Chươn g V. CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN §1. Các đặc trưng số Từ luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rút ra vài số đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên đó (giúp ta so sánh giữa các đại lượng với nhau) được gọi là các đặc trưng số. 1.1. Mod[X] (mode) Đònh nghóa Mod[X] là g iá trò mà tại đó X nhận xác suất lớn nhất (nếu X rời rạc) ha y hàm mật độ đạt cực đại (nếu X liên tục). VD Cho X rời rạc có luật phân phối X 0 1 2 4 5 8 P X 0,1 0,2 0,3 0,05 0,25 0,1 Mod[X] = 2. 1.2. Trung vò X : (Med[X]) Trun g vò là 1 g iá trò của X mà tại đó xác suất được chia đôi, nghóa là PX X PX X éùé ù £= ³ êúê ú ëûë û :: . VD Cho X rời rạc có luật phân phối X 1 2 3 4 5 P X 0,1 0,2 0,15 0,1 0,45 XMed[X]4== : 1.3. Kỳ vọng toán M(X) 1.3.1. Đònh nghóa Cho X rời rạc có phân phối Xx 1 x 2 …x i …x n P X p 1 p 2 …p i …p n thì n 11 2 2 n n i i i1 M(X) x p x p x p x p = =+ ++ = ∑ + Nếu X liên tục thì M(X) xf(x)dx + ∞ − ∞ = ∫ . VD Tron g bình đựn g 10 quả cầu g iốn g nhau nhưn g khác trọn g lượn g g ồm 5 quả nặn g 1k g , 2 quả 2k g và 3 quả 3 kg. Lấ y n g ẫu nhiên 1 quả, g ọi X là trọn g lượng quả cầu đó. X có luật phân phối X 1kg 2kg 3kg P X 0,5 0,2 0,3 Su y ra M(X) = 1.0,5 + 2.0,2 + 3.0,3 = 1,8k g . Kỳ vọng là giá trò trung bình (theo xác suất) của đại lượng ngẫu nhiên X, là trung tâm điểm của phâ n phối mà các giá trò cụ thể của X sẽ tập trung quanh đó. 1.3.2. Ý nghóa a/ Trường hợp X rời rạc Xx 1 x 2 …x i … x n P X p 1 p 2 …p i … p n n (x ) ϕ Xét bảng …… P Y p 1 p 2 …p i … p n n ii i1 M[ (X)] (x )p = ϕ=ϕ ∑ (X)ϕ 1 (x ) ϕ 2 (x ) ϕ i (x ) ϕ Bài toán Cho đại lượng ngẫu nhiên X và Y(X) = ϕ . Tính M(Y) M[ (X)]=ϕ . VD Cho 2 Y(X)X=j = , bieát X –1 0 1 2 P X 0,1 0,3 0,4 0,2 Ta coù (X) j 1 0 1 4 P Y 0,1 0,3 0,4 0,2 M[ (X)] 1.0,1+ 0.0, 3+1.0, 4+ 4.0,2 1, 3Þj = = Chú ý Trong bảng phân phối của X có một Mod[X] và đối xứng thì Mod[X] X M(X).== : b/ Trườn g hợp X liên tục có hàm mật độ f(x) thì M[ (X)] (x)f(x)dx. +¥ -¥ j=j ò X 1 2 4 6 7 P X 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 VD 1.4. Phöôn g sai D(X) VD X 1 2 3 P X 0,2 0,7 0,1 M(X) 1.0,2 2.0, 7 3.0,1 1,9m= = + + = 222 D(X)= (1 -1,9) .0,2+ (2 -1,9) .0,7+ (3 -1,9) .0,1Þ 1.4.1. Ñònh nghóa 2 D(X) M{[X M(X)] }=- hoaëc =-mm= 2 D(X) M[(X ) ], M(X). [...]... + Một giải nhất trúng 5 chữ số cuối thưởng 5 triệu + Một giải đặc biệt trúng 5 chữ số cuối thưởng 50 triệu đồng Hỏi người mua vé số có lãi không? §2 CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA VECTOR (X, Y) 2.1 Đặc trưng của phân phối có điều kiện 2.1.1 Trường hợp rời rạc X x1 x2 … xi … xm PX/Y=yj P1/j p2/j … pi/j … pm/j Y y1 q1/i y2 q2/i … … yj qj/i … … yn qn/i PY/X=xi a/ Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y = yj m... 1 vé xổ số trò giá 2.000 đồng Biết rằng vé số có 6 chữ số Cơ cấu trúng giải: + Một giải 8 trúng 2 chữ số cuối thưởng 20.000đ + Một giải 7 trúng 3 chữ số cuối thưởng 50.000đ + Năm giải 6 trúng 4 chữ số cuối thưởng 100.000đ + Hai giải 5 trúng 4 chữ số cuối thưởng 200.000đ + Ba giải 4 trúng 5 chữ số cuối thưởng 500.000đ + Hai giải 3 trúng 5 chữ số cuối thưởng 1 triệu + Một giải nhì trúng 5 chữ số cuối... 2 + 22.0, 7 + 32.0, 1 - (1, 9)2 1.4.2 Ý nghóa Phương sai là sai số bình phương trung bình của đại lượng ngẫu nhiên X so với trung tâm điểm kỳ vọng Phương sai dùng để đo mức độ phân tán của X quanh kỳ vọng 1.5 Độ lệch tiêu chuẩn s(X) = D(X) Bài tập Bài 1 Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con) Xác suất sinh con trai là 0,51 Gọi X là số con trai trong 2 lần sinh Tính kỳ vọng và phương sai của X Bài... điều kiện của Y với điều kiện X = xi n M [Y / X = x i ] = å j= 1 y jq j / i b/ Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y + M(X/Y) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trò M(X/yj) khi Y = yj và Y(Y) = M(X / Y) + M(Y/X) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trò M(Y/xi) khi X = xi và Y(X) = M(Y / X) 2.1.2 Trường hợp liên tục M(X / y) = ò xf(x / y)dx = Y(y) M(Y / x) = ò yf(y / x)dy = Y(x) 2.2 Kỳ vọng của hàm... gồm 10 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô hàng đó, gọi X là số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra Tính kỳ vọng và phương sai của X Bài 3 Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm trên 1 năm có xác suất là 0,992 và người đó chết trong vòng 1 năm tới là 0,008 Một chương trình bảo hiểm đề nghò người đó bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền chi trả là 1000 USD, phí bảo hiểm... vọng của hàm 1 vector ngẫu nhiên (rời rạc) Cho (X, Y) có phân phối P[X=xi, Y=yj] = pij và Z = j (X, Y) thì m M(Z) = M[j (X, Y)] = n å å i = 1 j= 1 j (x i , y j )p ij VD Cho Z = j (X, Y) = X + Y và bảng sau (X, Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2) pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2 M(Z) = (0 + 0).0, 1 + (0 + 1).0, 2 + (0 + 2).0, 3 + (1 + 0).0, 05 + (1 + 1).0, 15 + (1 + 2).0, 2 = 1, 75 . V. CÁC ĐẶC TRƯNG SỐ CỦA ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN §1. Các đặc trưng số Từ luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rút ra vài số đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên. điều kiện của X với điều kiện Y + M(X/Y) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trò M(X/y j ) khi Y = y j và (Y) M(X/ Y)Y= . + M(Y/X) là đại lượng ngẫu nhiên