x 2 1 cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN. Bài 8: Cho hàm số: y = 3 x 3 1 –x + 3 2 (C). Tìm trên (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của nó vuông góc với đường thẳng y = 3 2 x 3 1 +− Bài 9: Cho hàm số: y = 1x 3x 2 + + (C). Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(2 ; 5 2 ) sao cho (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B và M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Bài 10: Cho hàm số: y = )mx(8 x8x 2 + − . Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số đồng biến trên [1 ; +∞). Bài 11: Cho hàm số: y = x 4 – 4x 2 + m (C). Giả sử (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau. Bài 12: Cho hàm số: y = x 3 – 3x (1) 1. Khảo sát hàm số (1). 2. Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y = m(x +1) +2 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định. Hãy xác định các giá trị của m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và tại C vuông góc với nhau. Bài 13: Cho hàm số: y = x 3 –3(a–1)x 2 + 3a(a–2)x +1, (a là tham số) Với các giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho: 1 ≤ x ≤ 2 Bài 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x 2 –3x + x m + 3 có ba điểm cực trị. Khi đó chứng minh rằng cả ba điểm cực trị này đều nằm trên đường cong y = 3(x–1) 2 . Bài 15: Cho hàm số: y = 1x 2x2x 2 − −+ . Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Bài 16: Cho hàm số: y = 2x 5xx 2 − ++ (C) 1. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị (C) đến các tiệm cận là một hằng số không đổi. 2. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. Bài 16: Cho hàm số y = x 2 + 2x + a – 4. Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [–2 ; 1] đạt giá trị nhỏ nhất Bài 17: Cho hàm số: y = 3 1 x 3 – mx 2 – x + m +1  Created by kienyk - 1 - 1. Khảo sát hàm số khi m = 0 2. Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 3. Chứng minh rằng với mọi m, hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu. Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất. Bài 18: Cho hàm số: y = 1x 1mxx 2 − −+ . Tìm các giá trị của m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho cắt các trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18. Bài 19: Cho hàm số: y = 2mx x)m6(x2 2 + −+ 1. Khảo sát hàm số khi m = 1, gọi là đồ thị (C) 2. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại mọi điểm của đồ thị (C) luôn cắt hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không đổi. Bài 20: Cho hàm số: y = 1x x 2 − (C) và đường thẳng (d): y = ax + b. Giả sử đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) tại M. A và B là giao điểm của (d) với các tiệm cận của (C) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB. Bài 21: Cho hàm số: y = 1x 2x − + (C) và điểm A(0 ; a) Xác định a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía đối với trục Ox. Bài 22: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = x 4 – (m 2 +10)x 2 + 9 luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và trong đó có hai giao điểm nằm trong khoảng (–3 ; 3) và hai giao điểm nằm ngoài khoảng (–3 ; 3). Bài 23: Cho hàm số: y = x 3 – 2 3 mx 2 + 2 1 m 3 1. Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x 2. Xác định m để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC. Bài 24: Cho hàm số: y = x 2x3x 2 +− (C) Tìm trên đường thẳng x =1 những điểm sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. Bài 25: Dựng đường thẳng qua hai cực trị của hàm số y = 1x mmxx 2 + ++ và tính khoảng cách giữa hai cực trị. Bài 26: Cho y = 2x 3 – 3x 2 (C) 1. Từ (C) vẽ: y = 2x 3 – 3x 2 2. Tìm GTLN, GTNN của: y = 2sinx 3 – 3sin 2 x 3. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng. Bài 27: Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x + my – 2) 2 + (4x + 2(m – 2)y – 1) 2 Bài 28: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = xcos2xsin3 xsin4xcos3 24 24 + + Bài 29: Cho các số x, y, z thuộc [0 ; 1] và thoả mãn điều kiện x + y + z = 2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = cos(x 2 + y 2 +z 2 ) Bài 30: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: y = 2(1 + sin2x.cos4x) – 2 1 (cos4x – cos8x) Bài 31: Giả sử x và y là các số thay đổi thoả mãn: x> 0, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = y1 y x1 x − + − Bài 32: Cho 3 ≤ x ≤ 6. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = x91x −+− Bài 33: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = cosA + cosB + cosC , trong đó A, B, C là các góc của 1 tam giác bất kỳ Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình  Dạng 1: Phương trình chứa dấu căn: 1. x 2 + 3x + 1 = (x+3) 1x 2 + 2. x + 2 x4 − = 2 + 3x 2 x4 − 3. )x4)(1x(x41x −++−++ = 5 4. 1x6x8x2 22 −+++ = 2x + 2  Created by kienyk - 2 - 5. 1x4 − + 1x4 2 − = 1 6. 5 3x 2x31x4 + =−−+ 7. 6x + + 2x = 3(2 + 2x − ) 8. 22 xx21xx21 −−+−+ = 2(x–1) 4 (2x 2 – 4x +1) 9. 29x12x925x12x42x2x 222 ++=++++− 10. 2x − – 2x + = 2 4x 2 − – 2x + 2 Dạng 2: Phương trình lượng giác: 11. 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 12. sin2x + 2tgx = 3 13. 3sinx + 2cosx = 2 + 3 tgx 14. sin3x = cosx.cos2x.(tg 2 x + tg2x) 15. cos3x cos 3 x – sin3xsin 3 x = cos 3 4x + 4 1 16. sin 4 x + sin 4 (x + 4 π ) + sin 4 (x – 4 π ) = 8 9 17. 48 – xsin 2 xcos 1 24 − (1 + cotg2x.cotgx) = 0 18. sin ( ) 2 x 10 3 − π = 2 1 sin ( ) 2 x3 10 + π 19. sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2 20. 4sin 3 xcos3x + 4cos 3 xsin3x + 3 3 cos4x = 3 21. tg 2 x.cotg 2 x.cotg3x = tg 2 x – cotg 2 2x + cotg3x 22. 3xcos4xcos)28316(643 −=−−+ 23. xsin 2 2 + 2tg 2 x + 5 tgx + 5cotgx + 4 = 0 24. sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 – 2sinx 25. tg 2 x = xsin1 xcos1 − − 26. cos ( ) 4 x2 π + + cos ( ) 4 x2 π − + 4sinx = 2 + 2 (1–sinx) 27. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx 28. 3cotg 2 x + 2 2 sin 2 x = (2 + 3 2 )cosx 29. 2cos2x + sin 2 x.cosx + cos 2 x.sinx = 2(sinx + cosx) 30. sin2x + cos2x + tgx = 2 31. tg 2 x – tgx.tg3x = 2 32. cos 3 x – sin 3 x = cos 2 x – sin 2 x 33. 3tg2x – 4tg3x = tg 2 3x.tg2x 34. cos3x – 2cos2x + cosx = 0 35. 6sinx – 2cos 3 x = 5sin2x.cosx 36. 2tg 2 x + xsin 2 2 + 5tgx + 5cotgx + 4 = 0 37. sin 2 x + sin 2 3x – 3cos 2 2x = 0 38. cos3x + x3cos2 2 − = 2(1 + sin 2 2x) 39. 1+ cos 4 x – sin 4 x = 2cos2x với x3x 2 − < 2 40. 2 xcosxsin x2sin1x2cos 33 + =++ Dạng 3: Phương trình logarit: 41. log 2 x + 2log 7 x = 2 + log 2 x.log 7 x 42. )x3(log 6 x – 36 5 7 x = 0 43. xlog)2x(log 2x x 2 + ++ = 2 44. log 3x+7 (9 + 12x + 4x 2 ) + log 2x+3 (6x 2 + 23x +21) = 4 45. log 2 ( x 4 +4) = x – )32(log 1x 2 1 − + 46. log 2 (3x–1) + 2log 1 3x+ = 2 + log 2 (x+1) 47. log x [log 3 ( x 9 –6)] = 1 48. log 3 ( 1x 9 + –4. x 3 – 2) = 3x + 1 49. 2 222 x4log6logx2log 3.2x4 =− 50. log 3       ++ ++ 5x4x2 3xx 2 2 = x 2 + 3x + 2 51. ln(2x–3) + ln(4–x 2 ) = ln(2x–3) + ln(4–x 2 ) 52. log 27 (x 2 – 5x + 6) 3 = ( ) 2 1x log 2 1 3 − + log 9 (x–3) 2 53. xx 53 + = 6x + 2 54. xx1x 2 22 −− − = (x–1) 2 55. 6. x 4 – 13. x 6 + 6. x 9 = 0 56. 5. 1x2 3 − – 7. 1x 3 − + 1xx 93.61 + +− = 0 Dạng 4: Giải và biện luận phương trình hoặc bất phương trình theo tham số: 57. x 2 – (1+m) x – m – 1 = 0 58. (x+1) 2 – m 2x + = 0 59. 2m(cosx + sinx) = 2m 2 + cosx – sinx + 2 3 60. log 2 1 (x 2 + ax +1) < 1 61. log a 2 a log x + log 2 a log a x ≥ 2 1 log a 2 62. log x a + log ax a + a + log xa 2 a = 0 63. 2mmx4x22mx2x 22 55 +++++ − = x 2 + 2mx + m Dạng 5: Hệ phương trình: 64.    =++ =++ 6yx4x 9)yx2)(2x(x 2 65.    =−− =− 06xcosysin5 0ycos7xsin  Created by kienyk - 3 - 66.    +=+ =+ 4499 55 yxyx 1yx 67.    −=− =+ x7yy7x 1yx 77 2020 68.    =+− =+− 0y15xy13x2 9y3xy2x 22 22 69.      =−+ =+ − − 06)yx(8 13).yx( yx4 xy4 4 4 70.    =− =− 19yx 2y)yx( 33 2 71.    −=+ =+ 22 333 x6xyy x19yx1 Dạng 6: Bất phương trình: 72. 4x )x11( x 2 2 −> ++ 73. 2 3 x 1x 1x x ≥ − + − 74. 1x1x3x23x4x 22 −≥+−−+− 75. )1x(4)4x3)(5x( −>++ 76. xx1x1 ≥−−+ 77. 2x 2 + 6x5x 2 −− > 10x + 15 78. 3x − + 4x − > 4x2 + + 3x3 − Dạng 7: Tìm các giá trị của tham số để (hệ) phương trình, bất phương trình: 79.      − ≤++ ≥−+ 1m m yxy2x2 3yxy2x5 22 22 có nghiệm 80.    ≤+++ =+ a3y5x 3yx có nghiệm x ≥ 4 81.    =+−++ ≤+ 2a)1y(x2yx 2yx có nghiệm 82.    −=+ =+ 2m3yx myx 44 22 có nghiệm 83.    =++ =+− 24bx 55 aby)1a(e 1yx)1a( có nghiệm đúng với mọi giá trị của tham số b 84.      −++=++ =++ a35xx5y ay3x 22 2 có đúng 1 nghiệm 85.    +=+ =−+−−+ 1xyyx 1)1yx(k1yx 22 có nghiệm duy nhất 86. 01a3).1a(9.a 2xx >−+−+ + có nghiệm với mọi x. 87. 2asinx + (a+1)cosx = xcos a có nghiệm 88. sin 6 x + cos 6 x = asin2x có nghiệm 89. (m–1)log 2 2 1 (x–2) – (m –5)log 2 1 (x–2) + m –1 = 0 có 2 nghiệm thoả mãn 2 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ 4 90. )3x(logm3xlogxlog 2 4 2 2 1 2 2 −=−+ có nghiệm thuộc khoảng [32 ; +∞) 91.    =− =−++ ayx 1)yx(log)yx(log 22 a2 (a≠1) có nghiệm duy nhất và giải phương trình khi đó 92.    =−+− >−−+ =− 52logm)5x2x(log 4log)1x(log)1x(log 5x2x 2 2 3 33 2 có 2 nghiệm phân biệt 93. (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4cos 2 x có 2 nghiệm thỏa mãn: 0 ≤ x ≤ ð.  Created by kienyk - 4 - Bất đẳng thức, đẳng thức trong tam giác  1. Chứng minh rằng với mọi x > 0 và với mọi α > 1 ta luôn có: x α + α – 1 ≥ αx. Từ đó chứng minh rằng với ba số dương bất kỳ thì : a c c b b a a c c b b a 3 3 3 3 3 3 ++≥++ 2. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 thì       ++≥++ cbacba 3 c 3 b 3 a 3 3 1 3 1 3 1 3. Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a + b = c. Chứng minh rằng: 3 2 3 2 3 2 cba >+ 4. Chứng minh rằng với 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 0 ta luôn có: 3 333 cba ++ = abc 5. Cho các số thực a, b, c, d sao cho a ≥ b ≥ c ≥ 0 Chứng minh rằng: a 2 – b 2 + c 2 ≥ (a – b + c) 2 6. Cho a ≥ 1 ; b ≥ 1. Chứng minh rằng: a 1b − + b 1a − ≤ ab 7. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: (a + b + c) ( ) c 1 b 1 a 1 ++ ≥ 9 8. Cho    >> > 0yx 0b,a Chứng minh rằng: [ ] [ ] xxyy baln x 1 baln y 1 +>+ 9. Cho x,y > 0. Chứng minh rằng: yx 4 y 1 x 1 + ≥+ 10. Cho 3 số a, b, c > 0 thoả mãn: b 2 c 1 a 1 =+ Chứng minh: 4 bc2 bc ba2 ba ≥ − + + − + 11. Cho 3 số dương a, b, c và a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh rằng: 2 33 ba c ac b cb a 222222 ≥ + + + + + 12. Cho x, y ( ) 4 ; 4 ππ −∈ . Chứng minh rằng: 1 tgy.tgx1 tgytgx < − − 13. Chứng minh rằng với mọi t [ ] 1;1−∈ ta có: 22 t2t11t1t1 −≥−+≥−++ 14. Cho các số a, b, c thoả mãn:    =++ =++ 1cabcab 2cba 222 Chứng minh: 3 4 a 3 4 ≤≤− ; 3 4 b 3 4 ≤≤− ; 3 4 c 3 4 ≤≤− 15. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 222232323 z 1 y 1 x 1 xz z2 zy y2 yx x2 ++≤ ++ + + 16. Chứng minh rằng nếu a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì: 3a 2 + 3b 2 + 3c 2 + 4abc ≥ 13 17. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cosAcosBcosC ≤ 8 1 18. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thoả mãn hệ thức: CcosBcosAcos2 1 C2sin 1 B2sin 1 A2sin 1 222 =++ Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. 19. Cho tam giác ABC thoả mãn: sin(A+B)cos(A–B) = 2sinAsinB Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông. 20. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1. Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi 3 m Csin m Bsin m Asin cba =++ 21. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu các góc của nó thoả mãn: cos 2 A cos 2 B cos 2 C – sin 2 A sin 2 B sin 2 C = 2 1 22. Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = cos 2 2 A + cos 2 2 B + cos 2 2 C 23. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: a + b = (atgB + btgA)tg 2 C . Chứng minh rằng tam giác ABC cân hoặc vuông. 24. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có: tg 2 A + tg 2 B + tg 2 C = CsinBsinAsin CcosBcosAcos3 ++ +++ 25. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có: ( ) c 1 b 1 a 1 2 cp 1 bp 1 ap 1 ++≥ − + − + − 26. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức: atgA + btgB = (a + b)tg 2 BA + . Chứng minh rằng tam giác ABC cân. 27. Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện: c 2 sin2A + a 2 sin2C = b 2 cotg 2 B Hãy xác định hình dạng của tam giác đó. 28. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu: sin 2 A + sin 2 B = sin 2 C 29. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có: 2 22 c ba Csin )BAsin( − = −  Các hệ thức cơ bản giữa các góc của tam giác: sinA + sinB +sinC = 4cos 2 A cos 2 B cos 2 C cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin 2 A sin 2 B sin 2 C sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC sinA + sinB + sinC ≤ 2 33 cosA + cosB + cosC ≤ 2 3 cosA.cosB.cosC ≤ 8 1 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 4 9 cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≤ 2 33 cotgA + cotgB + cotgC ≤ 3 Dấu = xảy ra khi ABC là tam giác đều, Nguyên hàm, tích phân và các ứng dụng của tích phân  Tìm họ nguyên hàm và tính các tích phân sau: ∫ +−++ − )1x3x)(1x5x( 1x 22 2 dx ) 3 x(tg ∫ π + cotg(x + 6 π )dx ∫ + xsin1 gxcot 9 dx ∫ xcos 4 dx ∫ + x2sin1 xdxsin ∫ ∫ π + − 2 0 3 )xsinx(cos xsin4xcos5 dx ∫ π π− + + 4 4 x 66 16 xcosxsin dx ∫ π + 4 0 )tgx1ln( dx ∫ π π 2 4 4 6 xsin xcos dx ∫ π + 2 0 20082008 2008 xsinxcos xcos dx ∫ 10 1 2 xlgx dx ∫ + +− + 2 51 1 24 2 dx 1xx 1x ∫ π + 4 0 66 xcosxsin x4sin dx ∫ + − 2 0 22 2 )x4( x4 dx ∫ π 2 0 2008 xcos dx ∫ π π − 3 3 2 xcos xsinx dx ∫ π + 6 0 2 xcos3xsin xdxsin ∫ − ++ 1 1 2x )1x)(1e( dx ∫ π π π + π + 3 6 ) 6 x(gcot) 3 x(tg dx ∫ + + 1 0 2 x2 )1x( e)1x( dx ∫ π + 2 0 xsin1 dx ∫ π + 4 0 2 )xcos2x(sin dx ∫ π − 20 0 x2cos1 dx ∫ π + 2 0 3 xcos1 xsin4 dx ∫ π + + + 2 0 xcos1 xcos1 )xsin1( ln dx ∫ + − b 0 22 2 )xa( xa dx ∫ 10 1 2 xlgx dx ∫ ++ 1 0 x1x dx ∫ − 5 3 2 9x dx . Chuyên đề Toán học  Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số  Bài. m 2 x + m Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng