Khoa Công Nghệ Thông Tin, Đại học Khoa học Tự nhieân _ I.1 ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ ̌ ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG Một đồ thị có hướng G=(X, U) định nghóa bởi: - tập hợp X gọi tập đỉnh đồ thị; - tập hợp U tập cạnh đồ thị; - cạnh u U liên kết với cặp đỉnh (i, j) X2 Ví dụ 1: Hình vẽ bên minh họa hình học đồ thị có: A u4 - Tập đỉnh {A, B, C, D} u1 - Tập cạnh {u1,u2,u3,u4,u5,u6} D u2 B - Ánh xạ định nghóa sau: u3 u1 u2 liên kết với cặp (A, B) u6 u3 liên kết với cặp (A, C) u5 C u4 liên kết với cặp (D, A) u5 liên kết với cặp (C, B) u6 liên kết với cặp (C, D) ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG Nếu không phân biệt thứ tự cặp đỉnh liên kết với cạnh có đồ thị vô hướng Đồ thị vô hướng G=(X, E) định nghóa bởi: - tập hợp X gọi tập đỉnh đồ thị; - tập hợp E tập cạnh đồ thị - cạnh e E liên kết với cặp đỉnh {i, j} X không phân biệt thứ tự Ví dụ 2: Hình vẽ minh họa hình học đồ thị có: - Tập đỉnh {A, B, C, D} A - Tập cạnh {e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7} e4 e1 - Ánh xạ định nghóa sau: D e1 e2 liên kết với {A, B} e2 B e7 e3 e3 liên kết với {A, C} e4 liên kết với {A, D} e6 e5 C e5 liên kết với {B, C} e6 liên kết với {C, D} e7 liên kết với {D} ̌ MỘT SỐ TỪ NGỮ QUI ƯỚC Khi cạnh u liên kết với cặp đỉnh (i, j): - ta nói cạnh u kề với đỉnh i kề với đỉnh j (hay nói đỉnh i đỉnh j kề với cạnh u); - ta viết tắt u=(i, j), có lúc ta viết u=(i, j) v=(i, j) lại hiểu u v; - đồ thị vô hướng, ta nói hai đỉnh i j nối với nhau, đồ thị có hướng (tức cặp đỉnh (i, j) tôn trọng thứ tự) ta nói đỉnh i nối tới đỉnh j ̌ _ Chương I Đại Cương Về Đồ Thị, trang I/1 Khoa Công Nghệ Thông Tin, Đại học Khoa học Tự nhiên _ - neáu đồ thị có hướng ta nói cạnh u đỉnh i kết thúc đỉnh j, ta nói cạnh u khỏi đỉnh i vào đỉnh j Ngoài ra, giáo trình nầy làm việc với trường hợp đồ thị có tập đỉnh tập cạnh hữu hạn Để cho xác phải nhấn mạnh ĐỒ THỊ HỮU HẠN, nhiên để ngắn gọn dùng thuật ngữ ĐỒ THỊ hiểu ngầm đồ thị hữu hạn KHUYÊN CẠNH SONG SONG - Trong đồ thị có hướng: cạnh u liên kết với cặp đỉnh (i, i) u gọi khuyên; hai cạnh a b gọi song song chúng liên kết với cặp đỉnh (i, j) - Trong đồ thị vô hướng: cạnh e liên kết với tập đỉnh {i} e gọi khuyên; hai cạnh a b gọi song song chúng liên kết với tập đỉnh {i j} ̌ Ví dụ: Trong hai ví dụ u1 u2 hai cạnh song song đồ thị thứ nhất, e1 e2 hai cạnh song song e7 khuyên đồ thị thứ hai I.2 CÁC DẠNG ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT ̌ ̌ ĐỒ THỊ ĐƠN: khuyên cạnh song song ĐỒ THỊ ĐỦ: đồ thị vô hướng, đơn mà hai đỉnh có cạnh nối chúng Ta có: - Một đồ thị đủ n đỉnh có n(n-1)/2 cạnh - Đồ thị đủ n đỉnh ký hiệu Kn K5 ĐỒ THỊ LƯỢNG PHÂN (HAI PHẦN) Cho G=(X, E) đồ thị vô hướng, đồ thị G gọi đồ thị lưỡng phân tập X chia thành hai tập X1 X2 cho: - hai tập X1 X2 phân hoạch X, nghóa là: X1 X2 X1 X2= ; - hai đỉnh X1 không nối với nhau; hai đỉnh X2 không nối với ̌ ĐỒ THỊ LƯỢNG PHÂN ĐỦ Cho G=(X, E) đồ thị vô hướng lưỡng phân với hai tập X1 X2 định nghóa G gọi đồ thị lưỡng phân đủ nếu: Với cặp đỉnh (i, j) mà i X1 j X2 có cạnh G nối i j ̌ - Nếu X1 =n X2 =m G có mxn cạnh ký hiệu laø Km, n _ Chương I Đại Cương Về Đồ Thị, trang I/2 Khoa Công Nghệ Thông Tin, Đại học Khoa học Tự nhiên _ ̌ CÁC VÍ DỤ K3 K2 K4 K4 K1, K3, K2, I.3 BẬC CỦA ĐỈNH BẬC (ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG) Bậc đỉnh x đồ thị vô hướng tổng số cạnh kề với đỉnh x, qui ước khuyên phải tính hai lần Bậc đỉnh x đồ thị G ký hiệu dG(x) (hay d(x) xét đồ thị đó) Ví dụ: đồ thị vô hướng ví dụ có d(B)=3 d(D)=4 ̌ BẬC (ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG) - Nửa bậc đỉnh x: ký hiệu d+(x) số cạnh khỏi đỉnh x (hay khởi đầu từ đỉnh x) - Nửa bậc đỉnh x: ký hiệu d-(x) số cạnh vào đỉnh x (hay kết thúc đỉnh x) - Bậc đỉnh x: d(x) = d+(x) + d-(x) ̌ Ví dụ: đồ thị có hướng ví dụ có d+(A)=1 d-(A)=3 ĐỈNH TREO, ĐỈNH CÔ LẬP - Đỉnh treo đỉnh có bậc - Đỉnh cô lặp đỉnh có bậc ̌ ̌ ĐỊNH LÝ (công thức liên hệ bậc số cạnh) a) Xét đồ thị có hướng G=(X, U) Ta có: d+(x) = d-(x) = U d(x) = U _ Chương I Đại Cương Về Đồ Thị, trang I/3 Khoa Công Nghệ Thông Tin, Đại học Khoa học Tự nhiên _ x X x X x X b) Xét đồ thị vô hướng G=(X, E) Ta có: d(x) = E x X Hệ quả: số lượng đỉnh có bậc lẻ đồ thị số chẳn I.4 ĐẲNG CẤU ĐỒ THỊ, ĐỒ THỊ CON, ĐỒ THỊ BỘ PHẬN ĐẲNG CẤU ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG Cho hai đồ thị vô hướng G1=(X1, E1) G2=(X2, E2) Hai đồ thị G1 G2 gọi đẳng cấu với tồn hai song ánh thỏa mãn điều kiện sau: : X1 X2 : E1 E2 Nếu cạnh e E1 liên kết với cặp đỉnh {x, y} X1 xét đồ thị G1 cạnh (e) liên kết với cặp đỉnh { (x), (y)} xét đồ thị G2 (điều nầy gọi tương ứng cạnh) ̌ ĐẲNG CẤU ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG Cho hai đồ thị có hướng G1=(X1, U1) G2=(X2, U2) Hai đồ thị G1 G2 gọi đẳng cấu với tồn hai song ánh thỏa mãn điều kiện sau: : X1 X2 : E1 E2 Nếu cạnh e E1 liên kết với cặp đỉnh (x, y) X12 xét đồ thị G1 cạnh (e) liên kết với cặp đỉnh ( (x), (y)) xét đồ thị G2 (điều nầy gọi tương ứng cạnh) ̌ ̌ VÍ DỤ VỀ ĐỒ THỊ ĐẲNG CẤU Ví dụ 3: Hai đồ thị (G1) (G2) đẳng cấu tương ứng đỉnh cạnh u2 u1 u5 u4 u3 e4 e1 u6 (G1) a e5 b d e2 e6 e3 (G2) c _ Chương I Đại Cương Về Đồ Thị, trang I/4 Khoa Công Nghệ Thông Tin, Đại học Khoa học Tự nhiên _ (1)=a, (2)=b, (3)=c, (4)=d (u1)=e1, (u2)=e2, (u3)=e6, (u4)=e5, (u5)=e4, (u6)=e3 Ví dụ 4: G1 G3 3 G4 G2 3 2 Hai đồ thị vô hướng G1 G2 đẳng cấu nhau, hai đồ thị có hướng G3 G4 không đẳng cấu ĐỒ THỊ CON Cho hai đồ thị G=(X, U) G1=(X1, U1) Ta nói G1 đồ thị đồ thị G ký hiệu G1 G nếu: X1 X; U1 U Với cạnh u=(i, j) U G, u U1 i, j X1 ̌ ĐỒ THỊ BỘ PHẬN Cho đồ thị G1=(X1, U1) đồ thị đồ thị G=(X, U) G1 gọi đồ thị phận G X=X1 ̌ ĐỒ THỊ CON SINH BỞI TẬP ĐỈNH Cho đồ thị G=(X, U) A X Đồ thị sinh tập A, ký hiệu định nghóa =(A, V), đó: (i) tập cạnh V U (ii) Gọi u=(i, j) U cạnh G, i, j A u V ̌ _ Chương I Đại Cương Về Đồ Thị, trang I/5 Khoa Công Nghệ Thông Tin, Đại học Khoa học Tự nhiên _ ̌ VÍ DỤ VỀ ĐỒ THỊ CON, ĐỒ THỊ BỘ PHẬN (G) e1 e3 e e6 e7 (G1) e4 e5 e8 e1 e e6 (G2) e3 e e4 e3 e1 e e6 e7 e9 Trong đồ thị trên, tất đồ thị G 1, G2, G3 (G3) e đồ thị đồ thị G Trong đóG đồ thị (con) e4 phận G, G3 đồ G sinh tập đỉnh e3 e7 {1, 2, 4, 5}, G1 khoâng phải đồ thị phận không sinh tập đỉnh {1, 2, 3, 4} thiếu cạnh e7 e8 I.5 DÂY CHUYỀN, CHU TRÌNH, ĐƯỜNG ĐI MẠCH Cho đồ thị G=(X, U) ̌ DÂY CHUYỀN Một dây chuyền G dãy luân phiên đỉnh cạnh: x1 u1 x2 u2 xm-1 um-1 xm (xi đỉnh ui cạnh) đồ thị thỏa mãn điều kiện ui liên kết với cặp đỉnh xi, xi+1 không phân biệt thứ tự, nghóa là: ui=(xi, xi+1) hay ui=(xi+1, xi) đồ thị có hướng, ui={xi, xi+1} đồ thị vô hướng Khi ta gọi x1 đỉnh đầu xm đỉnh cuối dây chuyền ̌ ̌ DÂY CHUYỀN SƠ CẤP: dây chuyền đỉnh lặp lại CHU TRÌNH: dây chuyền x1 u1 x2 u2 xm-1 um-1 xm um x1 cho đỉnh x1, x2, , xm đôi khác ĐƯỜNG ĐI Một đường G dãy luân phiên đỉnh cạnh: x1 u1 x2 u2 xm-1 um-1 xm (xi laø đỉnh ui cạnh) đồ thị thỏa mãn điều kiện ui liên kết với cặp đỉnh (xi, xi+1), nghóa là: ui liên kết với (xi, xi+1) đồ thị có hướng, ̌ _ Chương I Đại Cương Về Đồ Thị, trang I/6 Khoa Công Nghệ Thông Tin, Đại học Khoa học Tự nhiên _ ui liên kết với {xi, xi+1} đồ thị vô hướng Khi ta gọi x1 đỉnh đầu xm đỉnh cuối đường ̌ ̌ ĐƯỜNG ĐI SƠ CẤP: đường đỉnh lặp lại MẠCH: đường x1 u1 x2 u2 xm-1 um-1 xm um x1 cho đỉnh x1, x2, , xm đôi khác GHI CHÚ: a) Trong trường hợp đồ thị vô hướng thì: - hai khái niệm dây chuyền đường nhau, - hai khái niệm chu trình mạch Do đó, dùng thuật ngữ đường cho đồ thị vô hướng Đôi mạch đồ thị có hướng gọi “chu trình có hướng”, hay đường đồ thị có hướng gọi “đường có hướng” để nhấn mạnh b) Khi cạnh hoàn toàn hiểu rõ (chẳng hạn đồ thị vô hướng cạnh song song) thì: - dây chuyền x1 u1 x2 u2 xm-1 um-1 xm viết gọn x1 x2 xm-1 xm ; - chu trình x1 u1 x2 u2 xm-1 um-1 xm um x1 viết gọn x1 x2 xm-1 xm x1 Ví dụ (G) e1 e2 e6 e7 e e3 e4 5 e8 (H) e1 e e6 e7 e3 e4 e5 e9 Trong đồ thị có hướng (G): Dãy đỉnh cạnh: e1 e6 e8 dây chuyền sơ cấp (nhưng đường cạnh e6 ngược hướng) Dãy đỉnh cạnh: e1 e6 e8 e4 chu trình (nhưng mạch cạnh e6 ngược hướng) Dãy đỉnh cạnh: e3 e7 e6 e9 đường sơ cấp Dãy đỉnh cạnh: e3 e7 e6 e9 e4 laø mạch Trong đồ thị vô hướng (H): Dãy đỉnh cạnh: e4 e3 e2 e1 dây chuyền không sơ cấp _ Chương I Đại Cương Về Đồ Thị, trang I/7 Khoa Công Nghệ Thông Tin, Đại học Khoa học Tự nhiên _ Dãy đỉnh cạnh: e4 e3 e7 e6 dây chuyền sơ cấp đường sơ cấp Dãy đỉnh cạnh: e4 e5 chu trình Dãy đỉnh cạnh: e1 e6 e7 e3 chu trình I.6 BIỂU DIỄN BẰNG MA TRẬN Xét đồ thị G=(X, U) (có hướng hay vô hướng) Giả sử tập X gồm n đỉnh thứ tự X={x1, x2, …, xn}, tập U gồm n cạnh thứ tự U={u1, u2, …, um} - Ma trận kề đồ thị G, ký hiệu B(G), ma trận nhị phân cấp n x n định nghóa sau: B=(Bij) với Bij=1 có cạnh nối xi tới xj, Bij=0 ngược lại - Nếu G đồ thị vô hướng, ma trận liên thuộc (hay liên kết đỉnh cạnh ) đồ thị G, ký hiệu A(G), ma trận nhị phân cấp n x m định nghóa sau: A=(Aij) với Aij=1 đỉnh xi kề với cạnh uj, Aij=0 ngược lại - Nếu G đồ thị có hướng khuyên, ma trận liên thuộc (hay liên kết đỉnh cạnh) đồ thị G, ký hiệu A(G), ma trận n x m định nghóa A=(Aij) với qui ước: Aij = cạnh uj hướng khỏi đỉnh xi , Aij = -1 cạnh uj hướng vào đỉnh xi , Aij = cạnh uj không kề đỉnh xi Ví dụ a) Nếu ta thứ tự đỉnh cạnh đồ thị G ví dụ X={A, B, C, D} U={u1, u2, u3, u4, u5, u6} ma trận biểu diễn đồ thị là: B(G) = 1 0 1 0 0 A(G) = -1 -1 -1 0 1 0 -1 0 -1 1 0 -1 b) Gọi H đồ thị có từ đồ thị G nói cách bỏ hướng cạnh ta thứ tự đỉnh, cạnh thì: B(H) = 1 1 1 1 1 A(H) = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 _ Chương I Đại Cương Về Đồ Thị, trang I/8 Khoa Công Nghệ Thông Tin, Đại học Khoa học Tự nhiên _ I.7 CAÙC THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG VÀ TÍNH LIÊN THÔNG Cho đồ thị G=(X, U) vô hướng hay có hướng Ta định nghóa quan hệ sau tập đỉnh X: i, j X, i j (i=j hay có dây chuyền đỉnh đầu i đỉnh cuối j) Quan hệ nầy có ba tính chất: phản xạ, đối xứng bắc cầu nên quan hệ tương đương Do tập X phân hoạch thành lớp tương đương ta định nghóa: - thành phần liên thông đồ thị lớp tương đương xác định quan hệ nói trên; - số thành phần liên thông đồ thị làsố lượng lớp tương đương; - đồ thị liên thông đồ thị có thành phần liên thông Ví dụ (G) (H) Đồ thị (G) hình vẽ gồm thành phần liên thông, đồ (H) đồ thị liên thông GHI CHÚ: Khi đồ G gồm p thành phần liên thông G1, G2, …, Gp đồ thị Gi đồ thị G có dG(x) = dGi(x) với đỉnh x cuûa Gi _ Chương I Đại Cương Về Đồ Thị, trang I/9 Khoa Công Nghệ Thông Tin, Đại học Khoa học Tự nhiên _ * Thuật toán tìm thành phần liên thông (Depth first search): Giả sử đồ thị G=(X, E) gồm n đỉnh Thuật toán tóm tắt sau: - Bước Khởi tạo biến label=0 gắn nhãn cho tất đỉnh - Bước Lặp i=1, 2, …, n làm Nếu đỉnh i có nhãn label=label+1 Viếng vàgắn nhãn đỉnh i với nhãn label Cuối Cuối lặp i Thủ tục Visit (đỉnh i, nhãn label) - Gắn nhãn label cho đỉnh i - Với đỉnh j mà có cạnh nối i với j j có nhãn ta gọi đệ qui Visit(j, label) Chú ý: Khi thuật toán kết thúc đỉnh nằm thành phần liên thông se õđược gắn nhãn Trong đó, việc viếng gắn nhãn thực thủ tục đệ qui Visit sau: BÀI TẬP CHƯƠNG I PHẦN A VIẾT CHƯƠNG TRÌNH Viết chương trình nhập vào đồ thị vô hướng (tối đa 30 đỉnh), xác định xem đồ thị có liên thông hay không, đồ thị không liên thông in thành phần liên thông đồ thị Giả sử liệu nhập cho tập nầy ma trận kề lưu đóa dạng tệp văn ASCII theo qui ước sau: - Dòng tệp: lưu số đỉnh đồ thị - Từ dòng đến dòng n+1 tệp: dòng gồm n số có giá trị hay 1, dòng thứ i tệp dòng i-1 ma trận kề PHẦN B LÀM TRÊN GIẤY G đồ thị đơn, vô hướng cósố đỉnh n>3 Chứng minh G có chứa đỉnh bậc Đồ thị G có đỉnh bậc lẻ Chứng minh tồn dây chuyền nối hai đỉnh với Xét đồ thị G đơn, vô hướng gồm n đỉnh, m cạnh p thành phần liên thông a) Chứng minh: m (n-p)(n-p+1)/2, suy m > (n-1)(n-2)/2 G liên thông b) Một đồ thị đơn có 10 đỉnh, 37 cạnh có liên thông hay không? Đồ thị G đơn, vô hướng gồm n đỉnh d(x) (n-1)/2 với đỉnh x Chứng minh G liên thông Đồ thị vô hướng G liên thông gồm n đỉnh Chứng minh số cạnh G n-1 Xét đồ thị G vô hướng đơn Gọi x đỉnh có bậc nhỏ G Giả sử d(x) k với k nguyên dương Chứng minh G chứa chu trình sơ cấp coù _ Chương I Đại Cương Về Đồ Thị, trang I/10 Khoa Công Nghệ Thông Tin, Đại học Khoa học Tự nhieân _ chiều dài lớn hay k+1 G đồ thị vô hướng đơn Chứng minh G hay liên thông Cho G đồ thị vô hướng liên thông Giả sử C1 C2 là2 dây chuyền sơ cấp G có số cạnh nhiều Chứng minh C1 C2 có đỉnh chung G đồ thị vô hướng không khuyên d(x) với đỉnh x Chứng minh G có chứa chu trình với số cạnh chẵn _ Chương I Đại Cương Về Đồ Thị, trang I/11 ... j) U G, u U1 i, j X1 ̌ ĐỒ THỊ BỘ PHẬN Cho đồ thị G1=(X1, U1) đồ thị đồ thị G=(X, U) G1 gọi đồ thị phận G X=X1 ̌ ĐỒ THỊ CON SINH BỞI TẬP ĐỈNH Cho đồ thị G=(X, U) A X Đồ thị sinh tập A, ký hiệu... số lượng đỉnh có bậc lẻ đồ thị số chẳn I.4 ĐẲNG CẤU ĐỒ THỊ, ĐỒ THỊ CON, ĐỒ THỊ BỘ PHẬN ĐẲNG CẤU ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG Cho hai đồ thị vô hướng G1=(X1, E1) G2=(X2, E2) Hai đồ thị G1 G2 gọi đẳng cấu với... e4 e3 e1 e e6 e7 e9 Trong đồ thị trên, tất đồ thị G 1, G2, G3 (G3) e đồ thị đồ thị G Trong đóG đồ thị (con) e4 phận G, G3 đồ G sinh tập đỉnh e3 e7 {1, 2, 4, 5}, G1 đồ thị phận không sinh tập đỉnh