Tài liệu Tam thức bậc hai và các phương pháp biện luận ppt

19 12.9K 122
Tài liệu Tam thức bậc hai và các phương pháp biện luận ppt

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Phần I TĨM TẮT VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ TAM THỨC BẬC HAI I Định nghĩa cách giải Phương trình: ax2 + bx + c = (a ¹ 0) gọi phương trình bậc (PTBH) Đa thức: f(x) = ax2 + bx + c = gọi tam thức bậc (TTBH) * Nghiệm PTBH (nếu có) gọi nghiệm TTBH * Dạng tắc TTBH: ax2 + bx + c = a[(x + b b - 4ac ) ] 2a 4a (1) Từ dạng (1) ta đưa cách giải công thức nghiệm SGK trình bày II Sự phân tích TTBH Nếu D > f(x) = ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) với x1, x2 nghiệm III Định lý Vi-ét Nếu D > phương trình f(x) = ax2 + bx + c = có nghiệm phân biệt và: S = x1 + x2 = - b a c a P = x1x2 = Ngược lại: Nếu x + y = S x.y = P x, y nghiệm phương trình bậc hai: t2 - St + P = IV Đồ thị hàm số bậc 2: a>0 D>0 a>0 D0 D=0 -2 -4 a0 a af(x) < " x Ỵ(x1;x2) af(x) ³ " x ẻ (-Ơ; x1] U [x2; +Ơ) o lại: 1) Nếu $ a cho: af(a) < f(x) có nghiệm phân biệt x1< a af(a) > D>0 D>0 Û a < x < x2 Û x1 < x2 < a; S a Hệ trực tiếp: 1') Cho a < b, f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0) x1 < a < x2 < b Û f(a).f(b) < a < x < b < x2 2') a < x1 < x2 < b Û D > af(a) > af(b) > [ a< S Û m > *Nếu m > Þ pt(2) có nghiệm phân biệt m ¹ 12 * Nếu m =12 Þ pt(2) có ngh nghiệm: nghiệm đơn nghiệm kép VD3: Cho hàm số: y = (x - 2)(x2 + mx + m2 - 3) (3) có đồ thị (C) Tìm m để: a) (C) cắt Ox điểm phân biệt b) (C) tiếp xúc với Ox Giải tóm tắt: Đặt f(x) = x2 + mx + m2 - a) (C) cắt Ox điểm phân biệt Û D>0 f(2) ¹ b) (C) tiếp xúc với Ox Û f(2) = D=0 [ VD4: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác phương trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = (4) vô nghiệm Thật vậy: D = (a2 + b2 - c2)2 - 4a2b2 = (a2 + b2 - c2 - 2ab)( a2 + b2 - c2 + 2ab) = [(a - b)2 - c2 ][(a + b)2 - c2] = (a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)(a + b + c) < BÀI TẬP: 1.1 Giải phương trình: (x + 1)(½x½ - 1) = - 1.2 Giả sử x1 x2 nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = Hãy thiết lập phương trình với nghiệm là: y1 = 1 y2 = x1 x2 1.3 Tìm tất giá trị k để phương trình: x - 2x + = k ( x - 3) x -1 có nghiệm kép khơng âm 1.4 Tìm tất giá trị p để parabol: y = x2 + 2px + 13 có đỉnh cách gốc toạ độ khoảng PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG CỦA HAI NGHIỆM HỆ THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM PTBH Đặt Sn = x1n + x 2n , x1x2 = P Ta có S1 = x1 + x2 = S S2 = x12 + x 22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = S2 - 2P Sn tính theo công thức truy hồi sau: (*) aSn + bSn-1 + cSn-2 = Ta chứng minh (*) sau: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = (1) Þ ax12 + bx1 + c = ax2 + bx2 + c = (2) Nhân hai vế (1) (2) với x1n- x 2n - (nỴZ, n > 2) Ta có: ax1n + bx1n -1 + cx1n -2 = (3) n n n ax2 + bx2 -1 + cx - = (4) Cộng (3) (4) vế với vế ta n n n a( x1n + x ) + b( x1n -1 + x -1 ) + c( x1n -2 + x - ) = Ta có điều PCM VD5: Cho A = (1 + ) + (1 - ) Chứng minh A Ỵ Z HS: A = S5 = 152 VD6: Cho f(x) = 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + Gọi x1, x2 nghiệm f(x) Tìm Max A A=| x1x2 - 2x1 - 2x2 | (*) Giải: Để $ x1, x2 D ³ Û -5 £ m £ -1 Khi đó: A = m + 8m + Xét dấu A ta có: m2 + 8m + £ "x thoả mãn (*) ÞA= - m - 8m - - ( m + 4) 9 = £ Þ MaxA = 2 2 VD7: Tìm điều kiện cần đủ để phương trình ax2 + bx + c = (a ¹ 0) có nghiệm nghiệm gấp k lần nghiệm Giải: Xét: M = (x1 - kx2)(x2 - kx1) = PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC = (k + 1)2ac - kb2 Þ Điều kiện cần: Nếu x1 = kx2 x2 = kx1 Þ M = Û (k + 1)2ac = kb2 Điều kiện đủ: Nếu (k + 1)2ac = kb2 Û M = Û x1 = kx2 x2 = kx1 2 VD8: Biết a, b, c thoả mãn: a +b +c =2 (1) ab + bc + ca = (2) [ Chứng minh: - £ a, b, c £ (3) Nhận xét: Từ (1) (2) ta thấy vai trò a, b, c bình đẳng nên ta cần chứng minh số a, b, c thoả mãn (3) Đặt: S = a + b P = ab Từ (1) (2) ta có: S - 2P = - c2 (4) P + cS = (5) Từ (5) Þ P = - cS thay vào (4) ta có S2 - 2(1 - cS) = - c2 Û S2 + 2cS + c2 - = Û S = -c + S = -c - * Nếu S = -c +2 Þ P = c2 - 2c + Þ a, b nghiệm phương trình: t2 - (2 - c)t + c2 - 2c + = Phương trình phải có nghiệm Û D ³ Û £ c £ 4/3 * Nếu S = -c - Tương tự ta có: -4/3 £ c £ [ Tóm lại: Ta có - £ a, b, c £ VD9: Tìm m để đồ thị hàm số y = x2 - 4x + m cắt Ox điểm phân biệt A, B cho: OA = OB HD: OA = | xA | ; OB = | xB | xét trường hợp: xA= 3xB xA= - 3xB BÀI TẬP: 2.1 Tìm tất giá trị m để tổng bình phương nghiệm phương trình: x2 - mx + m - = đạt giá trị nhỏ 2.2 Giả sử (x, y) nghiệm hệ phương trình: x + y = 2a - x2 + y2 = a2 + 2a - Xác định a để tích xy nhỏ PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC QUAN HỆ GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA HAI PTBH 1) Hai phương trình ax2 + bx + c = a'x2 + b'x + c = có nghiệm chung Û Hệ ax2 + bx + c = (1) có nghiệm a'x2 + b'x + c = Ta giải hệ (1) phương pháp Tuy nhiên ta giải theo phương pháp sau đơn giản nhiều: Đặt x2 = y ta có: ay + bx = - c (2) a'y + b'x = - c' Þ Hệ (1) có nghiệm Û Hệ (2) có nghiệm y = x2 ìD ¹ ï Û í D y Dx = ï ỵD D ìD ¹ ï Ûí D x2 ïD y = î D VD10: Chứng minh phương trình x2 + p1x + q1 = x2 + p2x + q2 = có nghiệm chung thì: (q1 - q2)2 + (p1 - p2)(q2p1 - q1p2) = HD: Sử dụng phương pháp trình bày 2) Hai phương trình bậc tương đương Chú ý: HS hay bỏ sót trường hợp: Nếu phương trình vơ nghiệm tương đương (trên tập đó) VD11: Tìm m để hai phương trình x2 -mx + 2m - = x2 -(m2 + m - 4)x +1 = tương đương *Trường hợp 1: D1 < D2 < *Trường hợp 2: Sử dụng Vi-ét 3) Hai phương trình có nghiệm xen kẽ Chú ý rằng: Mọi phương trình ax2 + bx + c = (a ¹ 0) đưa dạng: x2 + px + q = Do ta có tốn: Với điều kiện p, q, p', q' để phương trình: PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC x2 + px + q = x2 + p'x + q' = có nghiệm xen kẽ Ta xét khả năng: * Khả 1: Nếu p = p' Khi đó: Nếu q = q' Þ đồ thị trùng (khơng thoả mãn) Nếu q ¹ q' Þ Đồ thị tịnh tiến đồ thị dọc theo đường thẳng x=- P nên không thoả mãn * Khả 2: Nếu p ¹ p' Þ parabol cắt điểm có hồnh độ ỉ q - q' ỉ q - q' q - q' x0 = Þ y0 = ç ç p'- p ÷ + pç p '- p ữ + q ị ữ ỗ ữ p'- p ố ø è ø Để phương trình có nghiệm xen kẽ y0 < Û (q - q')2 + p(q - q')(p' - p) + q(p' - p)2 < VD12: Tìm m để phương trình x2 + 3x + 2m = x2 + 6x + 5m = có nghiệm xen kẽ ĐS: m Ỵ (0 ; 1) BÀI TẬP: 3.1 Cho hai phương trình: x2 - 2x + m = x2 + 2x - 3m = a) Tìm m để phương trình có nghiệm chung b) Tìm m để phương trình tương đương c) Tìm m để phương trình có nghiệm xen kẽ 3.2 Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung: x2 - mx + 2m + = mx2 - (2m + 1)x - = 3.3 Tìm m n để hai phương trình tương đương: x2 - (2m + n)x - 3m = x2 - (m+3n)x - = 3.4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: (x2 - mx + 1)(x2 + x +m) = ˜š›™ PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PTBH 1) Sử dụng: PT ax2 + bx + c = có nghiệm Û D ³ VD13: Chứng minh rằng: Nếu a1.a2 ³ 2(b1 + b2) phương trình x2 + a1x + b1 = (1) x + a2x + b2 = (2) có nghiệm Giải: D1 = a12 - 4b1 ; D = a - 4b2 Do đó: D1 + D2 = a12 + a 22 - 4(b1 + b2 ) ³ a12 + a - 2a1 a ³ éD1 ³ Þê Þ DPCM ëD ³ VD14: Chứng minh rằng: Trong phương trình sau: x2 + 2ax+ bc = x2 + 2bx + ca = x2 + 2cx + ab = Có phương trình có nghiệm Giải: Ta có: D1 + D2 + D3 = [ ] (a - b) + (b - c) + (c - a ) ³ Þ có biểu thức khơng âm Þ ĐPCM 2) Sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai: * Nếu af(a) < Þ x1 < a < x2 * Nếu f(a)f(b) < Þ x1 < a < x2 < b a < x1 < b < x2 Điều quan trọng việc chọn a, b cho hợp lý [ VD15: Chứng minh rằng: Phương trình: f(x) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) = Với a < b < c ln có nghiệm phân biệt thoả mãn: a < x < b < x2 < c Giải: Rõ ràng f(x) TTBH có hệ số x2 và: f(b) = (b - c)( b - a) < a < b < c Þ f(x) có nghiệm x1 < b < x2 f(a) = (a - b)(a - c) > a < b < c nên a nằm [x1 ; x2] mà a < b Þ a < x1 < b < x2 PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC f(c) = (c - a)(c - b) > nên c nằm [x1;x2] mà c > b nên a< x1< b a, b, c số thoả mãn: a b c + + =0 m +2 m + m Chứng minh rằng: Phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm (0;1) 4.3 Chứng minh phương trình: ax2 + bx + c = có nghiệm hai điều kiện sau thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < 5a + 3b + 2c = 4.4 Biết phương trình: x2 + ax + b + c = vô nghiệm Chứng minh phương trình: x2 + bx - a - c = có nghiệm 4.5 Chứng minh phương trình: PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 1 + = m có nghiệm với m sin x cos x 10 TAM THỨC BẬC HAI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC 1) Dạng áp dụng trực tiếp dấu TTBH: VD18: Cho D ABC chứng minh rằng: x2 ³ CosA + x(CosB + CosC ) "x Ỵ R x2 Xét f(x) = - x(cosB + cosC) + - cosA ³ " x Ỵ R A B-C - 4Sin Sin £0 Dx = (cosB + cosC) - 2(1 - cosA) = 2 1+ Þ ĐPCM Dấu đẳng thức xẩy Û A = B = C hay tam giác ABC Chú ý: Nếu x= Þ cosA + cosB + cosC £ bất đẳng thức quen thuộc 2) Dạng áp dụng ngược lại: Giả sử: Cần phải chứng minh dạng: D £ ta chứng minh f(x) khơng đổi dấu ta viết D £ thành dạng: b2 - 4ac để xác định f(x) VD19: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxky: å a¸ å b ³ (å a b ) i 2 i (1) i = 1, n i i Bất đẳng thức Û (å a i bi ) - å ai2 å bi2 £ (2) *Nếu a1 = a2 = = an = Þ bất đẳng thức (1) hiển nhiên Nếu å ai2 ¹ Ta xét tam thức: f(x) = (å ai2 )x - 2(å bi )x + å bi2 Ta có f(x) = å (a x - b ) Dấu "=" Û x = i i ³ "x ẻ R ị D' Ê chớnh l ĐPCM bi =l VD20: Các số a, b, c, d, p, q thoả mãn: p2 + q2 - a2 - b2 - c2 - d2 > (1) 2 2 2 Chứng minh: (p - a - b )(q - c - d ) £ (pq - ac - bd)2 (2) Vì (1) nên: (p2 - a2 - b2) + (q2 - c2 - d2) > Þ $ số hạng khác dương Khơng tính tổng qt, giả sử: p2 - a2 - b2 > Xét tam thức: f(x) = (p2 - a2 - b2)x2 - (pq - ac - bd)x + (q2 - c2 - d2) Giải: PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 11 Ta có f(x) = (px - q)2 - (ax - c)2 - (bx - d)2 q q q q Þ f( ) = -(a - c) - (b - d ) < p p p p q mà (p2 - a2 - b2) > nên: af( ) < Þ f(x) có nghiệm Þ D' ³ Þ ĐPCM p Þ x = BÀI TẬP: 5.1 Cho a3 > 36 abc = Chứng minh rằng: a2 + b + c > ab + bc + ca 3 HD: a > 36 Þ a > abc = Þ bc = Đưa bất đẳng thức dạng: a a (b + c)2 - a(b+c) - + > xét tam thức bậc hai: a 3 a2 f(x) = x2 - ax - + a 5.2 Cho a, b, c ba cạnh tam giác Ba số x, y, z thoả mãn điều kiện: ax + by + cz = Chứng minh: xy + yz + zx £ HD: Từ ax + by + cz = c ¹ (vì c >0) nên có z = lại bất đẳng thức dạng sau: xy - ax + by Ta viết c ax + by (x + y) £ Biến đổi bđt dạng: c ax2 + xy(a+ b - c) + by2 ³ Xét tam thức bậc hai: f(t) = at2 + y(a+ b - c)t + by2 với a >0 5.3 Cho a >0 n số nguyên dương Chứng minh rằng: a + a + a + + a < n dấu + 4a + HD: Đặt a + a + a + + a = Un Vì a > nên Un > Un-1 Mặt khác: Un2 = a + Un-1 suy ra: Un2 < a + Un hay Un2 - Un + a < Xét tam thức bậc hai: f(x) = x2 - x - a 5.4 Cho c > b > a > Đặt d2 = a2 + b2 + c2 ; P = 4(a + b + c) ; S = 2(ab + bc + ca) PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 12 Chứng minh rằng: 1 1 1 a < ( P - d2 - S ) < ( P + d2 - S ) < c 4 HD: Xét tam thức bậc hai: f(x) = x2 - 1 P2 Px + ( - d2 + S) 16 TAM THỨC BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I Hệ đối xứng kiểu I: Là hệ phương trình mà đổi vai trị x y cho phương trình khơng thay đổi Phương pháp giải hệ đối xứng kiểu I là: Đặt S = x + y, P = xy Þ S2 ³ 4P Giải hệ tìm S, P cuối giải phương trình: X2 - SX + P = tìm x, y ì x y + y x = 30 VD21: Giải hệ: ï í Đặt x = u ³ 0, ï x x + y y = 35 ỵ y = v ³ Hệ trở thành: ì ì PS = 30 ïu v + v u = 30 Ûí Þ S = 5, P = í 3 ïu + v = 35 ỵS - 3PS = 35 ỵ ìx = ỡx = ịớ ợy = ợy = VD22: Biết (x,y) nghiệm hệ: ìx + y = m í 2 ỵ x + y = -m + Tìm GTNN, GTLN biểu thức: M = xy + 2(x + y) Giải: Hệ viết thành: ìS = m Þ x, y nghiệm phương trình: t2 - mt + m2 - = (*) í ỵP = m - Þ Để hệ có nghiệm phương trình (*) có nghiệm Û D ³ Û | m | £ Khi M = P + 2S = m2 + 2m - Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN M [-2;2] (Đây toán bản) M(-2) = -3, M(2) = 5, M(-1) = Þ MaxM = 5, MinM = -4 PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 13 Chú ý: HS dễ gặp sai lầm xét M = m2 + 2m - R có GTNN khơng có GTLN VD23: Cho x, y thoả mãn x + y = Tìm GTNN F = x3 + y3 Giải: Bài tốn quy tìm tập giá trị F Hay: ìx + y = Tìm F để hệ í 3 ỵx + y = F có nghiệm ìS = ìS = ï Hệ trở thành: í Þí 8- F îS - 3PS = F ïP = î Þ x, y nghiệm cỷa phương trình: t2 - 2t + 8- F = (*) Hệ có nghiệm Û phương trình (*) có nghiệm Û D' ³ Û F ³ Þ MinF = ( x = y) II Tam thức bậc với phương trình, bất phương trình VD24: Tìm a cho bất đẳng thức: 25y2 + ³ x - axy + y - 25 x 100 (1) nghiệm " cặp (x;y) thoả mãn | x | = | y | Giải: Ta xét trường hợp: Trường hợp 1: x = y (1) Þ (a+50)x2 - 2x + ³0 100 ìa + 50 > Û a ³ 50 ỵD £ Ûí Trường hợp 2: x = -y (1) Þ (50 - a)x2 + ³ Û a £ 50 (3) 100 Để (1) với " (x;y) phải thoả mãn x = y x = -y Þ a = 50 ì x - x + m £ (1) VD25: Tìm m để hệ ï í ï x + x - m £ ( 2) ỵ có nghiệm Giải: Cộng bất phương trình ta có: 2x2 + 2x £ Û -1£ x £ Þ Nghiệm hệ phải thoả mãn (3) Xét tam thức vế trái Ta có: (1) (2) có nghiệm Û (3) ì ' ì1 - m ³ ïD ³ Ûí Û -4 £ m £ í ' ïD ³ î4 + m ³ î PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 14 Ta có khả sau: a) Bpt (1) có nghiệm nghiệm (2): Bpt (1) có nghiệm Û m = Þ x = khơng thoả mãn (3) b) Bpt (2) có nghiệm nghiệm (1): Bpt (2) có nghiệm Û m = -4 Þ x = -2 khơng thoả mãn (3) c) Bpt (1) Û x1 = - - m £ x £ x = + - m Bpt (2) Û x3 = -2 - - m £ x £ x = -2 + + m Với - < m < BÀI TẬP: 6.1 Cho hệ phương trình: ax2 + bx + c = y ay2 + by + c = z az2 + bz + c = x Trong đó: a ¹ (b - 1)2 - 4ac < Chứng minh hệ phương trình vô nghiệm HD: Xét a > (trường hợp a < lý luận tương tự) Phản chứng, giả sử hệ có ngiệm (x0, y0, z0) Khi đó: ax2 + bx + c = y0 ay2 + by + c = z0 az2 + bz + c = x0 Cộng vế ba phương trình ta có: [ax02 + (b-1)x0 + c] + [ay02 + (b-1)y0 + c] + [az02 + (b-1)z0 + c] = Xét tam thức: f(t) = at2 + (b-1)t + c f(x0) + f(y0) + f(x0) = mà D = (b - 1)2 - 4ac < nên af(t) > với t thuộc R từ suy mâu thuẫn 6.2 Tìm m cho với x nghiệm hai bất phương trình: x2 + 5m2 + 8m > 2(3mx + 2) x2 + 4m2 ³ m(4x + 1) HD: Đưa hai bpt dạng tam thức bậc hai x xét khả có biệt thức D1 D2 6.3 Gọi L chiều dài đoạn nghiệm trục số hệ bpt: -2 £ x2 + px + q £ PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 15 Chứng minh rằng: L £ với p, q HD: Xét khả D1 D2 6.4 Giải biện luận theo a bpt: x - a x -1 > a - HD: Đặt t = x -1 ³ 0, chuyển vế bpt xét tam thức vế trái 6.5 Cho hai phương trình: x2 + 3x + 2m = x2 + 6x + 5m = Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt hai nghiệm phương trình có nghiệm phương trình HD: Sử dụng định lý đảo 6.6 Tìm m cho phương trình: x4 + mx3 + x2 + mx + = có khơng nghiệm âm khác HD: Nhận xét x = khơng phải nghiệm phương trình dù m nhận giá trị Đặt: t = + xét f(t) = t2 + mt - với ½t½ ³ x 6.7 Cho phương trình f(x) = ax2 + bx + c = (1) Giả sử ½a½ > ½b½ + ½c½ Chứng minh khoảng (-1;1) phương trình (1) có hai nghiệm khơng có nghiệm Giả sử ½b½ > ½a½ + ½c½ Chứng minh khoảng (-1;1) phương trình (1) có nghiệm Giả sử ½c½ > ½a½ + ½b½ Chứng minh khoảng (-1;1) phương trình (1) vơ nghiệm 6.8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x4 + mx3 + 2mx2 + m + 6.9 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x - 2(m + 4) x + 5m + 10 + - x = HD: Để thức riêng vế biến đổi tương đương 6.10 Giải biện luận theo m bpt: x- x - m > 2m PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 16 TAM THỨC BẬC HAI VÀ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ Trong toán tương giao đồ thị có sử dụng kiến thức tam thức bậc hai thường vấn đề sau: Tìm giao điểm hai đồ thị: Quy giải hệ phương trình Tìm tiếp tuyến: Điều kiện phương trình có nghiệm kép Tìm quỹ tích: Sử dụng biểu thức nghiệm phương trình Chứng minh tính đối xứng (trục, tâm), tính vng góc Tuy nhiên sử dụng thêm kiến thức đạo hàm ta có tốn phức tạp hay nhiều Sau ta xét số ví dụ: VD26: Chứng minh đường thẳng: y = -x cắt parabol: y = x2 - 2(m + 2)x + m2 + 3m điểm phân biệt khoảng cách điểm khơng phụ thuộc vào m Giải: Hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình: x2 - 2(m + 2)x + m2 + 3m = -x Û x2 - (2m + 3)x + m2 + 3m = (*) Ta có: D = (2m + 3)2 - 4(m2 + 3m) = > nên phương trình (*) ln có nghiệm phân biệt với m Þ đường thẳng ln cắt parabol điểm phân biệt Giả sử điểm A(xA; yA) B(xB; yB) Trong đó: xA = m xB = m + (m m + hai nghiệm phương trình (*) Þ yA = - xA = -m; yB = - xB = -m - Ta có: AB = ( x A - xB ) + ( y A - yB ) = 18 = không phụ thuộc m VD27: x2 - 2x Cho hàm số: y = x -1 có đồ thị (P) a) Chứng minh rằng: Đường thẳng (d): y = - x + k cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt A, B b) Tìm k để OA ^ OB PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 17 Giải: Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x2 - 2x =-x+k x -1 Û 2x2 - (k + 3)x + k = (*) Dễ thấy x = nghiệm (*) D = (k - 1)2 + > với k nên phương trình (*) ln có nghiệm phân biệt với k Þ a) chứng minh yA - xA + k = xA xA y -x + k Hệ số góc OB là: b = B = B xB xB Mặt khác: Hệ số góc OA là: a = OA ^ OB Û a.b = -1 Û (**) Theo Vi-ét thì: xA + x B = k +3 ; - x A + k - xB + k x x - k ( x A + x B ) + k = A B = -1 xA xB x A x B xA.xB = Vậy: OA ^ OB Û k = k Thay vào (**) ta có: k = BÀI TẬP: 7.1 Chứng minh rằng: Đường thẳng y = x + trục đối xứng đồ thị hàm số: y= x -1 x +1 HD: Đường thẳng y = x + trục đối xứng đồ thị y = x -1 (P) Û x +1 đường thẳng vng góc với đường thẳng y = x + cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm I AB nằm đường thẳng y = x + x2 7.2 Cho hàm số: y = có đồ thị (P) Tìm điểm A, B đồ thị (P) x -1 đối xứng qua đường thẳng y = x - HD: Tương tự 7.1 7.3 Tìm a để đồ thị hàm số: y = ax + 3ax + 2a + tiếp xúc với đường thẳng: x+2 y=a PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 18 7.4 Chứng minh đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị hàm số y= 2x + hai điểm phân biệt A, B Tìm m để AB ngắn x+2 7.5 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai parabol: y = x2 - 5x y = -x2 + 3x - 10 7.6 Tìm điểm trục tung từ kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y = x + tiếp tuyến vng góc với x 7.7 Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt parabol y = x2 điểm phân biệt A, B cho OA ^OB 7.8 Cho hàm số: y = 4x - x có đồ thị (P) x -1 a) Xác định tiếp tuyến qua điểm (1;-4) b) Chứng minh đường thẳng y = 3x + a cắt đồ thị (P) điểm phân biệt A, B Tìm giá trị nhỏ biểu thức d =½xA - xB½ š&› PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 19 ... dụng ˜š›™ PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 2 Phần II CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CƠ BẢN 1.GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phép giải phương trình bậc với hệ số số đơn giản Ở ta đề cập đến phương trình... 4 HD: Xét tam thức bậc hai: f(x) = x2 - 1 P2 Px + ( - d2 + S) 16 TAM THỨC BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I Hệ đối xứng kiểu I: Là hệ phương trình... + 4) x + 5m + 10 + - x = HD: Để thức riêng vế biến đổi tương đương 6.10 Giải biện luận theo m bpt: x- x - m > 2m PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 16 TAM THỨC BẬC HAI VÀ TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ Trong toán

Ngày đăng: 25/01/2014, 22:20

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan