www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 _____________________________________________________ __________ Câu I. 1) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để các nghiệm x 1 ,x 2 của phỷơng trình x 2 +ax+1=0thỏa mãn: x x + x x 1 2 2 2 2 2 1 2 >7 . 2) Với giá trị nào của a và b, phỷơng trình x 3 + ax + b = 0 có 3 nghiệm khác nhau lập thành một cấp số cộng? Câu II. Cho phỷơng trình (1-a)tg 2 x- 2 cosx +1+3a=0. 1) Giải phỷơng trình khi a = 1 2 . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phỷơng trình có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng (0 ; 2 ). Câu III. Cho hàm số y= x 2 -3x + 5 2 4 2 . 1) Khảo sát sỷồ biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M có hoành độ x M =a.Chỷỏng minh rằng hoành độ các giao điểm của tiếp tuyến (d) với đồ thị là các nghiệm của phỷơng trình (x-a) 2 (x 2 +2ax+3a 2 -6)=0. 3) Tìm tất cả các giá trị của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thị tại 2 điểm P, Q khác nhau và khác M. Tìm tập hợp trung điểm K của đoạn thẳng PQ. _ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ______________________________________________________ Câu I. 1) 2 a40= |a| 2. (1) 22 12 21 xx 7 xx +> 44 12 2 12 xx 7 (x x ) + > 2 22 1 2 12 12 2 12 (x x ) 2x x 2(x x ) 7 (x x ) + > (theo định lí Viet) 22 (a 2) 2 7> |a| 5> (2) Kết hợp (1) và (2) đợc đáp số : |a| > 5 . 2) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi tồn tại các số : o xd , o x , o xd + (d 0) thỏa mãn 3 oo (x d) a(x d) b 0+ += , 3 oo xaxb0++= , 3 oo (x d) a(x d) b 0++ ++= . Giải ra đợc o x = 0, b = 0, a < 0 tùy ý. Khi đó 3 nghiệm là a , 0, a . Đáp số : b = 0, a < 0 tùy ý. Câu II. Phơng trình đã cho tơng đơng với : 2 (1 a)y 2y 4a 0+= (1) 1 y cosx = (2) 1) Khi 1 a 2 = : (1) có nghiệm kép y = 2. Thay vào (2) đợc 1 cosx 2 = . Do đó x2k 3 = + . 2) Vì 0 < x < 2 nên số nghiệm (x) của phơng trình đã cho trong khoảng 0 ; 2 bằng số nghiệm (y) của phơng trình (1) trong khoảng (1 ; +). Vậy phơng trình đã cho có quá một nghiệm trong khoảng 0 ; 2 khi và chỉ khi phơng trình (1) có 2 nghiệm 1 y , 2 y khác nhau trong khoảng (1 ; +) ; tức là a 1, > 0 và 12 1y y<< . So sánh số 1 với 2 nghiệm của phơng trình (1), ta đợc kết quả : 1 3 < a < 1, với 1 a 2 . Câu III. 1) Bạn đọc tự giải nhé! 2) Phơng trình của tiếp tuyến d tại M : 4 32 a5 y(xa)(2a 6a) 3a 22 = + + Do đó hoành độ các giao điểm của d và đồ thị là nghiệm của phơng trình : _ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ______________________________________________________ 4 42 3 2 15 a5 x3x (xa)(2a6a) 3a 22 22 += ++ Phơng trình này tơng đơng với : 22 2 (x a) (x 2ax 3a 6) 0 ++=. 3) Tiếp tuyến d cắt đồ thị tại 2 điểm P Q f(x) = 22 x2ax3a6 + + có 2 nghiệm khác nhau (và khác a) ' > 0 và f(a) 0 3a 3 << , a 1. Tọa độ điểm K : KPQ 42 K 1 x(xx)a 2 75 ya9a 22 =+= = + + Khử a ta đợc : 42 KKK 75 yx9x 22 = + + . Vì điều kiện : 3a 3<< , a 1 nên K 3x 3< < , K x1 . Vậy tập hợp các điểm K là phần của đồ thị 42 75 yx9x 22 = + + ứng với 3x 3<< , x 1 (xem Hình ) 0 Câu IVa. 1) Các giao điểm của (P) và (C) có tọa độ (x , y) là nghiệm của hệ phỷơng trình yx xyR 2 22 2 = + = () Suyra (x-2)+x=R 2 x 2 -3x+4-R 2 =0. (1) Để (C) tiếp xúc với (P), phỷơng trình (1) phải có nghiệm duy nhất, tức là =9-4(4-R 2 )=0 R= 7 2 . Khi đó (1) có nghiệm x= 3 2 ị y 2 =x = 3 2 ị y= 6 2 , nói cách khác các tiếp điểm T, T có tọa độ 3 2 , 6 2 (Hình). 2) Tiếp tuyến của (P) tại điểm (x o ,y o ) ẻ (P) có hệ số góc xác định bởi 2y o y o =1ị y o = 1 2y o . Vậy tại điểm T 3 2 , 6 2 ẻ (P), tiếp tuyến AT có hệ số góc k = y' = 1 2y = 1 2 . 2 6 = 1 6 o o , suy ra phỷơng trình của tiếp tuyến AT y= 1 6 x- 3 2 + 6 2 = x 6 + 6 4 . Tiếp tuyến AT đối xứng với AT qua Ox, vậy AT có phỷơng trình -y= x 6 + 6 4 y=- x 6 - 6 4 . 3) Theo hình 118, A là giao điểm của tiếp tuyến AT với Ox. Suy ra hoành độ của A là nghiệm của phỷơng trình www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ 0= x 6 + 6 4 x=- 3 2 . Diện tích S của tam giác cong ATOT (vì lí do đối xứng) bằng 2 lần diện tích S của tam giác cong AOT. Ta có theo kí hiệu trên hình : S = dt(AHT) - S 1 với S 1 là diện tích của tam giác cong OHT. Vởy dt(AHT) = 1 2 . AH. HT = 3 2 . 6 2 = 36 4 , S= xdx= 2 3 x= 3 2 = 6 2 1 0 3/ 2 3/ 2 0 3/ 2 , S' = 36 4 - 6 2 = 6 4 , S = 2S = 6 2 . Khi đó AK = AL. Từ các tam giác vuông SAK, SAL ta có: 1 AK = 1 AK' - 1 SA , 1 AL = 1 AL' - 1 SA 2222 22 . suy ra AK = AL ị KL AB. Ngỷỳồc lại, nếu KL AB ị AK=ALị SK = AL, SK = SL ị KL // KL ị KL (SAB) ị KL AB ị C là trung điểm của KL. với S 1 là diện tích của tam giác cong OHT. Vậy dt(AHT) = 1 2 . AH. HT = 3 2 . 6 2 = 36 4 , S= xdx= 2 3 x= 3 2 = 6 2 1 0 3/ 2 3/ 2 0 3/ 2 , S' = 36 4 - 6 2 = 6 4 ,S = 2S = 6 2 . Câu IVb.1)BK AK, BK SA ị BK (SAK) ị BK AK. Cùng với AK SB ị AK (SBK) ị AK KB. Vậy K nhìn AB d ới góc vuông. Tỷơng tự ta chứng minh L nhìn AB d ới góc vuông. Vậy AKBL đỷợc nội tiếp trong đỷờng tròn () đỷờng kính AB trong mặt phẳng Q . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Để ý rằng trong chứng minh trên, ta còn đ ợc AK SK, tỷơng tự AL SK. 2) KL là một dây cung của () cắt đỷờng kính AB tại C. C chỉ có thể là trung điểm của KL trong hai trỷỳõng hợp: Trỷỳõng hợp1:KL AB. Khi đó AK = AL. Từ các tam giác vuông SAK, SAL ta có: 1 AK = 1 AK' - 1 SA , 1 AL = 1 AL' - 1 SA 2222 22 . suy ra AK = AL ị KL AB. Ngỷỳồc lại, nếu KL AB ị AK=ALị SK = AL, SK = SL ị KL // KL ị KL (SAB) ị KL AB ị C là trung điểm của KL. Trỷỳõng hợp 2 : C là trung điểm của AB. Khi đó kẻ BM // SC cắt AB tại M (Hình 120). Ta có SB' SB = CM CB = x 2R - x . Nh ng SB' SB = SB'.SB SB = SA SB = h h+4R 2 2 2 2 22 suy ra x= Rh h+2R 2 22 . Ngỷỳồc lại nếu x nhận giá trị trên, suy ra CM=x=ACị AC = CB và C là trung điểm của AB. 3) Tứ giác AKBL có diện tích dt(AKBL) = 1 2 AB. KLsin, trong đó là góc tạo bởi KL với AB. Diện tích ấy lớn nhất khi KL = AB, = /2, tức là khi AKBL là một hình vuông ; điều đó xảy ra khi C là trung điểm của AB và KL AB. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 _______________________________________________________________ Câu IVa. Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P) (P):y 2 =x. Gọi (C) là đỷờng tròn tâm C(2, 0), bán kính R. 1) Xác định R để đỷờng tròn (C) tiếp xúc với parabol (P). Xác định tọa độ các tiếp điểm T và T. 2) Viết phỷơng trình các tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại T và T. 3) Tính diện tích của tam giác cong chắn bởi parabol (P) và hai tiếp tuyến nói trên. Câu IVb. Trong mặt phẳng (P), cho đỷờng tròn () đ ờng kính AB = 2R. Lấy C là một điểm trên đoạn AB, đặt AC=x(0< x < 2R) ; một đỷờng thẳng đi qua C cắt đỷờng tròn () tại K, L. Trên n ử a đỷờng thẳng vuông góc với (P) tại A, lấy điểm S với AS = h. Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SB, cắt SB, SC, SK, SL lần lỷỳồt tại B,C, K,L. 1) Chỷỏng minh AKBL là một tứ giác nội tiếp. 2) Đỷờng thẳng KL phải thỏa mãn điều kiện gì để C là trung điểm của đoạn KL ? 3) Tìm điều kiện đối với đỷờng thẳng KL để AKBL là một hình vuông. . (x-2)+x=R 2 x 2 -3x+4-R 2 =0. (1 ) Để (C) tiếp xúc với (P), phỷơng trình (1 ) phải có nghiệm duy nhất, tức là =9- 4(4 -R 2 )=0 R= 7 2 . Khi đó (1 ) có nghiệm x= 3 2 ị. 44 12 2 12 xx 7 (x x ) + > 2 22 1 2 12 12 2 12 (x x ) 2x x 2(x x ) 7 (x x ) + > (theo định lí Viet) 22 (a 2) 2 7> |a| 5> (2 ) Kết hợp (1 )