Thi thử Đại học 2009 Môn Toán Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1 THI THỬ ĐẠI HỌC 2009 MÔN TOÁN Đề thi số 2 Thời gian làm bài: 180 phút A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số 23 23  xxy a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Biện luận số nghiệm của phương trình 1 22 2   x m xx theo tham số m. Câu II (2 điểm) a) Giải phương trình   2 3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x   b) Giải phương trình 2 3 16 4 2 14 40 0 x x x log x log x log x .   Câu III ( 2 điểm) a) Tính tích phân 3 2 3 x sin x I dx. cos x      b) Cho hàm số 3 2 sin)( 2  x xexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng minh rằng 0)( xf có đúng hai nghiệm. Câu IV (2 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 3 2 12 1     zyx và mặt phẳng 012:)(  zyxP a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương trình của đường thẳng  đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong )(P . b) Viết phương trình mặt phẳng )(Q chứa d sao cho khoảng cách từ điểm )0,0,1(I tới )(Q bằng 3 2 . B. PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH Câu Va (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản a) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có   0 5A ; . Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là 1 2 1 0 2 0d : x y ,d : x y .     Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển   60 3 2 3 . Thi thử Đại học 2009 Môn Toán Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2 Câu Vb (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao a) Giải phương trình 12 9. 4 1 4.69. 3 1 4.3   xxxx . b) Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng )(P vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng )(P và hình chóp. ĐÁP ÁN Câu I 2 điểm Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 3 2y x x .    Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R.  Sự biến thiên: 2 3 6y' x x.  Ta có 0 0 2 x y' x        0,25      0 2 2 2 CD CT y y ; y y .     0,25  Bảng biến thiên: x  0 2  y'  0  0  y 2   2 0,25 a)  Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25 Biện luận số nghiệm của phương trình 1 22 2   x m xx theo tham số m.  Ta có   2 2 2 2 2 2 1 1 1 m x x x x x m,x . x           Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của     2 2 2 1y x x x , C'    và đường thẳng 1y m,x .  0,25  Vì       2 1 2 2 1 1 f x khi x y x x x f x khi x              nên   C' bao gồm: + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng 1x . + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng 1x  qua Ox. 0,25  Học sinh tự vẽ hình 0,25 b)  Dựa vào đồ thị ta có: 0,25 Thi thử Đại học 2009 Môn Toán Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3 + 2m :  Phương trình vô nghiệm; + 2m :  Phương trình có 2 nghiệm kép; + 2 0m :   Phương trình có 4 nghiệm phân biệt; + 0m : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 0,25 Câu II 2 điểm Giải phương trình   2 3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x    Biến đổi phương trình về dạng     2 3 2 1 2 1 0sin x sin x sin x    0,75 a)  Do đó nghiệm của phương trình là 7 2 5 2 2 2 6 6 18 3 18 3 k k x k ;x k ;x ;x                  0,25 Giải phương trình 2 3 16 4 2 14 40 0 x x x log x log x log x .    Điều kiện: 1 1 0 2 4 16 x ;x ;x ;x .     Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho 0,25  Với 1x  . Đặt 2 x t log và biến đổi phương trình về dạng 2 42 20 0 1 4 1 2 1t t t       0,5 b)  Giải ra ta được 1 1 2 4 2 2 t ;t x ;x .      Vậy pt có 3 nghiệm x =1; 1 4 2 x ;x .  0,25 Câu III Tính tích phân 3 2 3 x sin x I dx. cos x       Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có 3 3 3 3 3 3 1 4 3 x dx I xd J , cosx cosx cosx                        với 3 3 dx J cosx      0,25 a)  Để tính J ta đặt t sin x. Khi đó 3 3 3 2 2 2 3 3 2 3 2 1 1 2 3 1 2 1 2 3 dx dt t J ln ln . cosx t t                   0,5 Thi thử Đại học 2009 Môn Toán Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4  Vậy 4 2 3 3 2 3 I ln .      0,25 Cho hàm số 3 2 sin)( 2  x xexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng minh rằng 0)( xf có đúng hai nghiệm.  Ta có x f ( x ) e x cos x.     Do đó   0 x f ' x e x cos x.     0,25  Hàm số x y e là hàm đồng biến; hàm số y x cosx   là hàm nghịch biến vì 1 0y' sin x , x     . Mặt khác 0x là nghiệm của phương trình x e x cos x   nên nó là nghiệm duy nhất. 0,25 b)  Lập bảng biến thiên của hàm số   y f x (học sinh tự làm) ta đi đến kết luận phương trình 0)( xf có đúng hai nghiệm.  Từ bảng biến thiên ta có   2 0min f x x .    0,5 Câu IV Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương trình của đường thẳng  đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong )(P .  Tìm giao điểm của d và (P) ta được 1 7 2 2 2 A ; ;        0,25  Ta có       2 1 3 2 1 1 1 2 0 d P d p u ; ; ,n ; ; u u ;n ; ;                  0,5 a)  Vậy phương trình đường thẳng  là 1 7 2 2 2 2 : x t; y t;z .       0,25 Viết )(Q chứa d sao cho khoảng cách từ điểm )0,0,1(I tới )(Q bằng 3 2 .  Chuyển d về dạng tổng quát 2 1 0 3 2 0 x y d : y z          0,25  Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng     2 2 2 1 3 2 0 0m x y n y z ,m n          2 3 2 0mx m n y nz m n       0,25 b)          1 2 2 1 0 7 5 3 0 3 d I; Q Q : x y z , Q : x y z .          0,5 Câu VIa a) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có   0 5A ; . Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là 1 2 1 0 2 0d : x y ,d : x y .     Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. Thi thử Đại học 2009 Môn Toán Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 5  Ta có   1 2 2 1 3 5 0B d d B ; AB : x y .         0,25  Gọi A' đối xứng với A qua     1 2 3 4 1d H ; ,A' ; . 0,25  Ta có 3 1 0A' BC BC : x y .     0,25  Tìm được   28 9 7 35 0C ; AC : x y .    0,25 Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển   60 3 2 3 .  Ta có   60 60 60 3 3 2 60 0 2 3 2 3 k k k k C .      0,5 b)  Để là số hữu tỷ thì   60 2 2 6 3 k k k . k             Mặt khác 0 60k  nên có 11 số như vậy. 0,5 Câu Vb Giải phương trình 12 9. 4 1 4.69. 3 1 4.3   xxxx  Biến đổi phương trình đã cho về dạng 2 2 2 2 9 3 2 27 3 6 2 3 4 x x x x . . . .   0,5 a)  Từ đó ta thu được 3 2 3 2 2 2 39 39 x x log          0,5 Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng )(P vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng )(P và hình chóp.  Học sinh tự vẽ hình 0,25  Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC. Gọi I AC' SO.  0,25 b)  Kẻ B' D' // BD. Ta có 2 1 1 2 3 3 2 2 3 2 6 AD' C' B' a a S B' D' .AC' . BD. .   0,5 Nguồn: Hocmai.vn . Thi thử Đại học 20 09 Môn Toán Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1 THI THỬ ĐẠI HỌC 20 09 MÔN TOÁN Đề thi số 2 Thời gian làm. Ox. 0 ,25  Học sinh tự vẽ hình 0 ,25 b)  Dựa vào đồ thị ta có: 0 ,25 Thi thử Đại học 20 09 Môn Toán Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3 + 2m