Đề luyện tập số 2: Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số (Dưới hướng dẫn giải cho toán đáp số toán, lời giải chi tiết dành cho em, post lên diễn đàn để trao đổi phương pháp, dạng bài) Bài Giải phương trình chứa thức sau: 1, x − = − 3x + - Điều kiện: x ≥ - Với điều kiến ta biến đổi dạng: x − + 3x + = sau bình phương vế, đưa dạng f ( x) = g ( x) ta giải tiếp - Đáp số: x = 2, x + x + = ( x + 4) x + x + - Đặt t = x + x + > , pt cho trở thành: t = x t − ( x + 4) t + 4x = ⇔  t = Với t = x ⇔ x + x + = x : vô nghiệm Với t = ⇔ x + x − 15 = ⇔ x = −1 ± 61 - Vậy phương trình có nghiệm: x = −1 ± 61 3, 18 − x = − x − - Ta đặt u = 18 − x ≥ 0; v = x − ≥ ⇒ u + v = 17 , ta đưa hệ đối xứng loại I u, v giải hệ tìm u, v suy x - Đáp số: Hệ vô nghiệm ( ) 4, + x − = x + x + ( *) - Điều kiện: x ≥ - Ta có: ( *) ⇔ ( x − 3) = ( x − 3) x = ⇔ x−2 + x+6 3 x − + x + =  108 + 254    - Đáp số: x = 3;  25     5, x2 + 8x + + x2 −1 = x + - Điều kiện:  x = −1 2 x + x + ≥  ⇔ x ≥   x −1 ≥   x ≤ −3  - Dễ thấy x = -1 nghiệm phương trình - Xét với x ≥ , pt cho tương đương với: ( x + 3) + x − = x + Bình phương vế, chuyển dạng trường hợp nghiệm x = f ( x) = g ( x) ta dẫn tới nghiệm - Xét với x ≤ −3 , pt cho tương đương với: Bình phương vế, chuyển dạng 25 trường hợp là: x = − −2 ( x + 3) + − ( x − 1) = − ( x + 1) f ( x) = g ( x) ta dẫn tới nghiệm  25  - Đáp số: x = − ; ±1   7,  9 ĐS: x = 0;   8 x( x − 1) + x( x + 2) = x 6, x + − x −3 =1 - Sử dụng phương pháp hệ để giải toán, thử lại nghiệm tìm - Đáp số: x = { −5; 4}  −2 − 14      2 8, x + − x = + x − x → t = x + − x ⇒ t = − ;  ⇒ x = 0; 2;        9, x − 3x + + x − 3x + = - Đặt t = x − x + > ⇒ x − 3x + = t 3 ≥ t  2 - Phương trình thành: t + t + = ⇔ t + = − t ⇔  2 ⇔ t =1 t + = ( − t )  Suy x − x + = ⇔ x = { 1; 2} - Vậy tập nghiệm phương trình x = { 1; 2} 10, x + x + = x + x - Điều kiện: x ≥  u = v +  u = v + u = x + ≥ 2; v = x ≥ ⇒  ⇒ - Đặt u + 2v = 3uv ( u − v ) ( u − 2v ) =   Giải ta x = 11, (thỏa mãn) 3x − + x − = x − + x − x + - Điều kiện: x ≥ - Khi đó: 3x − + x − = x − + x − x + ⇔ 3x − + x − = ( 3x − + x − ) ⇔ 3x − + x − = Giải tiếp phương pháp tương đương, ta nghiệm x = 12, − x = 1− x −1 - Điều kiện: x ≥ u = − v - Đặt u = − x ; v = x − ≥ dẫn tới hệ:  u + v = Thế u vào phương trình được: v ( v − 1) ( v − 3) = - Đáp số: x = { 1; 2;10} 13, x + = 2 x − 14,  y3 + = x     −1 ±  → y = 2x −1 ⇒  ⇒ x = y ⇒ x = 1;    x +1 = y      ĐS: x = −1; ;11   x + 14 x + − x − x − = x + 15, 3x − + − x = - Giải hoàn toàn tương tự ý 1.12 - Đáp số: x = { −2} 16, x + − − x = 3x − - Điều kiện: ≤ x≤5 - Chuyển vế cho vế dương, bình phương vế ta dẫn tới phương trình Sau giải học  14  - Đáp số: x = 1;   3 17, x + − x = x − + − x + x − + - Điều kiện: ≤ x ≤ - Ta có: x + − x = x − + − x + x − + ⇔ x −1 ( ) ( x −1 − − x = x −1 − − x  x −1 = x = ⇔ ⇔ x =  x −1 = − x  - Đáp số: x = { 4;5} ) 18, x + x = - Đặt y + = x+3 ⇔ ( x + 1) − = x+3 2 ( x + 1) = y +  x+3 ⇒ 2 2 ( y + 1) = x +   −3 ± 17 −5 ± 13    ; - Đáp số: x =   4     19, −4 x + 13 x − = x + ⇔ − ( x − ) + x + = x + ( y − 3) = x +  - Đặt y − = x + ⇒  − ( x − 3) + x + = y −  15 − 97 11 + 73    ; - Đáp số: x =   8     20, 5 − x2 + − x2 + − x2 − − x2 = x + 4 - Điều kiện: x ≤ - PT cho ⇔ − x + 1 + − x2 − = x + 2 3  - Đáp số: x =  ; −1 5  Bài Giải bất phương trình vơ tỷ sau: 13   ĐS: x ∈ ∪  −∞; −  ∪ [ 3; ∞ ) 6  1, ( x − 3) x − ≤ x − 2, 3, ĐS: x ∈ [ 4;5] ∪ [ 6;7 ] x + ≥ 2x − + − x − − 4x2 4x x − x 1+ 1− 4x  1 ĐS: x ∈  − ;  \ { 0}  2 4, x + x < 2x + 1 − → t = 2x + ≥2 2x 2x  8−3    8+3  ;∞÷ ĐS: x ∈  0; ÷∪  ;1÷∪   ÷ ÷ 4       5, x +1 > − x + ĐS: x ∈ ( 0; ∞ ) 6, x + 10 x + ≥ − x − x → t = x + x ĐS: x ∈ ( 1; ∞ ) ∪ ( −∞; −3) \ −1 ± 2 } 1  1  ĐS: x ∈  ; ∞ ÷∪   2  4 7, x − x + − x + ≤ 8, { x − + 3x − < x − + x − - Điều kiện: x > - ( *) ⇔ x − − x − < x − − x − ⇔ ( x − 1) 1− x < 3x − + x − 5x − + 2x −1 Nếu x ≤ ⇒ VT ≥ ≥ VP : BPT vô nghiệm Nếu x > ⇒ VT < < VP : BPT - Đáp số: x ∈ ( 1; ∞ ) Bài Giải hệ phương trình sau:  2 x + y = x  1,  2 y + =  x y  - hệ đối xứng loại II - Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ - Trừ vế theo vế ta được: 1 1 x = y ( x − y ) =  − ÷⇔  x y  xy = −2 Với x = y , hệ tương đương với x = ⇔ x = ±1 x Với xy = −2 ⇒ y = 2x − −2 , vào pt đầu được: x x = → y = − x 3x = ⇔ = ⇔ x x x = − → y =  { - Vậy hệ có nghiệm: ( x; y ) = ( 1;1) , ( −1; −1) , ( )( 2; − , − 2, )} ( x + y ) ( x + x ) = 12  x(3 x + y )( x + 1) = 12  ⇔ 2,  2 x + y + 4x − = ( x + y ) + ( x + x ) =  uv = 12 u = u = ⇔ ∨ Đặt u = x + y; v = x + x suy ra:  u + v = v = v = Giải trường hợp ta dẫn tới đáp số:  3  11   ÷, ( 2; −2 ) ,  −3, ÷   2  ( x; y ) = ( −2;6 ) , 1;    x2 + y2 =  3,  2  x − x y + y = 13  - Đây hệ đối xứng loại I x y - Đáp số: ( x; y ) = { ( 2; ±1) , ( −2; ±1) , ( 1; ±2 ) , ( −1, ±2 ) } 3 x − xy = 16  4,  2  x − 3xy − y =  - Đây hệ đẳng cấp bậc - Nhận xét x = không thỏa mãn hệ, ta xét x ≠ , đặt y = tx  x ( − 2t ) = 16  Hệ trở thành:  2  x ( − 3t − 2t ) =  - Giải hệ tìm t, x - Đáp số: ( x; y ) = { ( 2; −1) , ( −2,1) }  x+5 + y −2 =  5,   y +5 + x−2 =  ⇒ x+5 + y −2 = y +5 + x−2 ⇔ x = y ⇒ ĐS: ( x; y ) = ( 11;11)    x ( x + y + 1) − = x + y = x + y = ( x + y ) − x = −1     ⇔ ⇔ 1 ∨ 6,  ( x + y ) − + = ( x + y ) − = −1  x =1 1 =  x  x  x      ⇒ ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ;  2; − ÷    ( x + ) ( y + 3) =  xy + x + y = −6  ⇔ 7,  2  x + y + x + 12 y =  x + y + x + 12 y =   1  3  3   ⇒ ĐS: ( x; y ) =  −2; ÷;  −2; − ÷;  2; − ÷;  −6; − ÷ 2  2  2     x − xy + y = 3( x − y )  x − xy + y = 3( x − y )  x − xy + y = 3( x − y )   ⇔ ⇔ 8,  y 2  x − xy + y =  x + xy + y = 7( x − y )  x = y ∨ x =  ⇒ ĐS: ( x; y ) = { ( 0;0 ) ; ( 1; ) ; ( −1; −2 ) }  1    ( x − y )  + ÷ = x − y = y − x ⇔ 9,   xy  2 y = x3 +   2 y = x +   − ± −1 ±     ⇒ ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ;   ; ÷ ÷      ( x + y ) + x + y − xy =  x2 + y2 + x + y =  x + y = ∨ x + y = −1  ⇔ ⇔ 10,   xy = −2  xy = −2  x( x + y + 1) + y ( y + 1) =  ⇒ ĐS: ( x; y ) = {( )( ) 2; − , − 2, , ( −2,1) , ( 1, −2 ) }  2x + y +1 − x + y =  11,  3 x + y =  u = x + y + ≥  - Đặt  v = x + y ≥  u − v = u = ⇒ 2 ⇒ ∨ u + v = v = u = −1   v = −2 - Đáp số: ( x; y ) = ( 2; −1)  x2 +  x2 +  y + ( y + x) = ( x + 1) + y ( y + x ) = y =1    ⇔ ⇔ y 12,  ( x + 1) ( y + x − ) = y  x + ( y + x − 2) =  y + x =    y  ⇒ ĐS: ( x; y ) = { ( 1; ) ; ( −2;5) }  1 x x  x+ + =7  x + ÷+ =  y y  xy + x + = y y y   ⇔ ⇔ 13,  2 2 1 x  x y + xy + = 13 y  x + + x = 13    x + y ÷ − y = 13 y2 y    ⇒ ĐS: ( x; y ) = { ( 1; ) ; ( −2;5) } xy  = x2 + y x + x − 2x +  14,  xy y + = y2 + x  y − 2y +  ⇒ ĐS: ( x; y ) = { ( 0;0 ) ; ( 1;1) }  y ( 36 x + 25 ) = 60 x  y = f ( x)    2 15,  z ( 36 y + 25 ) = 60 y ⇔  z = f ( y )   2 x = f ( z )  x ( 36 z + 25 ) = 60 z  với f ( t ) = 60t 36t + 25 ⇒ x, y , z ≥ nên xét hàm f ( t ) miền [ 0;∞ ) , hàm đồng biến ⇒ x = y = z ⇒ ĐS:  5  ; ; ÷  6  ( x; y; z ) = ( 0;0;0 ) ;     ( x2 − 8)  x ( x2 − 8) = y ( y + )  x3 − x = y3 + y y =   ⇔ ⇔ x 16,  2 2  x − = ( y + 1)  x = 3( y + 2)  x2 = y +   ( )  ⇒ ĐS:   78 78   78 78    ;− ÷;  − ÷  13 ; 13 ÷ ÷ 13    13   ( x; y ) = ( ±3; ±1) ;      Bài Giải phương pháp hàm số, đánh giá: → x = nghiệm 1, x = 10 − x ⇔ x + x = 10 ( 2, + ) + ( − ) = ( 3) x x 3x x x  5+   5−2  ⇔  3 ÷ + 3 ÷ =1 ÷  ÷     x  5+  5+2 5−2 >1> > nên hàm  - Do  3 ÷ đồng biến R, cịn hàm ÷ 3 3   x  5−    3 ÷ nghịch biến R ÷   x 5+2  Nếu x ≥ ⇒   3 ÷ ≥ ⇒ PT vơ nghiệm ÷   x 5−2  Nếu x < ⇒   3 ÷ > ⇒ PT vơ nghiệm ÷   - Vậy PT cho vô nghiệm 3, 3x + 13 = x − + 3x + - Nếu x ≤ ( *) ⇒ x − ≤ ⇒ PT vô nghiệm 10 - Nếu x > , ta có: ( *) ⇔ f ( x ) = x + 13 − x + − x + =   1 − Vì f ′ ( x ) = 3x  nên hàm f(x) đồng biến ÷− < 0, ∀x > 2 3x +   x + 13 3  khoảng  ; ∞ ÷ , mà f ( 1) = x = nghiệm 4  - Đáp số: x = 4, x − + 17 − x = - Điều kiện: ≤ x ≤ 17  1 − - Xét hàm f ( x ) = x − + 17 − x có: f ′ ( x ) =  ( x − 1)  4 ( 17 − x )  ÷= ⇔ x = ÷  Lập bảng biến thiên, nhận xét f ( 1) = f ( 17 ) = suy PT có nghiệm x = { 1;17} - Đáp số: x = { 1;17} 5, lg ( x − x − ) + x = lg ( x + ) + - Điều kiện: x > - PT cho ⇔ lg ( x − 3) + x − = → x = nghiệm x x x x x 6, + ( x − ) + x − = ⇔ ( + 1) ( + x − ) = ⇔ + x − = ⇔ x = ( ) 7, log + x = log x - Điều kiện: x > t t = log x   x = ⇔ - Đặt  nên: t 1 + x = t = log + x ≥   ( ) t t 1  3 = −1 ⇔  ÷ +  ÷ =1 → t = ⇒ x = 2  ÷   ( ) t t 11 - Đáp số: x = 8, x + x = x + Sử dụng hàm số, tính đạo hàm cấp lập bbt ĐS: x = { 0;1} Bài Giải phương trình mũ sau: ( 1, + 2, 3, ) ( + 2− x x x 4.3 − 9.2 = 5.6 x x+2 4, x 2x 5, 4− x = 4.3 + x −1 ⇔ − 10.3x ) 2x →t = 2+ ) ĐS: x = ±3 x  3 Chia vế cho x → t =  ÷  2 3x −2 x+2 + x −2 ( = 14 2x = 34− x ⇔ x = x−4 = ( − x ) log ⇔  x+2  x = −2 − log → t = 3x +1= ĐS: x = ĐS: x = { −2; −1;0;1} + x−2 x = − x + 3x + 9.2 x = ⇔ 3x − x 3x − = ⇔  x = ( ) ( 6, + 21 7, 2x − 2.81 x ) x x2 −2 x 9, x log9 x − 3x = ( + − 21 − 7.36 8, ( − x + 5.16 − ) x x )( ĐS: x = = x+3 ĐS: x = − log =0 2 x = ⇔ 2( x −1) 3x −1 = ⇔ log  2( x−1) 3x −1  = ⇔       x = − log = 33( log9 x−1) ⇔ ( log x − ) log x = 3 ( log x − 1)  ⇔ x = { 3;729}  2 x 10, x + 27 x = x.3 x +1 ( )( 1, log x + log x ) { } + x3 ⇔ 3x − x − x = ⇔ x = 0;2; ± Bài Giải phương trình logarit sau: ) =1 x 12 x >  - Điều kiện:  x ≠  - Đặt t = log x , ta biến đổi PT dạng: 1 9 t2 + 1− t = ⇔ t = { 1; −2;0} t +1   - Đáp số: x =  ;1;3 2, log 5 + log 25 x = x x > x ≠ - Điều kiện:  - Đặt t = log x , ta biến đổi PT dạng: + ( t + ) = ⇔ t = { 0;2} 1− t - Đáp số: x = { 1;25} ( ) 3, log x3 + x x − = log x −3 4, ( − log x ) log x − 5, log x2 +5 x + log x +10 ( (  0 < x + x ≠    0 < x − ≠   x − =  x2 − ⇔  ⇔ x = { 2;3}  x2 − >    0 < x − ≠    x3 + x = x −   ) 1  = → t = log x ⇒ t = { −1;4} ⇒ x =  ;81 − log3 x 3  0 < x + x + ≠  x3 + x − = ⇔ 0 < x + 10 ≠ ⇔ x=3   x + x − = x + 10 ) 13 log x x − 14log16 x x3 + 40log x x = 6, x >  - Điều kiện:  1  x ≠  ; ;2   16   - Nhận xét x = nghiệm pt cho, xét x ≠ ta đặt t = log x 2 42 20 1 − + = ⇒ t = ; t = −2 ⇒ x = 4; x = − t 4t + 2t + 2   ;2;4    - Đáp số: x =  7, log x + 2log x = log 2x ( *) x >  - Điều kiện:  1  x ≠  ;1  2   - Đặt: t = log x , biến đổi pt: + = ⇔ 2t = t + ⇔ t = t t +1 t +1 - Đáp số: x = 8, log x + ( x − ) log x − x + = ⇔ ( log x − 1) ( log x + x − 3) = ⇔ x = 2 9, log x + − log ( − x ) − log8 ( x − 1) = ( *) 2 - Điều kiện: < x < - Ta có: ( *) ⇔ log ( x + 1) + log ( − x ) − log ( x − 1) = ⇔ ( x + 1) ( − x ) = ( x − 1) ⇔ x − x − = ⇔ x = 14 ± 17 - Đáp số: x = + 17 ) ( ) ( x − + 3log x + x − = 10, log x − ) ) ( ( u = log x − x − 2 u + v = u = −1  ⇒ ⇔ - Đặt  u + 3v = v = v = log x + x −  - Đáp số: x = x 11, log (3 − 1)log (3 x +1 28   − 3) = → t = log (3x − 1) ⇒ x = log ;log 10  27   Bài Giải bất phương trình mũ: x− x2 1, x −2 x −    ÷  3 2 x +1 2, x 3, + −2 x +1 ≤ → t = 3x −2 x >0 2x Đ/S: − ≤ x ≤ + x 3 3 − 5.6 ≤ ⇔ 3. ÷ − 5. ÷ − ≤ 2 2 2x 2x − x > → t = 2x − > 4, 23 x +1 − 7.22 x + 7.2 x − = → t = x > ( Đ/S: ( x ≤ log Đ/S: x ∈ 0;log − 2 ) ) ∪ ( 1; ∞ ) Đ/S: x = { −1;0;1}   x > −1  (I )   x2 −4 x−2 2 2 x −4 x−2 x − x −1 − 16.22 x− x −1 − ≤  2 − 16.2 −2  ≤0 ⇔  5, x +1    x < −1 ( II )   x2 −4 x−2 − 16.22 x− x −1 − ≥   ( Giải hệ bất phương trình (I), (II) ta có đáp số: x ∈ ( −∞; −1) ∪ − 3;1 − 15 ) 6, Điều kiện: x ≥ Ta có: x + x −1−1 ( ⇔ x −1 + ≤ 2x + )( − 2x −1 x −1 ⇔ 2x −1 (2 x −1 ) ( −2 − x −1 ) −2 ≤0 ) −1 ≤ ⇔ ≤ x ≤ Đáp số: ≤ x ≤ Bài Giải bất phương trình logarit: x + > 0 < x + <   ∨ 2 −2 x > ( x + 1) 0 < −2 x < ( x + 1)   1, log x +1 ( −2 x ) > ⇔  ⇔ −2 + < x < 2, (log x + log x )log 2 x ≥ - Điều kiện: < x ≠ - Ta có: (log x + log x ) log 2 x ≥ ⇔ ( 3log x + log x ) ( + log x ) ≥ x >1 log x ≥ ⇔ ⇔ 1 log x ≤ −1  ≤ x <  2 1  - Đáp số: x ∈  ; +∞ ÷\ { 1} 2  x − > 0 < x − < 2x2 +   ∨ x < 16 ( ) - Ta có: PT ⇔ − log 2 x − x + + ⇔ log - Đáp số: ( x − 1) 2 x − 3x + ≥1⇔ 1 log ( x − 1) ≥ 2 x −1 1 ≥2⇔ ≤ x< 2x −1 1 ≤x< ( ) ( ) 5, Ta có: log log x − < ⇔ < log x − < ⇔ 23 46 < x2 − < ⇔ < x2 < ⇔ < x ⇔ x > ≥0 - Khi BPT ⇔ log ( x − 1) + log ( x − 1) − ≥ ⇔ log3 x − + log ( x − 1) ≥ ⇔ x − ( x − 1) ≥ ,(*) + Xét với x ≥ , ( *) ⇔ x − x − ≥ ⇔ x ≥ 2 + Xét với < x < , ( *) ⇔ x − 3x + ≤ : Vô nghiệm - Đáp số: x ≥ Bài Giải hệ phương trình mũ, logarit:  ln(1 + x) − ln(1 + y ) = x − y ln(1 + x) − x = ln(1 + y ) − y ⇔ 1,  2 ( x − y ) ( x − 10 y ) =  x − 12 xy + 20 y =  17 x = y ⇔ ⇔ x= y=0  x = y ∨ x = 10 y  x + y = 10  x + y = 10   2, log x + log y + = ⇔  x > 0, y > ⇔ ( x; y ) = { ( 3;1) ; ( 1;3) }     xy = x y  3x.2 y = 972  log ( ) = log 2 ⇔ 3,  log ( x − y ) = x − y =    y + x log = + 5log  x = ⇔ ⇔ y = x − y =  22 x + y =  4,  x y x+ y =1 2 + +  u + v = - Đặt u = > 0; v = > hệ trở thành:  - hệ đối xứng loại u, u + v + uv = v x y - Giải hệ dẫn tới vô nghiệm Vậy hệ vô nghiệm  x + x − x + = y −1 +  5,  x −1  y + y − y + = +1  - Từ hệ suy ra: x − + x − x + + 3x −1 = y − + y − y + + y −1 ⇔ f ( x − 1) = f ( y − 1) Trong f ( t ) = t + t + + 3t đồng biến R nên suy x − = y − ⇔ x = y - Thế vào phương trình đầu ta được: x − + x − x + = 3x −1 , phương trình có nghiệm x = (sd pp hàm số) - Vậy ( x; y ) = ( 1;1) 6, Điều kiện: x + y > 0; x − y > 18 13  2 lg ( x + y ) − = lg13  x + y = 10 ⇔ Ta có:  lg ( x + y ) = lg ( x − y ) + 3lg  x + y = 8( x − y )     13 2  x + y =  x = 10 ( x + y ) + ( x − y ) =   ⇔ ⇔ ⇔ x + y = 8( x − y) x − y = y =    10   27 ( x + y ) y − x =  27 ( x + y ) y − x =   ⇔ x− y  3log ( x + y ) = x − y ( x + y ) =   7, x− y  x− y    y−x  x − y = x = 27.5 =  27 ÷ = 27 ⇔ ⇔   ⇔ ⇔ x− y x− y x + y =  y = ( x + y ) =   ( x + y ) =   x +1 = y − y + +  8,  x +2 − x +1 +  y +1 =  - Đặt u = y + ≥ 0; v = x +1 v = u − u ( 1)  ≥ , hệ trở thành:  u = v − v + ( )  Thế (1) vào (2) được: u − 2u + = ⇔ ( u − 1) ( u + 1) = ⇔ u = Suy v = (không thỏa mãn) - Vậy hệ vơ nghiệm Bài 10 Tìm tham số m để phương trình: 1, x + − x = m có nghiệm - Điều kiện x ≥ - Đặt t = x ≥ , pt cho thành: f ( t ) = t + − t = m PT cho có nghiệm ⇔ f ( t ) = m có nghiệm t ≥ 19 ⇔ < m ≤1 2, x − 13 x + m + x − = có nghiệm - Ta có: x − 13 x + m + x − = ⇔ x − 13x + m = − x x ≤   x ≤ ⇔ 4 ⇔   x − x − x = − m, ( 1)  x − 13 x + m = ( − x )   - PT cho có nghiệm ⇔ ( 1) có nghiệm thảo mãn x ≤ ⇔ đồ thị hàm số y = x − x − x với x ∈ ( −∞;1] giao với đường thẳng y = − m điểm - Xét hàm y = x − x − x với x ∈ ( −∞;1] , lập bảng biến thiên từ ta dẫn tới đáp số toán là: − m < −11 ⇔ m > 10 3, log ( x + 4mx ) + log ( x − 2m + 1) = có nghiệm 2 - Ta có: log ( x + 4mx ) + log ( x − 2m + 1) = ⇔ log ( x + 4mx ) = log ( x − 2m + 1)   x − 2m + > x > m − ⇔ ⇔  x + 4mx = x − 2m +  f ( x ) = x + ( 2m − 1) x + 2m − =  - PT cho có nghiệm ⇔ f ( x ) có nghiệm x > m −   ∆′ =   1 − 2m > m − m ≤   ⇔ ⇔ m > ′  ∆ >     1 − 2m + ∆′ > m −  Bài 11 Tìm tham số m để bất phương trình: 1, log m +1 ( x + 3) > với x ∈ R m+2 20 - Ta có: 2, m.2 x − x − ≤ m + có nghiệm - Đặt t = x − ≥ ⇒ x = t + , hệ trở thành: m ( t + 3) − t ≤ m + ⇔ m ≤ t +1 = f ( t ) ( *) t2 + ax - BPT cho có nghiệm ⇔ ( *) có nghiệm t ≥ ⇔ m ≤ m≥0 f ( t ) ⇔ m ≤ t 3, m ( 3−2 ) x − x + + + x (2 − x ) ≤ có nghiệm x ∈  0;1 +    - Đặt t = x − x + , với x ∈  0;1 +  ⇒ t ∈ [ 1; 2] Hệ trở thành:   m ( t + 1) + − t ≤ ⇔ m ≤ t2 − = f ( t ) , ( *) t +1 - BPT cho có nghiệm x ∈  0;1 +  ⇔ ( *) có nghiệm t ∈ [ 1; 2]   ⇔ m ≤ max f ( t ) ⇔ m ≤ [ 1;2] Bài 12 Tìm tham số m để hệ phương trình: 2 x − y − m =  1,  có nghiệm  x + xy =   2 x − y − m =   y = 2x − m ⇔ - Ta có:   x + xy =  x ( 2x − m) = 1− x    y = 2x − m  y = 2x − m    ⇔ x ≤ ⇔ x ≤   f x = x2 − m − x −1 = ( ) x ( 2x − m) = ( 1− x)  ( )  - Hệ cho có nghiệm ⇔ f(x) có nghiệm nhỏ 1, (*) 21 Vì ∆ = ( m − ) + > 0, ∀m nên f(x) ln có nghiệm phân biệt; (*) xảy af ( 1) = − m ≤ ⇔ m ≥ - Đáp số m ≥ 7 x + x +1 − 2+ x +1 + 2010 x ≤ 2010  2,  có nghiệm  x − (m + 2) x + 2m + ≥  - Điều kiện: x ≥ −1 72 x + x +1 − 2+ ⇔ 72 x + - Ta có: x +1 + 1005 x + x + ≤ 2+ ( x +1 + 2010 x ≤ 2010 ( ) ) ( ⇔ f 2x + x + ≤ f + x + ) x +1 ( + 1005 + x + ) (*) t Trong f ( t ) = + 1005t , dễ thấy f ( t ) hàm đồng biến R Do ( *) ⇔ x + x +1 ≤ + x +1 ⇔ x ≤ - Hệ cho có nghiệm ⇔ x − ( m + 2) x + 2m + ≥ có nghiệm x ∈ [ −1;1] x2 − x + ⇔m≥ := g ( x) có nghiệm x ∈ [ −1;1] x−2 ⇔ m ≥ g ( x ) ⇔ m ≥ −2 x∈[ −1;1] ( x + 1) m + ( n + 1) y =  3,  có nghiệm với n ∈ R  m + nxy + x y =  - Đk cần: Giả sử hệ có nghiệm với n ∈ R hệ có nghiệm với n = ( x + 1) m =  x =  m =  ⇔ ∨ ⇒ m = { 0;1} Với n = hệ trở thành:  m =  x y = m + x y =  - ĐK đủ: 22 ( n + 1) y =  ⇒ vô nghiệm + TH1: Xét m = , hệ trở thành:   nxy + x y =   x + ( n + 1) y =  x = ±1  ⇔ ; ∀n + TH2: Xét m = , hệ trở thành:  y =  nxy + x y =  Vậy m = hệ có nghiệm với n ∈ R y  x e = 2007 − y2 −1  Bài 13 Chứng minh hệ  có nghiệm thỏa mãn điều x y e = 2007 −  x2 −1  kiện x > 0, y > x x Giải: Từ hệ suy : e − Với t f ( t ) = et − = ey − x −1 ⇒ f ′ ( t ) = et + t −1 y y −1 ⇔ f ( x) = f ( y ) (t − 1) > ∀t > suy hàm f ( t ) hàm đồng biến ( 1;∞ ) f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y x x Nên: e = 2007 − Ta có: ⇔ g ( x) = ex + x −1 g′ ( x) = ex − (x − 1) x − 2007 = x −1 ; g ′′ ( x ) = e x + 3x (x − 1) > 0, ∀x > ⇒ g ′ ( x ) đồng biến ( 1;∞ ) , mà lim g ′ ( x ) = −∞; xlim g ′ ( x ) = +∞ nên g ′ ( x ) = có →+∞ x →1+ lim nghiệm x0 ; mà x →1 g ( x ) = −∞; xlim g ( x ) = +∞ →+∞ + ⇒ g ( x ) = có nghiệm (đpcm) Bài 14 Xác định m để bpt: 92 x −x − ( m − a ) x −x với x thỏa mãn x ≥ Giải: Ta có: 92 x −x − ( m − 1) x −x + ( m + 1) x 23 −x ≥0 + ( m + 1) 42 x −x ≥ nghiệm x2 − x 9 ⇔ ÷ 4 x2 − x Đặt t =    ÷ 2 ⇒t ≥ x2 − x 3 − ( m − 1)  ÷ 2 + ( m + 1) ≥ x ≥ , bpt trở thành: t − ( m − 1) t + ( m + 1) ≥ ( *) Vậy bpt cho với x thỏa mãn x ≥ ⇔ ( *) với ∀t ≥ ⇔ f ( t) = t + 2t + ⇔ f ( t ) ≥ m ⇔ m ≤ 3 ≥ m, ∀t ≥ t≥ 2t − Bài 15 Xác định m để pt sau có nghiệm phân biệt: log x.log ( x − x + 3) − m log x − log ( x − x + 3) + 2m = Giải: Điều kiện: x > 2 Ta có: log x.log3 ( x − x + 3) − m log3 x − log3 ( x − x + 3) + 2m = x = ⇔ ( log x − ) log ( x − x + 3) − m = ⇔  m  f ( x) = x − x + − = (*) ( ) PT cho có nghiệm phân biệt ⇔ ( *) có nghiệm phân biệt dương khác ∆′ = 3m − >  c ⇔  = − 3m > ⇔ log < m < a  f ( ) = 51 − 3m ≠  Đáp số: log < m < Đính chính: Trong đề cũ có số đề khơng xác, phần hướng dẫn giải chỉnh sửa lại phù hợp Rất mong em thông cảm 24 HocmaiHocmai.vn 25 ... x + > ⇒ x − 3x + = t 3 ≥ t  2 - Phương trình thành: t + t + = ⇔ t + = − t ⇔  2 ⇔ t =1 t + = ( − t )  Suy x − x + = ⇔ x = { 1; 2} - Vậy tập nghiệm phương trình x = { 1; 2} 10, x + x + = x... tiếp phương pháp tương đương, ta nghiệm x = 12, − x = 1− x −1 - Điều kiện: x ≥ u = − v - Đặt u = − x ; v = x − ≥ dẫn tới hệ:  u + v = Thế u vào phương trình được: v ( v − 1) ( v − 3) = - Đáp số: ... toàn tương tự ý 1.12 - Đáp số: x = { −2} 16, x + − − x = 3x − - Điều kiện: ≤ x≤5 - Chuyển vế cho vế dương, bình phương vế ta dẫn tới phương trình Sau giải học  14  - Đáp số: x = 1;   3 17,