Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa x· héi chđ nghÜa ViƯt Nam §éc lËp - Tù - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu1 1) Giả sử hàm f : R → R cho bëi c«ng thøc  x2 y nÕu x + y ≠  2 f ( x, y ) =  x + y 0 nÕu x + y =  a) XÐt tÝnh liªn tơc cđa f trªn R b) Xét tính khả vi hàm f điểm (0,0 ) 2) Tìm miền hội tụ chuỗi n 1 x n + 1 + x    n= ∞   C©u KÝ hiƯu l1 =  x = {x n } : x n ∈ C ; n ∈ N , ∑ x n < ∞  ; n =1   ∞ d1 ( x, y ) = ∑ n =1  ∞ 2 x n − y n , d ( x, y ) =  ∑ x n − y n  víi x = {x n } ; y = {y n } thuéc l1  n =1  Chøng minh r»ng a) d1 , d mêtric l1 ; b) không gian (l1 , d ) đầy đủ ; khả li c) Không gian (l1 , d ) không đầy đủ Câu Giả sử C [0,1] không gian định chuẩn hàm số thực liên tục [0,1] với chuẩn sup A: C [0,1] C [0,1] biÕn x thµnh Ax cho bëi ( Ax )(t ) = t x(t ) víi mäi x ∈ C [0,1] vµ t ∈ [0,1] a) Chøng minh A ánh xạ tuyến tính liên tục Tính A b) Chứng tỏ A(C[0,1] ) không gian đóng C [0,1] Câu ánh xạ f : X → Y tõ kh«ng gain t«p« X vào không gian tôpô Y gọi đóng với tập đóng A ta có f ( A) ®ãng Y Chøng minh r»ng f : X Y đóng ( ) f ( A) ⊂ f A víi mäi A ⊂ X Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu Gọi E n+1 Là không gian véctơ tất đa thức mét Èn cã bËc ≤ n víi hƯ sè thùc Trong E n+1 cho đa thức u k ( x ) với k n xác ®Þnh nh­ sau: u = ; u k ( x ) = x( x − 1)( x − 2)L ( x − k + 1) víi ≤ k n a) Chứng minh đa thức {u k }k = lập thành së cña E n+1 b) H·y chøng tá tån phép biến đổi tuyến tính cña E n+1 thoả m·n n + n ( ) ®iỊu kiƯn ϕ x k = u k , k = 0,1,2, K, n Vµ ϕ lµ mét song ánh c) Xác định ánh xạ : E n+1 → E n+1 bëi ®iỊu kiƯn ∂ [ p( x )] = p( x + 1) − p( x ) ; ∀p ( x ) ∈ En +1 HÃy chứng minh ánh xạ tuyến tính Tìm nhân ảnh Tìm ®a thøc ∂(u k ( x )) ; k = 0,1,2, K, n Câu a) Cho G mét nhãm Xyclic Chøng minh r»ng mäi nhãm G nhóm Xyclic b) Gọi x phần tử sinh nhóm Xyclic G HÃy tìm tất nhóm G đẳng cấu với G c) Chứng tỏ nhóm cấp hữu hạn nguyên tố nhóm Xyclic Câu Ta gọi trường nguyên tố không chứa trường thực a) Chứng minh trường ssó hữu tỉ Ô trường lớp đồng dư  p (với p số nguuyên tố ) trường số nguyên tố b) Cho X trường nguyên tố Chứng tỏ X Ô X  p (với p số nguyên tố đó) Câu Giả sử phép biến ®ỉi tun tÝnh ϕ cđa kh«ng gian R3 ®èi víi sở đơn vị có ma trn là: −1 −5 A =  −2   1 a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng b) Tìm sở R3 mà ma trận có dạng tam giác Viết ma trận c) Giá trị riêng có thay đổi không ta thay đổi sở Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa x· héi chđ nghÜa ViƯt Nam §éc lËp - Tù - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số Thêi gian lµm bµi: 180  x2 y nÕu x + y ≠  2 Câu1 Cho hàm số f ( x, y ) =  x + y 0 nÕu x + y = Khảo sát tính liên tục tính khả vi hàm số đà chi miền xác định n n ( x ) Câu Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi hàm ( 1) 3n n =1 Câu Giả sử R n = {( x1 , x , K , x n )}: xi ∈ R, i = 1,2, L , n } p (0,1) Vói tập n x = ( x1 , K , x n ) ; y = ( y1 ,K , y n ) ta ®Ỉt d ( x, y ) = ∑ x i − y i i =1 p n ; ρ ( x, y ) = ∑ x i − y i Chøng minh i =1 r»ng: a) ( R n , d ) không gian mêtric đầy đủ b) ánh xạ đồng id : ( R n , d ) R n , liên tục Câu Cho hàm f : Ă Ă xác định if x ∉ (0,1] 0  f (x ) =   1  , n = 1,2,K , if x ∈ An =   n  n +1 n ( ) n Với n N ta đặt f n = k An ( An hàm đặc trưng An) k =1 Chøng minh r»ng a) f n ↑ f Ă b) f khả tích Lơbe Ă tính tích phân Lơbe f ( x )dx Ă c) Hàm f không khả tích Lơ be Ă Câu Kí hiệu C [0,1] không gian tất hàm liên tục x : [0,1] → ¡ víi bÊt k× x, y C [0,1] ta đặt d ( x, y ) = sup x ( t ) − y ( t ) Chøng minh r»ng t∈[ 0,1] t a) ¸nh x¹ f : C [0,1] → C [0,1] cho bëi [ f ( x )](t ) = ∫ x(s )ds , x C [0,1] ánh xạ tuyến tính liªn tơc TÝnh chn cđa f b) (C [0,1] , d ) không gian compact Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa x· héi chđ nghÜa ViƯt Nam §éc lËp - Tù - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số Thêi gian lµm bµi: 180 (− 1)n ∑ ln n n =1 Câu a) Khảo sát sù héi tơ cđa chi: b) T×m miỊn héi tơ chuỗi: xn 2n c) Tính tổng cđa chi lịy thõa: n =1 ∞ ∑ n(n + 1)x n−2 n =1 ∞     C©u Ký hiƯu l2 = { xn } ⊂ C : xn < Đặt p ( x, y ) = sup xn − yn n∈N n =1      ∞ 2 d ( x, y ) =  ∑ xn − yn  víi x = {x n } ; y = {y n } thuéc l2  n =1 a) Chứng minh p, d metric l2 b) ánh xạ đồng I d : (l2 , d ) → (l2 , p) lµ ánh xạ liên tục Câu a) Cho hàm f đo được, hữu hạn h k n tập hợp A, đặt f(x) f(x) n f n → f h k n fn ( x ) =  nÕu f(x) ≥ n 0 Chøng minh r»ng lim I A f n d µ = ( L) I A fd x b) Giả sử E tập không gian tôpô X Chứng minh tập E đóng E chứa tất điểm giới hạn Câu ánh xạ f: E F từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F gọi bị chặn tồn sè C > cho f ( x ) ≤ C víi mäi x ∈ E mµ x ≤ Chøng minh r»ng ®Ĩ f: E → F bị chặn, điều kiện cần đủ f liên tục Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu Giả sử V không gian véc tơ thực n chiều f : V V ánh xạ tuyến tính a) Chøng minh dim (imf ) + dim (ker f ) = n b) Giả sử f đơn cấu Chứng minh f tự đẳng cấu V c) Giả sö f = f Chøng minh imf ⊕ ker f = V d) Gi¶ sư mäi vÐc tơ khác không V véc tơ riêng f Chứng minh f xác định bëi f ( x ) = αx (α lµ sè thực cho trước) Câu Giả sử X nhóm Xyclic cÊp m vµ Ylµ nhãm Xyclic cÊp n Chøng minh r»ng: a) Nhãm cđa nhãm X lµ nhãm Xyclic b) X có số hữu hạn nhóm c) X ≅ Y vµ chØ m=n d) Xì Y nhóm Xyclic cấp mì n (m,n)=1 Câu Giả sư X vành giao hoán có đơn vị Một Iđêan A X X gọi Iđêan tối đại cvà Iđêan X chứa A X thân A Một Iđêan P X gọi nguyên tố chØ nÕu víi u,v ∈ X th× tÝch u.v∈ P kéo theo u P v P Giả sử I Iđêan X Chứng minh rằng: a) X/I miền nguyên I Iđêan tối đại b) X/I trường I Iđêan tối đại c) Nếu I Iđêan tối đại I Iđêan tối đại Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho chi hµm: ∞ ∑ ( −1) n ( x − 1) n (1) 3n a) T×m miỊn hội tụ chuỗi (1) b) Tính tổng chuổi (1) kho¶ng héi tơ cđa nã  nÕu x y cos Câu Cho hàm sè f ( x, y ) =  x 0 x = a) Tìm tất điểm gián đoạn f b) Tập điểm gián đoạn f không đóng R2 mở tËp {(0, y ) : y ∈ ¡} n =1 Câu Cho dÃy hàm [nx ] nÕu x ∈ [0,1] f n (x ) =  n , n = 1,2, K 0 nÕu x ∉ [0,1]  Chøng minh r»ng a) lim f n ( x ) = x víi ∀x ∈ [0,1] x →∞ If n tích phân Lơbe f n R, [nx ] phần nguyên nx x Câu Giả sử l tập tất cá dÃy số thực bị chặn ; c0 tập tất dÃy số thùc héi tơ tíi a) Chøng minh r»ng c«ng thøc x = sup xn víi x = {x n } l xác định chuẩn l ∞ b) lim If n = n∈N b) Chøng minh c0 không gian đóng l ∞ víi chn nãi trªn ∞ xn , víi mäi x = {x n } ∈ n n =1 l∞ , H·y chøng minh r»ng f lµ mét phiÕm hàm tuyến tính, liên tục l tính f c) Cho ánh xạ f : l R xác định công thức f ( x ) = Câu Giả sử E không gian định chuẩn hữu hạn chiều, B hình cầu đơn vị đóng E Chứng minh với x E, tồn y B cho x y = d(x, B) Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số Thời gian làm bài: 180 phút Câu Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ( 1)n (1) n(x + 1)n n =1 Xét tính khả vi tổng chuỗi (1) điểm miền hội tụ  nÕu y ≠  x sin y C©u 1) Xét tính liên tục hàm số f ( x, y ) =  0 nÕu y = 2) Chứng minh tập điểm gián đoạn hàm f không đóng , không mở R nh­ng më R C©u Cho d·y hµm 1  [nx ] f n (x ) =  n 0  nÕu x ∈ [0,1] , n = 1,2, K nÕu x ∉ [0,1] Chøng minh r»ng a) lim f n ( x ) = x víi ∀x ∈ [0,1] x →∞ b) lim If n = x nx If n tích phân Lơ be f n R, [nx ] phần nguyên Câu Giả sử l tập tất cá dÃy số thực bị chặn ; c0 tập tất dÃy sè thùc héi tơ tíi a) Chøng minh r»ng c«ng thøc d ( x, y ) = sup n∈N x n − y n víi x = {x n } ; y = {y n } ∈ l ∞ xác định mêtric l mêtric sinh bëi mét chuÈn trªn l ∞ b)Chøng minh c0 tập đóng l x c) Cho ánh xạ f : l → R bëi c«ng thøc f ( x ) = ∑ n víi mäi x = {x n } thuéc l∞ H·y n n =1 chøng minh r»ng f phiếm hàm tuyến tính , liên tục l tính f Câu Giả sử E không gian định chuẩn , E không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục E a điểm thuộc E Chứng minh ánh xạ a : E C cho công thức a ( f ) = f (a ) ; ∀f ∈ E ∗ lµ ánh xạ tuyến tính liên tục E a = a Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho V không gian tất đa thức mét Èn cã bËc ≤ n víi hƯ sè thùc : V V ánh xạ biến đa thức thành đạo hàm a) Chứng minh phép biến đổi tuyến tính không gia véc tơ V b) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng Câu Cho ánh xạ f : Ă Ă xác định f ( x, y ) = (2 x − y, x + y , x − y + m ) a) Tìm m để f ánh xạ tuyến tính b) Tìm ker f dim (imf ) trường hợp f ánh xạ tuyến tính Câu a) Chứng minh vành vành số nguyên  có dạng m với m  b) Tìm tất tự đồng cấu vành  [5] số thực có dạng a + b với a, b số nguyên Câu Cho K trường có đặc số nguyên tố p Chứng minh ánh xạ x → x p ( x ∈ K ) lµ mét tự đồng cấu khác không trường K Từ hÃy chứng minh định lí Fecma bé: Với số nguyên a số nguyên tố p ta có a p ≡ a (mod p ) C©u XÐt nhóm Ô số hữu tỉ với phép cộng thông thường a) Chứng minh Ô nhóm Xyclic b)Nhóm thương Ô /  có đẳng cấu với Ô hay không? Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại häc Vinh Céng hßa x· héi chđ nghÜa ViƯt Nam §éc lËp - Tù - H¹nh §Ị thi tuyển sinh cao học năm 2002 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu Xét hội tụ chuỗi hàm x n(1 + n n =1 x2 ) C©u Cho hµm sè  nÕu ( x, y ) ≠ (0,0)  x cos f ( x, y ) =  x + y2 0 nÕu ( x, y ) = (0,0)  a)XÐt tÝnh kh¶ vi hàm f điểm (0,0 ) b) Xét tính liên tục đạo hàm riêng f điểm (0,0 ) Câu Khảo sát tính khả tích Rieman, khả tích Lơbe tính tích phân (nếu có ) hàm sinx nÕu x = n  , n = 1, 2,3, K đoạn [0,1] f ( x, y ) =  e x nÕu x ≠  n { Câu Giả sử l = { x n } ⊂ R : sup n x n < ∞}; A = {en = (0, K,0,1,0,0, K), n = 1, 2, K} Chøng minh r»ng : ∞ a) Các công thức d1 ( x, y ) = ∑ x n − y n , d ∞ ( x, y ) = sup n x n − y n víi x = {x n } ; y = {y n } n =1 xác định mêtric trªn l1 ; l ∞ b) l1 ⊂ l (l1 , d ) không đóng (l ∞ , d ∞ ) c) SpanA trï mËt (l1 , d ) nh­ng kh«ng trï mËt (l ∞ , d ∞ ) , SpanA tập hợp tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn A x d) ánh x¹ ϕ : l ∞ , ∞ → l1 , víi ϕ ( x ) =  n  , x = { xn } l ánh xạ tuyến tính n ( liên tục Tính ϕ ( x ) ( ) ∞ ∞ = sup n x n ; x = ∑ x n ) víi x = {x n } ) n =1 Câu Chứng minh {An } dÃy tập mở không gian mêtric đầy đủ X cho ∞ A = X th× víi mäi n th× X = I An n =1 Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chđ nghÜa ViƯt Nam §éc lËp - Tù - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài a) Cho phép biến đổi tuyến tính Ă sở đơn vị cã ma trËn lµ:  − − 5  −2     −1 HÃy tìm giá trị riêng vectơ riêng b) Chứng tỏ A ma trận vuông phần tử thực thỏa mÃn A2 + I = A giá trị riêng thực Từ suy không tồn ma trận vuông A cấp phần tử thực thỏa mÃn A2 + I = (Trong I ma trận đơn vị cấp với A ) Bài Cho nhóm G AutG nhóm tất tự đẳng cấu G với phép toán nhân ánh xạ Với a G, xét ánh xạ fa : G → G x a a-1xa a) Chøng minh r»ng fa tự đẳng cấu G, ta gọi tự đẳng cấu xác định a b) Chứng minh tập tất tự đẳng cấu G lập thành nhóm con, ký hiệu IntG nhóm AutG Hơn nữa, IntG ∆ AutG c) Chøng minh r»ng mét nhãm H cđa G lµ ­íc chn cđa G vµ chØ fa(H) = H víi mäi fa ∈ IntG d) Chứng minh G không giao hoán IntG Cyclic, AutG không Cyclic  x y   Bµi Cho tËp X =   : x, y ∈Z  ,  trường lớp đồng d­  − y x   modul a) Chứng minh X với phép cộng nhân ma trận lập thành trường b) Tìm đặc số cđa tr­êng X theo Bµi a) Chøng minh r»ng K trường vành đa thức K[x] vành b) Chứng minh miền nguyên P trường P[x] không vành chÝnh c) Gäi I = lµ Ideal sinh hai phần tử x vành  [x] Chứng minh I gồm tất đa thức với hệ số tự số nguyên chẵn I Ideal 10 Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chđ nghÜa ViƯt Nam §éc lËp - Tù - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho hàm số x2  y ln 1 +  nÕu y ≠  y  f ( x, y ) =     nÕu y = 0 Chøng minh r»ng '' a) f xy ( x, y ) f ỹ'' ( x, y ) khôgnliên tục ®iÓm (0,0) '' '' b) f xy (0,0) = f yx (0,0) Câu a) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm b)Tính tổng chuỗi hàm n 2n ∑ n x sin (x + nπ ) n =1 ∞ ∑ n(n + 1)x n− miỊn héi tơ cđa nã n= C©u Giả sử (X, d) không gian mêtric , f : X X ánh xạ liên tục Chøng minh r»ng a) TËp hỵp A = {x ∈ X : f ( x ) = x} đóng b) NÕu X lµ tËp compact vµ A ≠ φ tồn số c>0 cho d ( f ( x ), x ) ≥ x víi mäi x X Câu Giả sử { f n } dÃy hàm đo A A cho hàm f n =1 n khả tíc A f n =1 A n ∞ ∑∫ n =1 A f n dµ < +∞ Chøng minh  ∞  dµ ∫  ∑ f n dµ  A  n =1 Câu Kí hiệu C [2 ,1] không gian tuyến tính hàm khả vi liên tục đến cấp hai đoạn [0,1] Với x C [2 ,1] ta đặt x = x(0 ) + x' (1) + max t∈[0,1] x' ' (t ) a) Chứng minh công thức xác định chuÈn trªn C [2 ,1] ; b) Chøng minh r»ng to¸n tư A: C [2 ,1] → C [2 ,1] cho bëi c«ng thøc Ax(t ) = x' (t ) + x ' ' (t ) víi mäi 0 x ∈ C [2 ,1] , t ∈ [0,1] tuyến tính không liên tục 11 Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chđ nghÜa ViƯt Nam §éc lËp - Tù - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho n số nguyên dương, Pn(R) tập hợp tất đa thức ẩn x với hệ số thực có bậc không vượt n a) Chøng minh Pn(R) cïng víi phÐp céng ®a thøc phép nhân đa thức với số không gian véc tơ thực b) Chứng minh hệ vÐc t¬ 1, x − 1, ( x − 1) , K, ( x − 1) n lµ mét sở Pn(R) Tìm số chiều Pn(R) Câu Giả sử V không gai véc tơ n chiều trường K V1 không gian cđa V víi sè chiỊu b»ng m, < m < n a)Chứng minh tồn không gian V2 cña V cho V= V1 ⊕ V2 Tìm số chiều V2 b) HÃy nờu cách xây dựng không gian véc tơ thương V /V1 tìm số chiều không gian Câu Giả sử Ê* nhóm nhân số phức khác không, H tập hợp số phức Ê* trục thực trục ảo , Ă nhóm cộng số thực,  nhóm cộng số nguyên a) Chøng minh r»ng H lµ ­íc chn cđa £* b) Chứng minh  ước chuẩn ¡ c) Chøng minh r»ng nhãm th­¬ng £* / H đẳng cấu với nhóm Ă /  nằm Câu Giả sử  vành số nguyên Lập tích đề V=  ì  a) Chøng minh r»ng V cóng víi phÐp to¸n céng nhân xác định : (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y) (a,b).(x,y)=(ax,by) vành giao hoán có đơn vị Tìm ước không vành b) Chứng minh V cựng với phép cộng phép nhân xác định (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y) (a,b).(x,y)=(ax,ay+bx+by) vành gaio hoán có đơn vị Tìm ước không vành 12 Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chđ nghÜa ViƯt Nam §éc lËp - Tù - Hạnh phúc Đề thi bổ túc thi cao học năm 2005 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1) Xét tính liên tục khả vi hàm số: x3 x y nÕu ( x; y ) ≠ (0; 0)  f ( x, y ) =  x + y 0 nÕu ( x; y ) = (0;0) 2) Cho chuỗi hàm: ( x + 2) ∞ n =1 n n (1) a) Tìm miền hội tụ, hội tụ chuổi (1) b) TÝnh tỉng cđa chi (1) miỊn héi tơ Câu Giả sử l1 =  x = {x n } : x n ∈ C ; n ∈ N , ∑ x n < ∞  n =1   a) Chøng minh r»ng c«ng thøc ∞ x = ∑ xn víi x = {x n } l1 xác định chuÈn trªn n =1 l1 ∞ xn , ∀x = { xn } l1 ánh xạ tuyến tÝnh n n =1 b) Chøng minh r»ng ¸nh x¹ f: l1 → R víi f ( x ) = liên tục Tính f Câu Gỉa sử X không gian metric, K tập compact X, a b hai điểm thuéc X\ K Chøng minh r»ng tån t¹i hai tËp më U, V X cho U ∩ V = φ, K ⊆ U, {a, b} ⊂ V 13 Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa x· héi chđ nghÜa ViƯt Nam §éc lËp - Tù - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2005 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu a) Cho hàm số f : Ă Ă xác định xy 2  x + y nÕu x + y ≠ f ( x, y ) =  0 nÕu x + y = Chứng minh hàm f(x, y) liên tục theo biến x cố định y liên tục theo biến y cố định biến x không liên tơc theo hai biÕn (x, y) b) Gi¶ sư G ⊂ ¡ vµ f : G → ¡ Chứng minh hàm f(x, y)liên tục theo biến x với y cố định có đạo hàm riêng theo biến y bị chặn miền G, f(x, y) liên tục G Câu a) Khảo sát hội tụ chuỗi số: n+ n =1 n dx x +1 b) Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi hàm: ∞ ∑ (2 n + 3n )x n n =0 Câu a) Chứng minh tập hợp số thực Ă với hàm d: Ă ì Ă → ¡ cho bëi y) = x − y + x − y , víi mäi x, y Ă không gian metric đầy đủ d(x, b) Chứng minh ánh xạ đồng Id : ( ¡ , ) → ( ¡ , d) từ kh«ng gian số thực với metric khoảng cách thông thường vào không gian metric ( Ă , d) ánh xạ liên tục không liên tục Câu a) Chứng minh không gian số thực với tôpô thông thường không gian thỏa mÃn tiên đề đếm thứ hai b) Giả sử f: (0: 1] Ă hàm bị chặn, đo Lebesgue Kí hiƯu E = (0 ; 1] vµ En = 1 ( , ] víi n ≥ Chøng minh rằng: n +1 n a) Hàm f khả tích Lebesgue E En với n b) ∞ ∑ ∫ fd µ = ∫ fd µ n =1 E n E Câu a) Giả sử X Y hai không gian Banach, Y* không gian liên hợp Y A: X Y toán tử tuyến tính Chứng minh víi mäi d·y {xn} ⊂ X cho xn → vµ víi mäi f ∈ Y* ta cã f[A(xn)] n , f liên tục b) Chứng minh không gian định chuẩn 2  ∞    l2 =  x = { xn } : xn ∈ C ; n ∈ N , ∑ xn < ∞  víi chuÈn x =  ∑ xn  , x = {xn} l2, hình cầu n =1 n =1     ®ãng B'(0, r) = { x = { xn } : x ≤ r} víi r > không tập compact 14 Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà héi chđ nghÜa ViƯt Nam §éc lËp - Tù - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2005 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu Tìm tất ma trận vuông cấp hai A trường số thực Ă cho A2 = Câu Cho ánh xạ f : Ă Ă xác định : f(x, y) = (2x - y, x + y, x - 2y + 2a) a) Tìm a để f ánh xạ tuyến tính b) Tìm Ker(f) Im(f) trường hợp f ánh xạ tuyến tính Câu Chøng minh r»ng: a) Cã nhÊt mét ®ång cấu từ nhóm cộng số hữu tỷ Ô đến nhóm cộng số nguyên  b) Nhóm cộng số hữu tỷ Ô nhóm Cyclic c) Nhóm thương Ô /  không đẳng cấu với nhóm cộng số hữu tỷ Ô Câu Kí hiệu  [i] vành số phức dạng a + bi, với a, b số nguyên (với phép cộng nhân số phức) a) Chứng minh rằng, ánh xạ f xác định f(a + bi) = a - bi tự đẳng cấu vành  [i] b) Tìm tất tự đẳng cấu  [i] c) Mô tả vành thương  [i]/ A, A Ideal vành  [i], gồm số phức dạng a + bi, với a, b số nguyên chẳn Câu Cho X miền nguyên Chứng minh rằng, X mét tr­êng vµ chØ X chØ cã hai Ideal tầm thường {0} X 15 ... Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi bổ túc thi cao học năm 2005... Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000... Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000