Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 1/8 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN Lý thuyết: Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng · ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x = Û = · ( ) ( ) log f x a a c f x c = Û = , với 0, 1, 0 a a c > ¹ > Một số Phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản: 1. Phương pháp Đưa (biến đổi) về cùng một cơ số Dạng 1.1: Biến đổi về dạng ( ) ( ) f x g x a a = Lưu ý các công thức . x y x y a a a + = ; ( ) ( ) y x x y xy a a a = = ; x x y y a a a - = ; 1 x x a a - = . · Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) 2 7 12 2 1 x x- + = b) 3 1 1 5 . 5 125 x x x - æ ö æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø è ø c) 1 2 2 .5 0,2.10 x x x - - = d) ( ) 2 2 4 6 6 1 5 1 2 .3 6 6 x x x- - - = e) 1 9 8 lg9 . 4 27 lg27 x x - æ ö æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø è ø f) 1 1 5 10 .2 .5 x x x x - - + = g) 2 1 2 5 5 5 x x - + = h) 5 17 7 3 32 0,25.128 x x x x + + - - = i) ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 4 2 5 . 0,2 125. 0,04 x x x x x x - - + - + = j) 1 2 4 .5 5.20 x x x + - = k) ( ) 1 3 2 4 . 0,125 4 2 x x x = l) 3 2cos2 1 cos2 1/2 4 7.4 4 0 x x+ + - - = Dạng 1.2: Biến đổi về dạng ( ) f x a c = · Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a) 4 1 2x 3 2 5.4 2 16 3 x x + + - + - = b) ( ) 2 1 1 2 3.2 7 x x + - - = c) 3 3 1 1 2 .3 2 .3 192 x x x x+ - - = d) 2 2 3 1 3 3 9 27 675 x x x- - - + = Dạng 1.3: Biến đổi về dạng ( ) ( ) . . f x f x m a nb = . (m, n là các số thực) Sau đó đưa về dạng ( ) ( ) ( ) f x f x f x a n a n m b m b æ ö = Û = ç ÷ è ø (Có Dạng 1.2). Nhận dạng: Loại này có 2 cơ số khác nhau. Hãy chuyển các số hạng chứa lũy thừa với cơ số bằng nhau về cùng một vế, sau đó biến đổi cho số mũ của các lũy thừa đó bằng nhau và làm tiếp như trên. · Bài tập 3: Giải các phương trình sau: a) 4 3 2 3 5 3 5 x x x x + + + - = - b) 1 2 4 3 7.3 5 3 5 x x x x + + + + - = - Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 2/8 c) 2lg 4 1 lg4 lg4 1 lg4 2 7 7 3.4 x x x x - - - = - d) 2 1 1 1 1 3.4 .9 6.4 .9 3 4 x x x x + + + + = - e) 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 x x x x - - + - = - f) 0,5 3,5 2 1 9 2 2 3 x x x x + + - - = - Dạng 1.4: Biến đổi về phương trình tích · Bài tập : Giải các phương trình sau: a) 2 2 5 3 2.5 2.3 x x x x = + + b) 2 2 2 .2 8 2 2 x x x x + + = + c) 2 2 2 2 .6 6 .6 6 x x x x x x - + - + = + d) 3 8 .2 2 0 x x x x - - + - = Hướng dẫn: a) ( ) ( ) 2 2 5 3 5 3 5 3 x x x x x x - = - + 2. Phương pháp đặt ẩn số phụ (đưa phương trình mũ về phương trình đại số bậc hai, bậc 3 theo ẩn số phụ) Dạng 2.1: Biến đổi về dạng ( ) ( ) 2 . . 0 f x f x m a n a p + + = . (1) Phương pháp: Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (1). Bước 1: Đặt ( ) , 0 f x t a t = > . Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 f x f x t a a= = . PT đã cho trở thành 2 . . 0 (*) 0 mt nt p t ì + + = í > î . Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm 0 t > . Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình ( ) f x a t = để tìm x. Bước 4: Kết luận (nghiệm của (1)). · Bài tập 4: Giải các phương trình sau: a) 2 5 2 3 3 2 x x+ + = + b) 2 2 1 3 9 36.3 3 0 x x- - - + = c) 2 4 3.2 7.2 20 x x - = d) 1 27 13.9 13.3 27 0 x x x+ - + - = e) 1 3 3 64 2 12 0 x x + - + = f) 2 3 3 8 2 12 0 x x x + - + = g) ( ) ( ) 10 5 10 3 3 84 x x - + = h) 4 8 2 5 2 3 4.3 28 2log 2 x x+ + - + = i) ( ) 2 1 2 1 2 3 3 1 6.3 3 x x x x + + + = + - + k) Dạng 2.2: Biến đổi về dạng ( ) ( ) . . 0 f x f x m a n a p - + + = hay ( ) ( ) 1 . . 0 f x f x m a n p a + + = (2) Phương pháp: Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (2). Bước 1: Đặt ( ) , 0 f x t a t = > . Ta có ( ) ( ) 1 1 f x f x a t a - = = . PT đã cho trở thành ( ) 2 . . 0 (*) 0, 0 0 mt p t n n mt p t t t ì + + = + + = > Û í > î . Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm 0 t > . Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình ( ) f x a t = để tìm x. Bước 4: Kết luận (nghiệm của (2)). Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 3/8 · Bài tập 5: Giải các phương trình sau: a) 1 3 18.3 29 x x+ - + = b) 2 2 2 2 15 x x+ - - = c) 1 2 5 5.0,2 26 x x- - + = d) 2 2 sin cos 2 4.2 6 x x + = e) ( ) ( ) 5 24 5 24 10 x x + + - = f) ( ) ( ) 7 48 7 48 14 x x + + - = g) 2 2 10 9 4 2 x x - + = h) 2 2 1 1 10 10 99 x x+ - - = i) ( ) ( ) 3 3 5 16 3 5 2 x x x + + + - = j) ( ) ( ) 2 5 1 6 5 1 2 x x x + - + + = k) ( ) ( ) 3 5 21 7 5 21 2 x x x + - + + = l) ( ) ( ) 7 4 3 3 2 3 2 0 x x - - - + = Dạng 2.3: Biến đổi về dạng ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 . . . . 0 f x f x f x m a n a b pb + + = . (m, n, p là các số thực) (3) Phương pháp: Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (3). Bước 1: Chia cả hai vế của (3) cho ( ) 2 f x b , (hoặc ( ) 2 f x a ), ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 . . . . 0 f x f x f x f x f x f x f x a a b b m n p b b b + + = ( ) ( ) ( ) 2 . . 0 f x f x f x a a m n p b b æ ö Û + + = ç ÷ è ø ( ) ( ) 2 0 f x f x a a m n p b b æ ö æ ö Û + + = ç ÷ ç ÷ è ø è ø . Phương trình này có Dạng 2.1, đã biết cách giải. Bước 2: Đặt ( ) , 0 f x a t t b æ ö = > ç ÷ è ø . Ta có ( ) ( ) 2 2 2 f x f x a a t b b æ ö æ ö æ ö = = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø . PT đã cho trở thành 2 . . 0 (*) 0 mt nt p t ì + + = í > î . Bước 3: Giải (*), tìm nghiệm 0 t > . Bước 4: Với t tìm được, giải phương trình ( ) f x a t b æ ö = ç ÷ è ø để tìm x. Bước 5: Kết luận (nghiệm của (3)). · Bài tập 6: Giải các phương trình sau: a) 2 4 2 2 3 45.6 9.2 0 x x x+ + + - = b) 1 1 1 4 6 9 x x x - - - + = c) 2 2 2 7.4 9.14 2.49 0 x x x - + = d) 2 1 9 6 2 x x x + + = e) 2 1 1 10 25 4,25.50 x x x + = f) 2 2 2 2 6 9 3 5 2 6 9 3 4.15 3.5 x x x x x x - + + - - + + = 3. Phương pháp lôgarit hóa Nhận dạng: Phương trình loại này thường có dạng ( ) ( ) ( ) . . f x g x h x a b c d = . Nói chung, là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau. Cách giải: Lấy lôgarit cơ số a (hoặc b, hoặc c) cả hai vế. Cng c v hc tt mụn Toỏn 12. Chuyờn Phng trỡnh m Lụgarit Biờn son: Cao Long Trang 4/8 Ta c ( ) ( ) ( ) ( ) log . . log f x g x h x a a a b c d = ( ) ( ) ( ) log log log log f x g x h x a a a a a b c d + + = ( ) ( ) ( ) log log log a a a f x g x b h x c d + + = . Bit log ;log ;log a a a b c d l cỏc s thc. Gii phng trỡnh thu c theo n x. ã Bi tp: Gii cỏc phng trỡnh sau: a) 2 1 2 3 x x - = b) 7 5 5 7 x x = c) 2 3 .8 6 x x x+ = d) 4. Phng phỏp s dng tớnh ng bin, nghch bin ca hm s. (Phng phỏp ỏnh giỏ hai v). ã Dng s dng tớnh n iu - Thng bin i phng trỡnh ó cho v dng ( ) ( ) f x g x = , hay ( ) f x c = Vi phng trỡnh ( ) ( ) f x g x = , chỳng ta thng gp trng hp x a = l nghim ca phng trỡnh, cũn vi mi x a ạ thỡ ( ) f x b > v ( ) g x b < . Ngha l mi x a ạ khụng phi l nghim ca phng trỡnh ( ) ( ) f x g x = . Vic chng minh ( ) f x b > v ( ) g x b < ta s dng tớnh n iu ca hm ( ) y f x = v hm ( ) y g x = . Vớ d: Gii phng trỡnh a) 2 2 2 2 3 2 2 x x x x - + = + - b) 1 4 3 x x ổ ử = + ỗ ữ ố ứ a) Nhn xột: Thụng thng ỏnh giỏ cỏc tam thc bc hai chỳng ta thng bin i nú v dng tng ca cỏc bỡnh phng. õy ta bin i ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x xx x x - + = - + + = - + . Li gii: Vỡ ( ) 2 1 0 x - nờn ( ) 2 2 2 2 1 1 1 x x x - + = - + . Suy ra 2 2 2 1 3 3 3 xx - + = . (1) Cũn v phi ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 1 3 1 3 xx x x x + - = - - + = - - Ê . (2) T (1) v (2) ta suy ra phng trỡnh ó cho ( ) 2 2 2 2 2 3 3 1 0 1 2 2 3 x x x x x x - + ỡ = ù - = = ớ + - = ù ợ Vy phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht 1 x = . b) Nhn xột: Hm s 1 3 x y ổ ử = ỗ ữ ố ứ nghch bin trờn Ă , cũn hm s 4 y x = + ng bin trờn Ă . Nu dựng th chỳng ta co th nhn thy hai th ny ch ct nhau ti nhiu nht 1 im nờn phng trỡnh ó cho cú nhiu nht 1 nghim. Li gii: D nhn thy 1 x = - l mt nghim ca phng trỡnh, ta s chng minh nghim ny duy nht. Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 5/8 Với mọi 1 x > - ta có : 1 1 1 3 3 3 x - æ ö æ ö < = ç ÷ ç ÷ è ø è ø (1) (do hàm số 1 3 x y æ ö = ç ÷ è ø nghịch biến trên ¡ ) 4 1 4 3 x + > - + = (2) So sánh (1) và (2) ta nhận thấy mọi 1 x > - không thỏa mãn phương trình đã cho. Nghĩa là mọi 1 x > - không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Tương tự ta chứng minh được, mọi 1 x < - không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Vậy, 1 x = - là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. · Bài tập: Giải các phương trình sau: a) 2 3 2 6 9 4 x x x æ ö = - + - ç ÷ è ø b) 2 cos 2 3 3 x x = + c) 2 2 1 2 x x x x - = + d) 4 2 16 2 2 x x x - - = + ·© Một số bài toán có cách giải khác Bài toán đưa được về dạng ( ) ( ) f u f v u v = Û = , trong đó f là hàm luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định của nó. · Bài tập: Giải các phương trình sau a) ( ) 2 2 1 2 2 1 x x x x - - - = - b) ( ) 2 2 2 1 4 2 1 x x x x + - - = + c) ( ) 2 2 2 1 1 4 2 2 1 x x x x + + - + = + d) ( ) ( ) 5 3 5 3 4 x x x - + - = Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 6/8 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN Lý thuyết: Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng · ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0 log log a a f x g x f x g x f x g x ì > > ï = Û í = ï î hoÆc · ( ) ( ) log c a f x c f x a = Û = , với 0, 1 a a > ¹ . Ngoài ra cần hcọ thuộc và sử dụng đúng các công thức biến đổi lôgarit. Một số Phương pháp giải các phương trình lôgarit cơ bản: 1. Phương pháp Đưa (biến đổi) về cùng một cơ số Dạng 1.1: Biến đổi về dạng ( ) ( ) log log a a f x g x = Lưu ý: Nếu các em học sinh tìm điều kiện xác định của phương trình ( ) ( ) log log a a f x g x = thì cần giải hệ (hoặc nêu ra) ( ) ( ) 0 0 f x g x ì > ï í > ï î . Còn nếu giải theo phép biến đổi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0 log log a a f x g x f x g x f x g x ì > > ï = Û í = ï î hoÆc thì không cần nêu hệ điều kiện xác định ở trên. Khuyến khích: Thường các em dễ mắc lỗi và hiểu không kỹ về phép biên đổi, do vậy khuyên các em nên nêu ra hệ điều kiện xác định của phương trình trước khi giải. Vì có nhiều phương trình chứa nhiều lôgarit. · Bài tập 1: Giải các phương trình sau a) ( ) 2 2 log 4 7 2 x x - + = b) 2 1 2 2 2log log log 9 x x x + + = c) 3 1 3 3 log log log 6 x x x + + = d) ( ) 3 1/3 log 2 log 2 1 0 x x - + - = e) ( ) ( ) 3 2 1 2log 36 log 1 log 6 2log3 log2 3 x x x- + + = + + + f) ( ) ( ) 1 log lg2 log 2 1 log6 2 x x+ + + = g) 3 3 3 3 2log 1 log 7 1 x x x x - - + = - - h) 2 log 1 3log 1 log 1 2 x x x + + - = - - i) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 9 3 log 2 54 log 3 2log 4 x x x - + + = - j) ( ) ( ) 2 log 3 12 19 log 3 4 1 x x x + + - + = k) ( ) 3 3 3 log 5 log 2 log 3 20 0 x x - - - - = m) ( ) ( ) log 2 19 log 3 20 1 log x x x - - - = - n) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 log 10 25 log 6 3 2log 5 log 3 2 x x x x x- + + - + = - + Cng c v hc tt mụn Toỏn 12. Chuyờn Phng trỡnh m Lụgarit Biờn son: Cao Long Trang 7/8 2. Phng phỏp t n s ph (a phng trỡnh m v phng trỡnh i s bc hai, bc 3 theo n s ph) Lu ý: Ngoi vic t iu kin biu thc ( ) log a f x cú ngha l ( ) 0 f x > , chỳng ta cn chỳ ý n c im ca phng trỡnh ang xột (cha cn bc hai, cha n mu) v phi t iu kin cho phng trỡnh cú ngha. Cỏc phộp bin i cn chỳ ý: 2 log 2 log n a a x n x = vi iu kin 0 x ạ . ã Bi tp 2: Gii cỏc phng trỡnh sau a) 4 log 3 log x x - = b) 2 2 1 2 2 log 3log log 2 x x x + + = c) 2 2 2 2 log log 2 1 log 1 x x x - - = + d) ( ) ( ) log 6 1 2 3log 6 1 x x - = - - e) ( ) ( ) 1 3 3 log 3 1 .log 3 3 6 x x+ - - = f) 2 4 1 log 4log 2 4 x x + + - = g) ( ) ( ) ( ) 2 1 log 1 2 2 1 log 1 1 log 1 x x x + - + = + - + - h) ( ) 3 2 3 4 4 log log 9 2 log 1 log x x ổ ử - = + - ỗ ữ ố ứ i) 2 6 2 log log log 3 9 x x - = - j) ( ) ( ) 3 log 10 .log 0,1 log 3 x x x = - k) ( ) 2 2 4 4 4log 2log 1 0 x x - + + = l) ( ) ( ) 2 2 1 log 100 log 10 14 log x x x + = + m) ( ) 2 2 2 2 6 log 7 5 log 7 log x x x x + = + - ổ ử + ỗ ữ ố ứ n) ( ) 2 2 2 0,5 8 2 2 2 log 2log 3log 1 2log .log 4 2 x x x x ổ ử + - = ỗ ữ ố ứ p) ( ) 2 9 3 3 2log log .log 2 1 1 x x x = + - 3. Phng phỏp m húa ã Bi tp 3 : Gii cỏc phng trỡnh sau: a) 2 3 log log 1 x x + = b) 3 5 log log lg15 x x + = c) ( ) ( ) 3 5 log 1 log 2 1 2 x x + + + = d) ( ) 2 5 log log 3 x x = + Gi ý: a) t 2 t x = , ta cú 3 3 3 log log 2 log 2 t x t= = Phng trỡnh ó cho tr thnh 2 3 log 2 log 2 1 t t + = ( ) 3 3 log 2 1 1 log 2 1 t t t + = + = 6 3 3 1 1 log 3 1 log 2 log 6 t = = = + . Vy phng trỡnh a) cú nghim 6 log 3 2 x = . Cng c v hc tt mụn Toỏn 12. Chuyờn Phng trỡnh m Lụgarit Biờn son: Cao Long Trang 8/8 4. Phng trỡnh lụgarit nhiu cp (tng) Phng phỏp: H tng cp mt t ngoi vo trong theo tớnh cht ( ) ( ) log c a f x c f x a = = ã Bi tp 4: Gii cỏc phng trỡnh sau: a) ( ) ( ) log log log 0 x = b) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 3 log log log 3 0 x - = c) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 3 1 log 2log 1 log 1 3log 2 x + + = d) 2 3 1 1 2 2 log log 3log 5 2 x x ổ ử - + = ỗ ữ ố ứ e) ( ) ( ) 2 3 2 log log 4 0 x - = f) ( ) ( ) 4 2 2 4 log log log log 2 x x + = 5. Phng phỏp bin i v phng trỡnh tớch ã Bi tp 5: Gii cỏc phng trỡnh sau: a) 3 27 3 .log 6 6 log x x x x + = + b) 2 2 4 2 .log 2 4 4log x x x x + = + c) ( ) ( ) 2 2 1 1 log 4 log 4 .log 2log 2 2 x x x x ổ ử ổ ử - + - + = + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ d) ( ) 2 2 2 2 6 1/6 log 5 2 3 log 5 2 3 2 x x x x x x x x - - - - - = + 6. Phng phỏp s dng tớnh n iu ca hm s Chỳ ý dng: log log a a u u v v - = - , cú dng ( ) ( ) f u f v u v = = trong trng hp f l hm s ng bin (hoc nghc bin) trờn tp xỏc nh ca nú. V phng phỏp ỏnh giỏ hai v ca phng trỡnh. ã Bi tp 6: Gii cỏc phng trỡnh sau: a) 2 log 3 x x = - b) ( ) ( ) 2 log 6 4 log 2 x x x x + - - = + + c) 1 3 log 4 x x = - d) 2 2 3 2 3 log 3 2 2 4 5 x x x x x x + + = + + + + e) ( ) ( ) 2 log 12 log 3 5 x x x x - - + = + + f) ( ) 2 2 3 3 log 1 log 2x x x x x + + - = - Gi ý: a) iu kin xỏc nh: 0 x > . Nhn thy 2 x = l nghim ca phng trỡnh a). Ta chng minh nghim ny duy nht. Tht vy, vi mi 2 x > , ta cú : ã 2 2 log log 2 1 x > = (do hm s 2 log y x = ng bin trờn khong ( ) 0; +Ơ ) (1) ã 3 3 2 1 x - < - = (2) So sỏnh (1) v (2) suy ra mi 2 x > u khụng tha món phng trỡnh a), nờn khụng phi l nghim ca phng trỡnh. Lm tng t ta chng minh c mi 0 2 x < < cng khụng phi l nghim ca phng trỡnh. Vy, phng trỡnh cú nghim duy nht 2 x = . â Chuyờn v cỏc dng toỏn ễn thi i hc, cao ng s biờn son sau. Hn cỏc em vo dp ti. Chỳc cỏc em hc v ụn tp tt ! . Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề Phương trình mũ – Lôgarit” Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 1/8 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN Lý thuyết: Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng · ( ) ( ) ( ) ( ) f