I. CHUỖI ĐAN DẤU (DẨU HIỆU LEPNIT): Nếu b n đơn điệu, giảm về 0 thì chuỗi hội tụ. Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi: Giải: Đây là chuỗi đan dấu với b n = Ta có: lnx đơn điệu tăng (x>0) đơn điệu giảm và 0 Ta chứng minh: ln(n + 1) > ln(n) ln(n + 1) - ln(n) > 0 mà Theo dấu hiệu Lepnit thì hội tụ Miền hội tụ: = a o (x) + ……… + a n (x) + ………… .hội tụ .hội tụ Giải bpt tìm đựơc 1 miền R 1 <x<R 2 Xét xem tại R 1 , R 2 chuỗi có hội tụ không? Ví dụ: tìm miền hội tụ Giải Ta có: nếu thì chuỗi hội tụ Xét f(x)= lnx Giải bpt Tại ta có chuỗi phân kỳ Tại x = e ta có chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ của chuỗi là II. CHUỖI LŨY THỪA: Tìm l ở 1 trong 2 dạng sau: hoặc Miền hội tụ sẽ là (-R, R) Xét thêm tại –R và R Ví dụ: tìm miền hội tụ của chuỗi Giải: .là chuỗi lũy thừa với a n = Xét; Tại x = -2 ta có chuỗi hội tụ (chuỗi đan dấu có b n = đơn điệu) Tại x = 2 ta có chuỗi (chuỗi điều hòa p = 1) phân kỳ Vậy miền hội tụ D = [-2, 2) III. CHUỖI ĐIỀU HÒA: .p > 1: hội tụ .p 1: phân kỳ Ví dụ: Chuỗi phân kỳ Chuỗi hội tụ Chuỗi phân kỳ Chứng minh rằng: Giải Ta có: (đpcm) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: Giải Ta có: Nếu thì chuỗi hàm hội tụ Tại x = 0 ta có chuỗi hội tụ Tại x = -2 ta có chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ của chuỗi là D = Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Giải Ta có: Khi thì chuỗi hội tụ Xét tại x = 1 ta có chuỗi phân kỳ Xét tại x = 3 ta có chuỗi hội tụ (chuỗi đan dấu có b n đơn điệu) Miền hội tụ của chuỗi là D = (1, 3] Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: Giải Đây là chuỗi hàm với Xét Chuỗi hàm hội tụ khi Miền hội tụ chính Tại x = ta có chuỗi Áp dụng định lý Diriclet với và Xét: S n = a 1 + …………… + a n = Ta cần chứng minh rằng Thật vậy, Với n chẳn, ta có: vì Với n lẻ, ta có Vậy Theo định lý Diriclet ta suy ra hội tụ Suy ra Miền hội tụ của chuỗi là D = (tại x = ½ ta có chuỗi cũng là chuỗi hội tụ) IV. ĐỊNH LÝ DIRICHLET: Nếu chuỗi bị chặn (tức là và) thì chuỗi hội tụ. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Giải Chuỗi trên có dạng chuỗi lũy thừa với a n = Xét: Miền hội tụ chính Tại x = - 1/3 ta có chuỗi phân kỳ Tại x = 1/3 ta có chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ của chuỗi là Cho chuỗi hàm Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Giải Đặt X = x + 2 Ta có chuỗi lũy thừa với a n = Xét Miền hội tụ chính của chuỗi là (-2, 2) Miền hội tụ chính của chuỗi là -2< x + 2<2 -4 < x < 0 Tại x = -4 ta có chuỗi phân kỳ Tại x = 0 ta có chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ của chuỗi là D = (-4, 0) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Giải Đây là chuỗi lũy thừa với a n = n(n + 1) Xét Miền hội tụ chính (-1, 1) Xét tại x = -1 ta có chuỗi phân kỳ Tại x = 1 ta có chuỗi phân kỳ Miền hội tụ của chuỗi là D = (-1, 1) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Giải: Ta có: Xét: Chuỗi hội tụ khi Miền hội tụ chính Tại x = 0 ta có chuỗi hội tụ (chuỗi đan dấu có ) Tại x = -2 ta có chuỗi phân kỳ (p = 1) Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm là D = Cho chuỗi hàm Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm Giải Đặt X = 2x – 1 thì ta có chuỗi là chuỗi lũy thừa với a n = Xét Miền hội tụ chính của chuỗi là -1 < X < 1 Miền hội tụ chính của chuỗi là (-1, 1) Tại x = -1 ta có chuỗi phân kỳ Tại x = 1 ta có chuỗi hội tụ (chuỗi đan dấu có b n đơn điệu) Miền hội tụ của chuỗi là D = (-1, 1] . .hội tụ .hội tụ Giải bpt tìm đựơc 1 miền R 1 <x<R 2 Xét xem tại R 1 , R 2 chuỗi có hội tụ không? Ví dụ: tìm miền hội tụ Giải Ta có: nếu thì. kỳ Chuỗi hội tụ Chuỗi phân kỳ Chứng minh rằng: Giải Ta có: (đpcm) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm: Giải Ta có: Nếu thì chuỗi hàm hội tụ Tại x = 0