Thông tin tài liệu
Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 1 -
A. lý DO CHọN Đề TàI
Trang bị những tri thức cơ bản ,cần thiết ,tiên tiến nhất đặc biệt là
những tri thức phơng ph áp và phát triển trí tuệ cho họ c sinh là các mục
tiêu đợc đặt lên hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn toán.
Bất đẳng thức là một vấn đề đợc giáo viên và học sinh thâm nhập
với một lợng thời gian khá nhiều vì đây là vấn đề có thể phát triển khả
năng t duy toán học cho học sinh.
Thế nhng qua
việc tìm hiểu vấn đề này trong quá trình dạy học tôi thấy mặc dù đã
có rất nhiều phơng pháp giả i cho những bài toán bất đẳng thức điển hình
cụ thể có nhiều dạng. Có những bài toán bất đẳng thức khó khi bồi dỡng
học sinh khá giỏi việc sử dụng những phơng pháp đã có gặp nhiều khó
khăn, vì thế với hớng suy nghĩ khắc phục những hạn chế về phơng pháp
giải đã có trớc tôi đã tìm kiếm thêm đợc một phơng pháp tiện lợi để
giải quyết những bài toán khó và cũng để khơi dậy trí tìm tòi của học sinh
và giáo viên trong quá trình tự học, khơi dậy lòng say mê tìm kiếm những
cái mới.
Vì những lý do đó. Dới đây tôi xin đợc trao đổi với quý đồng
nghiệp một phơng pháp giải cho những bài toán bất đẳng thức ( Thờng
là những bài bất đẳng thức khó, xảy ra trong các kỳ thi học si nh giỏi, thi
Đại học). Và trong một số bài tôi khai thác sâu thêm bằng những hoạt
động trí tuệ nh tổng quát, phân tích, so sánh, đặc biệt hóa.
Nội dung đề tài gồm ba phần :
Phần I: một biến là ẩn phụ t=h(x,y,z, )
Phần II: Một biến là x(y hoặc z)
Phần III: Khai thác phơng pháp trong lợng giác
b.nội dung đề tài
*/ Bài toán: Xét bài toán : với điều kiện R (nếu có) . Chứng minh rằng
p=f(x,y,z, )
A
(hoặc
A)
phơng pháp giải:
Chứng minh p
)(tg
với
Dt
Chứng minh
Atg )(
với
t D
Vấn đề đặt ra là đánh giá biểu thức p để đa về biểu thức một biến g(t) và chứng
minh
Atg )(
- Việc chứng minh
Atg )(
ở đây tôi chỉ sử dụng cách biến đổi ( dự đoán
dấu bằng xảy ra),ngoài ra đối với hoc sinh lớp 12 có thể làm một cách nhanh
chóng hơn bằng cách sử dụng đạo hàm lập bảng biến thiên để giải.
- Còn đánh giá p nói chung là phong phú tùy thuộc từng bài toán để lựa
chọn cách đánh giá thích hợp (dùng cách biến đổi , sử dụn g bất đẳng thức cổ điển
bunhiacopki,côsi, ) .
Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 2 -
*/ kiến thức bổ sung
1.Bất đẳng thức cơ bản :
a.Bất đẳng thức côsi:
cho
)2(, ,,
21
nxxx
n
số không âm khi đó:
n
nn
xxxnxxx
2121
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
n
xxx
21
b. Bất đẳng thức bunhiacopxki:
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
1
) () )( (
nnnn
yxyxyxyyyxxx
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
n
n
y
x
y
x
y
x
2
2
1
1
c. Bất đẳng thức svac-xơ(hệ quả của bất đẳng thức bunhiacopxki ) :
với
)2(, ,,
21
nyyy
n
là số dơng:
n
n
n
n
yyy
xxx
y
x
y
x
y
x
) (
21
2
21
2
2
2
2
1
2
1
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
n
n
y
x
y
x
y
x
2
2
1
1
2.Tính chất:
a. Nếu p có giá tri không đổi khi ta hoán vị vò ng quanh các biến x,y,z
chẳng hạn p=f(x,y,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y) .
khi đó không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x=max(x,y,z, ) hoặc
x=min(x,y,z, )
b. Nếu p có giá trị không đổi khi ta hoán vị một cách bất kì các biến x,y,z
chẳng hạn p=f(x,y,z)=f(x ,z,y)=f(y,x,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y)=f(z,y,x) .
khi đó không mất tính tổng quát ta có thể sắp xếp các biến theo một thứ tự
zyx
I. một biến là ẩn phụ t=h(x,y,z, ).
Sau đây là một số ví dụ mở đầu
Bài toán 1
:Với x,y là số dơng chứng minh rằng:
2233
yxxyyx
(1)
Giải:
Vì x là số dơng nên:
(1)
x
y
x
y
x
y
23
1
. đặt
x
y
=t thì t>0
(1) trở thành t
3
-t
2
-t+1
0
(t-1)
2
(t+1)
0 (đúng với mọi t>0)
đpcm
Tổng quát ta có bài toán sau:
Cho x,y là số dơng. Cmr:
),2(
11
Nnnyxxyyx
nnnn
Chứng minh hoàn hoàn tơng tự!
Bài toán 2
: Với x,y khác không chứng minh rằng:
Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 3 -
)2(2
2
2
2
2
4
4
4
4
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
Giải:
Đặt t=
x
y
y
x
thì
2
x
y
y
x
x
y
y
x
t
(áp dụng bđt côsi)
khi đó (2) trở thành:
02)2(2)2(
222
ttt
(t+2)(t
3
-2t
2
-t+3)
0(2')
+) Với t
2: ta có t
3
-2t
2
-t+3=(t-2)(t
2
-1)+1>0
nên bất đẳng thức (2') đúng
+) Với t
-2: ta có t
3
-2t
2
-t+3=(t+2)[(t-2)
2
+3] - 11 > 0
và t+2
0 nên bất đẳng thức (2') đúng
vậy bất đẳng thức (2) đúng dấu bằng xảy ra khi t= -2 hay x=-y
đpcm
Bài toán 3:(Đề chọn đội tuyển dự thi HSG toán QG 2006-2007)
x,y,z là số thực thỏa mãn
2
222
zyx
.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức
xyzzyxP 3
333
-Nhận xét : Dự đoán dấu giá trị LN,NN đạt đợc kh i x=y=z hoặc tại các điểm
biên.Thử vào ta có phán đoán
2222 P
Giải: Từ đẳng thức
2222
)()(2 zyxzxyzxyzyx
))((3
222333
zxyzxyzyxzyxxyzzyx
và điều kiện ta có:
)
2
2)(
2)(())((
2
222
zyx
zyxzxyzxyzyxzyxp
đặt
60 tzyxt
2222)22()2(
2
1
3
2
)
2
2
2(
2
32
ttt
tt
tp
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2t
vậy P
min
=
22
khi x=
2
,y=z=0 hoặc hoán vị
P
max
=
22
khi x=
2
,y=z=0 hoặc hoán vị
Sau đây ta xét một số ví dụ mà phải đánh giá biểu thức P mới thấy đợc ẩn
phụ
Bài toán 4: Cho
2
3
0,,
zyx
zyx
Cmr:
2
15111
zyx
zyx
Giải: áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
zyx
zyx
xyz
zyx
zyx
zyx
91
3
111
3
Đặt
2
3
0 tzyxt
Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 4 -
Vậy:
2
15
2
3
.4
27
4
9
.2
4
27
4
99111
t
t
tt
t
t
t
zyx
zyx
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=
2
1
đpcm
Tổng quát ta có bài toán: Cho
)2(, ,,
21
nxxx
n
là số dơng ;
)(
*
21
Rkkxxx
n
22
;0 bnakb
.
Cmr :
k
akbn
xxx
bxxxa
n
n
22
21
21
)
1
11
() (
(*)
Sơ lợc lời giải:
k
akbn
k
bn
ak
k
bn
k
bn
at
k
t
t
bn
t
bn
at
xxx
bn
xxxa
xxx
bxxxa
n
n
n
n
22
2
2
2
2
2
2
2
2
21
2
21
21
21
)(
1
.2.)()
1
(
) ()
1
11
() (
Nhận xét1:
- Từ bài toán (*) ta Đặc biệt hóa
1.Với a=1; b=4 ; n=3 ; k=
2
3
ta có bài toán :
Cho
2
3
0,,
zyx
zyx
Cmr:
2
51
)
111
(4
zyx
zyx
kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki ta có
bài toán 2':(olimpic-toán sơ cấp -Đại Học Vinh)
Cho
2
3
0,,
zyx
zyx
C mr:
2 2 2
2 2 2
1 1 1 17
3.
2
x y z
y z x
Thật vậy : áp dụng bất đẳng thức bunhacopxki ta có
)
4
(
17
114
)41)(
1
(
2
222
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
tơng tự sau đó cộng lại kết hợp bài toán trên ta suy ra điều phải chứng minh
Với a=1;b=9;n=3;k=1 kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki ta có bài toán
Cho
1
0,,
zyx
zyx
CMR :
82
111
2
2
2
2
2
2
z
z
y
y
x
x
(đề thi đại học ,cao đẳng năm 2003 -2004)
2.với a= -1; b=1 ; n=2 ; k=
2
ta có bài toán :
Cho
2
0,
yx
yx
Cmr:
2)(
11
yx
yx
bằng cách thay đổi giả thiết , đặt ẩn phụ ta có bài toán 2'':
Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 5 -
cho
1
0,
yx
yx
Cmr:
2
11
y
y
x
x
Thật vậy: bằng cách đặt: a=
x1
; b=
y1
và kết hợp bất đẳng thức
bunhacopxki và bài toán trên ta suy ra điều phải chứng minh
Tổng quát: (tạp chí crux )
)2(, ,,
21
nxxx
n
là số dơng và
mxxx
n
21
,m>0:
Cmr::
1
2
2
1
1
n
mn
xm
x
xm
x
xm
x
n
n
Chứng minh hoàn toàn tơng tự !
- Nếu đổi chiều của bất đẳng thức ở điều kiện (bài toán (*))thì bài toán thay đổi
nh thế nào?
Trả lời câu hỏi này ta có bài toán mới : Cho
)2(, ,,
21
nxxx
n
là số dơng;
)(
*
21
Rkkxxx
n
22
;0 bnakb
.
Cmr :
k
akbn
xxx
bxxxa
n
n
22
21
21
)
1
11
() (
(**)
từ bài toán (**) ta có thể khai thác ta đợc những bài toán mới khá thú vị
*)Nh vậy khi làm một bài toán ta có thể dùng hoạt động trí tuệ để khai thác sâu
bài toán_ở trên có một chu kì hoạt động khá hay đó là :bài toán cụ thể
tổng
quát
đặc biệt
(phân tích , so sánh )
bài toán mới
tổng quát.
(chú ý tổng quát có nhiều h ớng :theo hằng số ,theo số biến hoặc số mũ)
Bài toán 5:(THTT/ T4/352/2007 ) Với x,y,z là số dơng và xyz
1
Cmr:
2
3
xyz
z
xzy
y
yzx
x
(5)
Giải:
Đặt a=
x
, b=
y
, c=
z
Bài toán trở thành : a,b,clà số dơng và abc
1 cmr
2
3
2
2
2
2
2
2
abc
c
acb
b
bca
a
(4')
áp dụng bất đẳng thức svac-xơ ta có:
VT
2
(5')
abcacbbca
cba
222
2
)(
2
=
2
222
4
)(
abcacbbca
cba
]3)[(3
)(
)](3)[(3
)(
)(3
)(
2
4
2
4
222
4
cba
cba
cabcabcba
cba
cabcabcba
cba
{vì ab+bc+ca
3
2
)(3 abc
3}
đặt t=(a+b+c)
2
thì t
9 { vì a+b+c
3
3 abc
3}
Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 6 -
ta có
)3(3
2
t
t
=
3
3
.
12
3
2
12
159.3
3
3
12
3
12
153
t
t
t
tt
=
2
9
VT
2
(5')
2
9
VT(4')
2
3
dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
đpcm
Tổng quát ta có bài toán sau:với
)2(, ,,
21
nxxx
n
dơng và
1
21
n
xxx
Cmr:
2
1211432
2
321
1
n
xxxx
x
xxxxx
x
xxxx
x
nn
n
nn
Bài toán 6: Cho
1
0,,
zyx
zyx
Cmr:
10
9
111
222
z
z
y
y
x
x
P
Nhận xét: Ta nghĩ đến áp dụng bđt svac-xơ
nhng ở đây chiều của bất đẳng
thức lại ngợc.Một ý nghĩ nảy sinh là biến đổi P để là m đổi chiều bất đẳng thức ?
Giải : Ta có :
333
2
222
3
4
3
4
3
4
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
1)(1
)
111
(1)
1
1()
1
1()
1
1(
zyxzyx
zyx
zz
z
yy
y
xx
x
z
z
y
y
x
x
z
z
z
y
y
y
x
x
xP
Đặt
222
zyxt
từ đk
3
1
t
áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki và côsi ta có:
32
1
2
3
)
3
(3)](1[
2
1
3))((
3
222
222222
222333
t
tt
zyx
zyxzyx
xyzzxyzxyzyxzyxzyx
Vậy
10
9
10
9
3103
)957)(
3
1
(
10
9
10
9
3103
3103
3
13
2
1
3
231
2
1
22
2
2
22
tt
tt
tt
tt
t
tt
t
t
tt
t
P
dấu bằng xảy khi và chỉ khi x=y=z=
3
1
đpcm
Khi gặp bài toán có điều kiện phức tạp khó sủ dụng thì phải xử lí điều kiện . Ta
xét bài toán sau:
Bài toán 7:(Tạp chí toán học tuổi thơ)
Cho
)1)(1)(1)(1(
)1;0(,,
zyxxyz
zyx
Cmr: x
2
+y
2
+z
2
4
3
Giải:
Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 7 -
(1)
1-(x+y+z)+xy+yz+zx=2xyz
x
2
+y
2
+z
2
=2-2(x+y+z)+(x+y+z)
2
-4xyz
áp dụng bđt Côsi ta có :
xyz
zyx
3
3
nên
x
2
+y
2
+z
2
2-2(x+y+z)+(x+y+z)
2
-4
3
3
zyx
Đặt t=x+y+z thì
30 t
.Khi đó:
x
2
+y
2
+z
2
3 2 2
4 1 15 3 3
2 2 (2 3) ( )
27 27 4 4 4
t t t t t
dấu bằng xảy ra khi t=
2
3
hay x=y=z=
2
1
đpcm
Nhận xét 2 : Từ ý tởng phơng pháp giải ở trên ta có thể sáng tạo các bất
đẳng thức :
chẳng hạn -Từ bất đẳng thức cô si
1.C ho x,y là số dơng.Cmr:
xyyxyx 888)(
22322
2.(THTT-248 - 1998):Cho x,y,z là số dơng không lớn hơn 1. Cmr:
a.
3
)1)(1)(1(
3
11
zyx
zyx
b.
)1)(1)(1(
3
11
zyx
zyx
Từ đó ta có bài toán tổng quát : (chú ý: câu b chặt hơn câu a)
Cho
)2(, ,,
21
nxxx
n
là số dơng không lớn hơn
: Cmr:
)) ()((
21
21
1
n
n
n
n
xaxaxa
n
a
xxx
a
Hd: áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
n
n
n
n
xxxna
xaxaxa
) (
)) ()((
21
21
bất đẳng thức trở thành:
1 1 1
1
( )
0(*)
n
n n n n n
n
a a na t na t n a t na t
t n n n tn
áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
nnnnn
n
antnatan
n
nan
tnatnatnatn
11
)()1(
)1(
)) ()(()1(
kết hợp điều kiện bài toán nên bất đẳng thức
(*)
đúng
ngoài ra từ cách chứng minh ta có bất đẳng thức chặt h ơn sau:
Cho
)2(, ,,
21
nxxx
n
là số dơng không lớn hơn a .Cmr:
)) ()((
1
1
21
1
21
1
1
n
n
n
n
n
n
xaxaxa
n
a
n
n
xxx
a
n
n
Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 8 -
chứng minh hoàn toàn tơng tự !
3.Cho
3
0,,
222
zyx
zyx
Cmr:
3027 xyzzyx
4.Cho
2
0,,
zyxxyz
zyx
Cmr:
6 zyx
- Từ bất đẳng thức bunhiacôsxki, svac -xơ và đẳng thức
2222
)()(2 zyxzxyzxyzyx
1. Cho x,y,z nằm trong đoạn [1;2] .Cmr :
6)(0 zyxzxyzxy
2. Cho
1
0,,
xyz
zyx
Cmr:
3
101
222
zxyzxy
zyx
3. Cho
0,,
1
zyx
xyz
Cmr:
4
3
222
zyx
x
z
z
y
y
x
4. Cho
2
1
0,,
zyx
zyx
Cmr:
5
108111
222
zzyyxx
5.(THTT- 346/2006) Cho
0,,
1
zyx
zyx
Cmr:
))((8
222222222
xzzyyxzyxzxyzxy
6. Cho
]2;1[,, zyx
zyxzxyzxy
Cmr:
4
3
)(4)(4)(4
2
2
2
2
2
2
yx
z
xz
y
zy
x
- Hay từ bất đẳng thức schur :
2
)(
9
)(40))(())(())(( zyx
zyx
xyz
zxyzxyyzxzzxyzyyzxyxx
1: Cho xyz là số không âm .
Cmr:
)(212
222
zxyzxyzyxxyz
sơ lợc lời giải: Bất đẳng thức của bài toán tơng đơng với
12)()(4)(412)(
22
xyzzyxzxyzxyhayzxyzxyxyzzyx
kết hợp bất đẳng thức trên và bất đẳng thức côsi ta cần chứng minh:
1
27
)29(
2
tt
với
zyxt
2
9
, t
{ còn
2
9
t
hiển nhiên đúng}
Bằng cách thêm bớt các biểu thức vào ta có nhiều bài toán khác nhau
Chẳng hạn:
zyxtctbxyz
t
axyz
ctbxyzzyxzxyzxya ;
9
])()(4[
2
ta có: Chọn a,b sao cho:
cba
cba
2
0,,
thì:
Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 9 -
)(233)()(
222
zxyzxyacbazyxcbxyzzyxa
với a=3 b=5 c=1 ta có bài toán:
2.Cho x,y,z là số không âm . chứng minh rằng :
)(61)(5)(3
222
zxyzxyzyxxyzzyx
Bằng cách tơng tự ta có bài toán:
3.Cho x,y,z là số dơng chứng minh rằng
)(58)(2
222
zyxzyxxyz
(THTT-số 356)
4.Cho x,y,z là số dơng chứng minh rằng
)1)(1)(1(32
222
zyxxyzzyx
5.Cho
]
3
4
;0[,,
3
zyx
zxyzxy
Cmr:
13)(4 zyxxyz
Từ đẳng thức ,bất đẳng th ức cơ bản,đơn giản ta có thể tạo vô số bài toán!
để kết thúc phần I tôi xin đa ra thêm một số bài toán làm theo phơng pháp
này:
* Một số bài toán *
I
1
.Chứng minh rằng:
4
44
4
2
27
2
1
12
27
2
1
yx
yx
với mọi x,y thuộc R
HD:
yxt
I
2
.Cho
)2;0(,,
3
zyx
zyx
Cmr:
222222
4
1
4
1
4
1
)2)(2)(2(
27
zyxzyx
HD: t =
2
)( zyx
:
I
3
.Cho
1
0,,
zyx
zyx
Cmr :
12
1
)()()(
444
yxzxzyzyx
HD: Giả sử
0 zyx
đặt
)( zyxt
ta chứng minh đợc
)31()()()(
444
ttyxzxzyzyx
I
4
. Cho
0,,
4
222
zyx
xyzzyx
Cmr:
3 zyx
I
5
. Cho
]1;0(,, zyx
zyxzxyzxy
Cmr:
3
)()()(
2
2
2
2
2
2
zyx
z
yxz
y
xzy
x
I
6
. Cho
),2(, ,,
21
Nnnxxx
n
là số dơng và
)0(
21
knkxxx
n
.
Chứng minh rằng:
)(
1
11
3
22
22
2
11
knk
n
xxxxxx
nn
Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 10 -
I
7
. Với
)2(, ,,
21
nxxx
n
dơng và
1
21
n
xxx
. Cmr:
n
n
xxx
xxx
n
n
1
1
2
21
21
Nhận xét 3:
- Nếu chứng minh g(t)
0 bằng cách biến đổi nh trên thì trớc tiên phải dự đoán
đợc dấu bằng xảy ra tại đâu để đánh giá hay tách nhóm hợp lý .
-Khi đặt ẩn phụ thì phải tìm điều kiện sát của ẩn phụ đặc biệt là chứng minh
g(t)
0 bằng phơng pháp đạo hàm.
II. Một biến là x(y hoặc z):
ở ví dụ trên thì chúng ta phải làm xuất hiện ẩn phụ.sau đây ta xét một lớp
bài toán mà ẩn phụ chính là x hoặc y hoặc z
1.Đa về một biến nhờ điều kiện :
Bài toán 8: Cho
0,,
1
zyx
zyx
Cmr:
27
8
xyzzxyzxy
Giải:
Từ đk bài toán ta thấy
0110 zz
áp dụng bđt côsi ta có:
xy+yz+zx-xyz=z(x+y)+xy(1 -z)
z(x+y)+
2
2
yx
(1-z)
xy+yz+zx-xyz=z(1-z)+
2
2
1
z
(1-z)=
4
1
23
zzz
=
27
8
27
8
)
3
5
()
3
1
(
4
1
2
zz
với mọi z,
10 z
dấu bằng xảy ra khi x=y=z=
3
1
đpcm
Bài toán số 9: Cho
0,,
3
zyx
zyx
Cmr:
)9()(25 zxyzxyxyz
Giải: Không mất tính tổng quát giả sử z=min(x,y,z)
Từ điều kiện dễ thấy
10 z
0
4
)2()1(
0
4
23
0)3(2)2()
2
3
(5
0)(2)2()
2
(50)(2)2(5)9(
2
3
2
2
zz
zz
zzz
z
yxzz
yx
yxzzxy
đúng với
]1;0[z
. Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
đpcm
Nhận xét4:
- Nếu lấy điều kiện
30 z
thì bất đẳng thức đánh giá biểu thức trên là không
đúng. ở đây chúng ta sử dụng tính chất 1 để làm hạn chế điều kiện của biến để
có thể đánh giá đợc biểu thức .
. cách chứng minh bài toán tổng quát trên ta có bài toán Tơng tự
Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 12 -
bài toán9 ''. biểu thức .
Phơng pháp đa về một biến trong bài toán bất đẳng thức
.
.
K _ Xỏc - 11 -
- Ta có bài toán Tổng quát của bài 9 sau:
bài toán 9' cho
3
4
0;0
0,,
3
b
a
ba
zyx
zyx
Ngày đăng: 25/01/2014, 19:20
Xem thêm: Tài liệu Phương pháp đưa về một biến trong bài toán bất đẳng thức pdf, Tài liệu Phương pháp đưa về một biến trong bài toán bất đẳng thức pdf