Nguy n Phú Khánh – L t Bài 2: C C TR HÀM S 2.1 TÓM T T LÝ THUY T Khái ni m c c tr hàm s : Gi s hàm s f xác nh t p h p D D ⊂ » x ∈ D ( a ) x c g i m t i m c c ) ( ) i c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b  a; b ⊂ D  ch a i m x cho:  Khi ó f x  f (x ) < f (x ) ∀x ∈ a; b \ x  g i giá tr c c i c a hàm s f ( ) ( ) ( ) { } c ( ) b) x c g i m t i m c c ti u c a hàm s f n u t n t i m t kho ng a;b  a; b ⊂ D  ch a i m x cho:  Khi ó f x c  f (x ) < f (x ) ∀x ∈ a; b \ x  g i giá tr c c ti u c a hàm s f Giá tr c c i giá tr c c ti u c g i chung c c tr N u x m t i m c c tr c a hàm s f ngư i ta nói r ng hàm s f t c c ( ) ( ) ( ) { } tr t i i m x ( Như v y : i m c c tr ph i m t i m c a t p h p D D ⊂ » ) ( ) Nh n m nh : x ∈ a;b ⊂ D nghĩa x m t i m c a D : ) () )  x xác nh 0; +∞ Ta có f (x ) > f  v i m i x > x = không ph i i m c c ti u t p h p  0; +∞ Ví d : Xét hàm s f (x ) = khơng ch a b t kì m t lân c n c a i m 48 Nguy n Phú Khánh – L t Chú ý : • Giá tr c c i ( c c ti u) f (x ) nói chung khơng ph i GTLN (GTNN) c a f t p h p D • Hàm s có th t c c i ho c c c ti u t i nhi u i m tâp h p D Hàm s có th khơng có i m c c tr ( • x m t i m c c tr c a hàm s f i m x 0; f (x ) ) c g i i m th hàm s f c c tr c a i u ki n c n hàm s t c c tr : nh lý 1: Gi s hàm s f t c c tr t i i m x Khi ó , n u f có o hàm ( ) t i i m x f ' x = Chú ý : • o hàm f ' có th b ng t i i m x hàm s f không t c c tr t i i m x0 • Hàm s có th t c c tr t i m t i m mà t i ó hàm s khơng có o hàm • Hàm s ch có th t c c tr t i m t i m mà t i ó o hàm c a hàm s b ng , ho c t i ó hàm s khơng có o hàm • Hàm s t c c tr t i x n u th hàm s có ti p n t i i m (x 0; ) f (x ) ti p n ó song song v i tr c hồnh Ví d : Hàm s y = x hàm s y = x 3 i u ki n hàm s t c c tr : nh lý 2: Gi s hàm s f liên t c kho ng a;b ch a i m x có ( ) ) ( )  f ' ( x ) < 0, x ∈ (a; x )  a) N u  hàm s t c c ti u t i f ' ( x ) > 0, x ∈ ( x ;b )   cách khác , n u f ' ( x ) i d u t âm sang dương x qua o ( hàm kho ng a; x x ;b Khi ó : 0 i m x Nói m t i m x hàm s t c c ti u t i i m x x x0 a ( ) − f' x ( ) f x () b + () f a f b ( ) f x0 49 Nguy n Phú Khánh – L t  f ' x > 0, x ∈ a; x  0 b) N u  hàm s f ' x < 0, x ∈ x ;b   ( ) ( ) ( ( ( ) cách khác , n u f ' x tc c ) ) tc c i t i i m x Nói m t i d u t dương sang âm x qua i m x hàm s i t i i m x0 x x0 a ( ) + f' x b − ( ) f x0 ( ) f x () () f a f b ( ) nh lý 3: Gi s hàm s f có ( ) x , f ' x = f có o hàm c p m t kho ng a;b ch a i m o hàm c p hai khác t i i m x ( ) N u f '' ( x ) > hàm s a ) N u f '' x < hàm s f tc c b) t c c ti u t i i m x f Chú ý: Khơng c n xét hàm s f có hay khơng có i t i i m x0 o hàm t i i m x = x không th b qua i u ki n " hàm s liên t c t i i m x "  1 − x x ≤ không x x >   Ví d : Hàm s f (x ) =  t c c tr t i x = Vì hàm s khơng liên t c t i x = 2.1 D NG TOÁN THƯ NG G P D ng : Tìm i m c c tr c a hàm s Quy t c 1: Áp d ng • Tìm f ' x nh lý ( ) ( ) • Tìm i m x i i = 1, 2, t i ó khơng có o hàm b ng ho c hàm s liên t c o hàm 50 Nguy n Phú Khánh – L t ( ) ( ) • Xét d u c a f ' x N u f ' x tr t i i m x Quy t c 2: Áp d ng i d u x qua i m x hàm s có c c nh lý ( ) • Tìm f ' x ( V i m i x tính f '' ( x ) N u f '' ( x ) < hàm s N u f '' ( x ) > hàm s ) ( ) • Tìm nghi m x i i = 1, 2, c a phương trình f ' x = • − − i i i tc c i t i i m xi i t c c ti u t i i m x i Ví d : Tìm c c tr c a hàm s : y = x + 3x + 3x + y = −x + 6x − 8x + Gi i : y = x + 3x + 3x + * Hàm s ã cho xác nh liên t c » * Ta có: y ' = 3x + 6x + = 3(x + 1)2 ≥ ∀x ⇒ Hàm s khơng có c c tr Chú ý: * N u y ' không i d u hàm s khơng có c c tr * i v i hàm b c ba y ' = có hai nghi m phân bi t i u c n hàm có c c tr y = −x + 6x − 8x + * Hàm s ã cho xác nh liên t c » * Ta có: y ' = −4x + 12x − = −4(x − 1)2 (x + 2) y ' = ⇔ −4(x − 1)2 (x + 2) = ⇔ x = ∨ x = −2 * B ng bi n thiên x −∞ −2 +∞ y' + + − 25 y −∞ −∞ V y, hàm t c c i t i x = −2 v i giá tr c c i c a hàm s y(−2) = 25 , hàm s c c ti u Bài t p t luy n: Tìm c c tr c a hàm s : 4x − 3x y = x −1 y = 4x + 4x − 2x + 4x + 51 Nguy n Phú Khánh – L t Ví d : Tìm c c tr c a hàm s : y = x − x y = 2x + − 2x − y = 2x − x − y = −x + 3x y = 1   x − 12 − 3x  2  Gi i : ( ) y = f x = x − x * Hàm s nh liên t c o n  −2;2    ã cho xác * Ta có y ' = − 2x ( ) , x ∈ −2;2 − x2 Hàm s khơng có o hàm t i i m x = −2, x = ( ) Suy ra, kho ng −2;2 : y ' = ⇔ x = − 2, x = B ng xét d u y ' x −2 y' y' − − + − i d u t âm sang dương x qua i m − hàm s t c c ti u t i ( ) i m x = − 2, y − = −2 ; y' i d u t dương sang âm x qua i m i m x = 2, y hàm s tc c it i ( 2) = y = 2x − x − * Hàm s * Ta có: y ' = − x = x2 − − x x −3 ) ( ) 3; +∞ o hàm t i i m x = − 3, x = )( ( Suy ra, m i kho ng −∞; − , ( ( , x ∈ −∞; − ∪ x −3 Hàm s khơng có ) (  nh liên t c −∞; −  ∪  3; +∞    ã cho xác ) ( ) 3; +∞ : y ' = ) x ∈ −∞; − ∪ 3; +∞   0 ≤ x < ⇔ ⇔ ⇔ x = 2 4(x − 3) = x 2 x − = x    Tương t suy hàm s t c c ti u t i i m x = 2, y(2) = , hàm s khơng có c c i 52 Nguy n Phú Khánh – L t y = −x + 3x * Hàm s ã cho xác * Ta có: y ' = nh liên t c n a kho ng (−∞; 3] −3(x − 2x ) , x < 3, x ≠ −x + 3x Hàm s khơng có o hàm t i i m x = 0, x = ( ) Suy ra, m i kho ng −∞; : y ' = ⇔ x = * B ng bi n thiên: x y' −∞ || − + +∞ y i t i i m x = 2, y(2) = Hàm s tc c x = 0, y(0) = Chú ý: 2 − || t c c ti u t i i m * ví d m c dù x = ± i m mà t i ó hàm s o hàm nhiên hàm s l i khơng xác nh b t kì kho ng (a; b) c a hai i m nên hai i m không ph i i m c c tr c a hàm s * Tương t v y x = c a hàm s câu không ph i i m c c tr x = l i i m c c tr c a hàm s y = 2x + − 2x − * Hàm s ( 2x * Ta có: y ' = − Hàm s khơng có ) nh liên t c n a kho ng −∞; −2  , 2; +∞   ã cho xác ( ) ( ) , x ∈ −∞; −2 ∪ 2; +∞ 2x − o hàm t i i m x = −2, x = ( )( ) Suy ra, kho ng −∞; −2 , 2; +∞ : y ' =   x ∈ −∞; −2 ∪ 2; +∞ 0 ≤ x < ⇔ ⇔ ⇔x =2 2 x =  2x − = x   * B ng bi n thiên: x −∞ −2 2 + || || − y' ( ) ( ) +∞ + y 53 Nguy n Phú Khánh – L t ( ) + 1) ) ( Trên kho ng 2;2 : y ' < , kho ng 2; +∞ : y ' > i m c c ti u (2 2; y = 1   x − 12 − 3x  2  * Hàm s nh liên t c o n  −2;2    12 − 3x + 3x   , ∀x ∈ −2;2 12 − 3x   o hàm t i i m x = −2, x = ã cho xác 1  2  Hàm s khơng có * Ta có: y ' = ( ( ) ) Suy ra, kho ng −2;2 : y ' = x ∈ −2;2   −2 < x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ x = −1 x =  12 − 3x = −3x   * B ng bi n thiên: x −∞ −2 −1 y' || − + ( ) || +∞ y ( ( ) ) Trên kho ng −2; −1 : y ' < , kho ng −1;2 : y ' > suy i m c c ti u ( ) −1; −2 Bài t p tương t : Tìm c c tr c a hàm s : y = x + + 2x − y = y = x + x + x + x + x2 + ( y = x 16 − x + x − ) x Ví d : Tìm c c tr c a hàm s : y = f x = x ( ) y = f ( x ) = x ( x + ) y = f ( x ) = x ( x − ) Gi i : ( ) y = f x = x 54 Nguy n Phú Khánh – L t * Hàm s ã cho xác nh liên t c » x x ≥  y= −x x <  1 x >  * Ta có y ' =  −1 x <  ( ) ( ) Trên kho ng −∞; : y ' < ,trên kho ng 0; +∞ : y ' > * B ng bi n thiên x −∞ y' y +∞ − + +∞ +∞ t i m c c ti u t i i m x = 0, f = () Hàm s x x + x ≥  y = f x = x x + =  −x x + x <  * Hàm s ã cho xác nh liên t c » 2x + > x >  * Ta có y ' =  −2x − x <  Hàm s liên t c t i x = , o hàm t i x = Trên kho ng −∞; : y ' = ⇔ x = −1 ,trên kho ng 0; +∞ : y ' > ( ) ( ( ( ) ) ( ) ) * B ng bi n thiên x −∞ y' ( −1 + − () y = f ( x ) = +∞ + y V y hàm s ) +∞ i t i i m x = −1, f −1 = , hàm s −∞ tc c ( ) t c c ti u t i i m x = 0, f = ( x x −3 ) * Hàm s ã cho xác nh liên t c »   x x − x ≥ y=f x =  −x x − x <  ( ) ( ) ( ) 55 Nguy n Phú Khánh – L t 3 x −  x >  x * Ta có y ' =   − x + −x x <  −x  ( ( ) ) ( ) Trên kho ng −∞; : y ' > ,trên kho ng 0; +∞ : y ' = ⇔ x = * B ng bi n thiên x −∞ y' + y Hàm s − + +∞ −2 i t i i m x = 0, f = , hàm s −∞ t i mc c +∞ () t i m c c ti u t i () i m x = 1, f = −2 Bài t p tương t : Tìm c c tr c a hàm s : y = x + + x y = 2x − + 2x − y = x + x − x − y = x + + 9x + x y = x + − x y = −x + + x − + x − x Ví d : Tìm c c tr c a hàm s sau y = sin 2x − y = − cos x − cos 2x Gi i : y = sin 2x − * Hàm s ã cho xác nh liên t c » * Ta có y ' = cos 2x y ' = ⇔ cos 2x = ⇔ x = π +k π ,k ∈ » , y '' = −8 sin 2x  π π   −8 π y ''  + k  = −8 sin  + k π  =  2 4 2  8  k = 2n k = 2n + π  + nπ ; y  + nπ  = −1 4  π π π π i t i x = + 2n + ; y  + 2n +  = −5 4 2 V y hàm s tc c ( i t i i m x = ) ( π tc c ) 56 Nguy n Phú Khánh – L t y = − cos x − cos 2x * Hàm s ã cho xác nh liên t c » ( * Ta có y ' = sin x + s in2x = sin x + cos x )  sin x = x = k π  ⇔  y' = ⇔ ,k ∈ »  cos x = − = cos 2π x = ± 2π + k 2π   3   y '' = cos x + cos 2x  2π  2π y ''  ± + k 2π  = cos = −3 < Hàm s    2π  y ± + k 2π  =   ( ) y '' k π = cos k π + > 0, ∀k ∈ » Hàm s ( ) ( x = k π , y k π = − cos k π tc c it i x =± 2π + k 2π , t c c ti u t i ) Bài t p tương t : Tìm c c tr c a hàm s : 2 y = x − sin x y = x t a n x y = x − sin x y = x t a n x 2 y = cos x y = cos x y = cos x + sin x y = cos x + sin x  π   2 Ví d 5: Tìm c c tr c a hàm s : y = cos x sin x o n 0; Gi i: * Hàm s ã cho xác  π  2  nh liên t c o n 0; * Ta có : y ' = − sin x sin x + cos x cos x = − sin2 x sin x sin x   π x ∈  0;   π    ⇔ sin x = Trên kho ng  0;  : y ' = ⇔  sin2 x =  2   T n t i góc β cho sin β = , ó * ⇔ x = β (*) () 57 Nguy n Phú Khánh – L t V i sin β = B ng xét d u y ' : x cos β = π β y' Hàm s 12 y ( β ) = cos β sin β = 3 + tc c i t i x = β, y ( β ) = 12 v i sin β = − Bài t p tương t : Tìm c c tr c a hàm s :  π π ;   2 y = ( cos2x +1) sin 2x kho ng  − y = cos x + cos x ( 0; 20π ) kho ng  π π ;   4 y = cot x + 4x o n  − y = cos x +2 sin x + kho ng cos x − sin x + ( −π ; π ) Ví d 6: Tìm c c tr c a hàm s : y = cos3 x + sin3 x + sin 2x Gi i: y = cos3 x + sin3 x + sin 2x = ( cos x + sin x )(1− cos x sin x ) + sin 2x Vì − cos x sin x = 1 (2−2 cos x sin x ) = ( 2−sin 2x ) > ( ) Nên y = cos x + sin x − cos x sin x + sin 2x t −1 ,0 ≤ t ≤ 2 3 3 Khi ó y = f t = − t + t + t − , ≤ t ≤ 2 2 2 3 Ta có : y ' = −t + 2t + = − t −  > 0, ∀t ∈ 0;  , suy hàm s   2      khơng có c c tr t t = cos x + sin x ⇒ cos x sin x = () ( ) ( ) Ví d 7: Tính o hàm c a hàm s t i i m x = ch ng minh r ng hàm s t c c ti u t i x = , bi t r ng hàm s f (x ) xác nh b i : 58 Nguy n Phú Khánh – L t  + x sin2 x −  ,x ≠0 f (x ) =  x 0 ,x =0  Gi i : f (x ) − f (0) + x sin2 x − f ' = lim = lim x →0 x →0 x x2 x sin2 x f ' = lim x →0   x  + x sin2 x + + x sin2 x + 1   sin x f ' = lim sin x =0 x →0 x 2 + x sin x + + x sin x + () () ( ) () ( ) M t khác x ≠ , ta có : sin2 x f x = ⇒f x ≥0=f 2 + x sin x + + x sin x + ( ) ( ( ) ) Vì hàm s f (x ) liên t c » nên hàm s f (x ) () t c c ti u t i x =  ,x ≠0 x sin Ch ng minh r ng Ví d : Cho hàm s f (x ) =  x 0 ,x =0  f '(0) = hàm s f (x ) khơng Ta có ( ) = x sin v f (x ) − f x x t c c tr t i i m Gi i : i m i x ≠ () f (x ) − f ≤ x lim x = nên lim = Do ó x →0 x →0 x x o hàm t i x = f '(0) = V i m i x ≠ : x sin hàm s f (x ) có L y m t dãy x n = Gi s (a;b ) m 1 , ó f (x n ) = 2nπ 2nπ ( sin 2nπ = 0, ∀n t kho ng b t kỳ ch a i m Vì lim x n = nên v i n x →0 ) ( ) () l n x n ∈ a;b f (x n ) = = f , ∀n , theo nh nghĩa c c tr c a hàm s , x = không ph i m t i m c c tr c a f (x ) 59 ... ) + 1) ) ( Trên kho ng 2; 2 : y '' < , kho ng 2; +∞ : y '' > i m c c ti u (2 2; y = 1? ??   x − 12 − 3x  2? ??  * Hàm s nh liên t c o n  ? ?2; 2    12 − 3x + 3x   , ∀x ∈ ? ?2; 2 12 − 3x   o hàm. .. −∞; ? ?2 ∪ 2; +∞ 2x − o hàm t i i m x = ? ?2, x = ( )( ) Suy ra, kho ng −∞; ? ?2 , 2; +∞ : y '' =   x ∈ −∞; ? ?2 ∪ 2; +∞ 0 ≤ x < ⇔ ⇔ ⇔x =2 2 x =  2x − = x   * B ng bi n thiên: x −∞ ? ?2 2 + ||... + 2) y '' = ⇔ −4(x − 1) 2 (x + 2) = ⇔ x = ∨ x = ? ?2 * B ng bi n thiên x −∞ ? ?2 +∞ y'' + + − 25 y −∞ −∞ V y, hàm t c c i t i x = ? ?2 v i giá tr c c i c a hàm s y(? ?2) = 25 , hàm s khơng có c c ti u Bài