MụC LụC 2 Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục 3 2.1 Hàmsốsơcấp 3 2.1.1 Hàm thực một biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.2 Các hàm sơ cấp cơ bản và hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . 5 2.2 Giớihạnhàmsố 9 2.2.1 Các khái niệm về giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Tính chất và các phép toán về giới hạn hàm số . . . . . . 15 2.2.3 Vô cùng bé và vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Hàmliêntục 22 2.3.1 Khái niệm về hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Các tính chất của hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.3 Các phép toán trên các hàm liên tục . . . . . . . . . . . . 27 2.3.4 Hàm số liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 giải tích I Sách dùng cho sinh viên tr-ờng Đại học xây dựng và sinh viên các tr-ờng Đại học, Cao đẳng kĩ thuật 2 Ch-ơng 2 Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục 2.1 Hàm số sơ cấp 2.1.1 Hàm thực một biến số Định nghĩa 2.1.1 ánh xạ f : X R,X R,X = đ-ợc gọi là hàm số thực một biến số thực và gọi tắt là hàm một biến số. X đ-ợc gọi là tập xác định của hàm số f, kí hiệu D f = X. Tập ảnh f(X) R đ-ợc gọi là tập giá trị của hàm số f, kí hiệu R f = f(X). x D f đ-ợc gọi là biến độc lập hay đối số của hàm f, ảnh f(x) R f đ-ợc gọi là biến phụ thuộc hay hàm số. Để minh họa hàm f ứng mỗi x D f với phần tử xác định f(x) R f , ta th-ờng viết y = f (x) hay f : X R,x y = f (x). Ví dụ 2.1.1 1. ánh xạ đồng nhất f : R R,x x hoặc kí hiệu f(x)=x x R. f còn đ-ợc gọi là hàm đồng nhất trên R. 2. sign(x)= 1 nếu x>0 0 nếu x =0 1 nếu x<0 sign(x) đ-ợc gọi là hàm dấu . Hiển nhiên |x| = x sign(x). 3 4 Ch-ơng II. Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục 3. Hàm E(x)=[x], x R, trong đó [x] kí hiệu phần nguyên của x, là số nguyên lớn nhất không v-ợt quá x. Trong mặt phẳng dựng hai trục số thực x Ox, y Oy vuông góc nhau tại O, i, j là các véc tơ đơn vị của các trục x Ox, y Oy. Nếu quay véc tơ i theo chiều d-ơng (chiều ng-ợc với chiều kim đồng hồ) góc 90 0 mà chiều của i trùng với chiều của j , ta nói x Ox, y Oy lập thành hệ trục tọa độ Đề các thuận. Trong giáo trình này ta chỉ xét hệ trục tọa độ Đề các thuận và th-ờng gọi ngắn gọn xOy là hệ trục tọa độ Đề các. Đồ thị của hàm số f : X R trong hệ trục tọa độ Đề các là tập các điểm M(x, f (x)) R 2 với mọi x X. Ta th-ờng minh họa đồ thị hàm f là một đ-ờng cong vẽ trong hệ trục tọa độ Đề các. Cho ba tập hợp X R,Y R,Z R và các hàm số f : X Y, g : Y Z. Khi đó ánh xạ X Z x g(f(x)) đ-ợc gọi là hàm số hợp của g và f , kí hiệu hàm hợp đó là g f. (Chú ý đến thứ tự của các hàm f và g). Ví dụ 2.1.2 Cho hai hàm số f(x)=x 3 + x +1và g(x)=3x +2. Khi đó g f (x)=g f(x) =3f(x)+2=3(x 3 + x +1)+2=3x 3 +3x +5 f g (x)=f g(x) = g 3 (x)+g(x)+1=(3x +2) 3 +3x +2+1 Cho hai tập hợp X R,Y R và một song ánh f : X Y . Khi đó tồn tại ánh xạ ng-ợc của f , ta th-ờng gọi là hàm ng-ợc của hàm số f và kí hiệu f 1 : Y X 2.1 Hàm số sơ cấp 5 Nh- đã biết từ học phần tr-ớc, hàm ng-ợc của hàm số f cũng là một song ánh từ Y lên X, hệ thức cơ bản của hàm ng-ợc f 1 f (x)=x x X, f f 1 (y)=y y Y. Từ đây ta suy ra nếu điểm M(x, y) thuộc đồ thị hàm số f thì điểm M (y, x) thuộc đồ thị hàm ng-ợc f 1 . Trong hệ tọa độ Đề các, điểm M (x, y) và điểm M (y, x) đối xứng nhau qua đ-ờng phân giác y = x, suy ra đồ thị hàm số f và đồ thị hàm ng-ợc f 1 đối xứng nhau qua đ-ờng thẳng y = x. 2.1.2 Các hàm sơ cấp cơ bản và hàm sơ cấp Chúng ta đã làm quen với một số hàm sơ cấp cơ bản trong ch-ơng trình toán bậc phổ thông Hàm không đổi: f(x)=C x R. Hàm lũy thừa f : R + R + ,f(x)=x ( R là số thực cố định). Hàm lũy thừa f (x)=x là một song ánh từ R + lên R + , do vậy nó tồn tại hàm ng-ợc f 1 : R + R + ,f 1 (x)=x 1 , hàm ng-ợc f 1 cũng là hàm lũy thừa. Chú ý rằng ng-ời ta th-ờng quy -ớc Nếu N là số tự nhiên, miền xác định của hàm là toàn bộ R, chẳng hạn f(x)=x 3 xác định trên R. Nếu Z \N là số tự nhiên âm, miền xác định của hàm là tập R \{0}, ví dụ hàm f(x)=x 2 = 1 x 2 xác định với mọi x =0. Nếu R là số vô tỉ, miền xác định của hàm là tập R + . Ng-ời ta cũng quy -ớc, khi hàm lũy thừa đ-ợc viết d-ới dạng f (x)= n x m (m, n là các số nguyên), miền xác định của hàm tùy thuộc vào tính chẵn, lẻ của m, n. Chẳng hạn khi m 0 và n là số tự nhiên chẵn khi đó miền xác định của hàm là R + , tuy nhiên nếu n là số tự nhiên lẻ, miền xác định của hàm là toàn bộ R. Hàm số mũ f : R R + ,f(x)=a x (a>0,a =1). Hàm số mũ là một song ánh từ R lên R + , do vậy nó tồn tại hàm ng-ợc f 1 : R + R, kí hiệu 6 Ch-ơng II. Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục Hình 2.1: Hàm lũy thừa f 1 (x)=log a x. Ng-ời ta gọi hàm ng-ợc của hàm số mũ là hàm logarit. Nó thỏa mãn các hệ thức về hàm ng-ợc f 1 f (x)=x x R hay log a a x = x x R f f 1 (x)=x x R + hay a log a x = x x R + . Hình 2.2: Hàm mũ, hàm logarit Các hàm l-ợng giác sin x, cos x, tg x, cotg x chúng ta đã biết trong ch-ơng trình phổ thông. Bây giờ chúng ta sẽ lầ l-ợt làm quen với các hàm l-ợng giác ng-ợc Xét hạn chế của hàm sin x lên đoạn [ 2 , 2 ] sin : [ 2 , 2 ] [1, 1] là song ánh. Do vậy nó tồn tại hàm ng-ợc, kí hiệu arcsin arcsin :[1, 1] [ 2 , 2 ] 2.1 Hàm số sơ cấp 7 Hàm arcsin thỏa mãn các hệ thức về hàm ng-ợc arcsin(sin x)=x x [ 2 , 2 ] và sin(arcsinx)=x x [1, 1]. Xét hạn chế của hàm cos x lên đoạn [0,] cos : [0,] [1, 1] là song ánh. Do vậy nó tồn tại hàm ng-ợc, kí hiệu arccos arccos :[1, 1] [0,] Hàm arccos thỏa mãn các hệ thức về hàm ng-ợc arccos(cos x)=x x [0,] và cos(arccos x)=x x [1, 1]. Hình 2.3: Đồ thị hàm ng-ợc y = arcsin x và y = arccos x Xét hạn chế của hàm tg x lên khoảng ( 2 , 2 ) tg : 2 , 2 R là song ánh. Do vậy nó tồn tại hàm ng-ợc, kí hiệu arctg arctg : R 2 , 2 Hàm arctg thỏa mãn các hệ thức về hàm ng-ợc arctg(arctg x)=x x R và arctg(tg x)=x x ( 2 , 2 ). 8 Ch-ơng II. Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục Xét hạn chế của hàm cotg x lên khoảng (0,) cotg :(0,) R là song ánh. Do vậy nó tồn tại hàm ng-ợc, kí hiệu arccotg arccotg : R (0,) Hàm arccotg thỏa mãn các hệ thức về hàm ng-ợc cotg(arccotg x)=x x R và arccotg(cotg x)=x x (0,). Hình 2.4: Đồ thị hàm ng-ợc y = arctg x và y = arccotg x Các hàm nhận đ-ợc từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và phép hợp các hàm đ-ợc gọi là hàm số sơ cấp. Ví dụ 2.1.3 (Về các hàm số sơ cấp) f(x)=a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ããã+ a n x n n N,a k R k N. f(x)= a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ããã+ a n x n b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + ããã+ b m x m m, n N,a k ,b i R i, k N f(x)=a x 2 x+1 (a>0),f(x)=log 2 x 2 +3x +1 x +1 Các hàm hyperbolic là các hàm số sơ cấp đ-ợc sử dụng khá rộng rãi trong giải tích. Chúng đ-ợc định nghĩa nh- sau Hàm cosin hyperbol ch x = e x + e x 2 2.2 Giới hạn hàm số 9 Hàm sin hyperbol sh x = e x e x 2 Hàm tang hyperbol th x = sh x ch x = e x e x e x + e x Hàm cotang hyperbol th x = ch x sh x = e x + e x e x e x Các hàm hyperbolic có tính chất gần giống nh- các hàm l-ợng giác (bạn đọc tự chứng minh) sh(x + y)=sh x ch y + chx shy ch(x + y)=ch x ch y + sh x sh y sh(x y)=sh x ch y ch x sh y ch(x y)=ch x ch y sh x sh y ch 2 x sh 2 x =1, sh2x =2sh x ch x, ch2x = ch 2 x + sh 2 x Bài tập Chứng tỏ rằng hàm ng-ợc của hàm f(x)=sh x bằng f 1 (x) = ln(x + x 2 +1) x R, và hàm ng-ợc của hàm h(x)=ch x h 1 :[1, +) [0, +),h 1 (x) = ln(x + x 2 1). 2.2 Giới hạn hàm số 2.2.1 Các khái niệm về giới hạn hàm số Định nghĩa 2.2.1 Cho hàm số từ tập D R vào R: f : D R, x 0 là một điểm tụ của D. Ta nói L R là giới hạn của hàm f khi x x 0 và kí hiệu lim xx 0 f(x)=L, 10 Ch-ơng II. Hàm số, giới hạn hàm số và hàm liên tục nếu cho tr-ớc một lân cận U (L) tuỳ ý của L, tồn tại một lân cận U(x 0 ) của x 0 sao cho với mọi x U (x 0 ) D và x = x 0 f(x) U(L). Định nghĩa trên cũng có thể diễn đạt (d-ới dạng "ngôn ngữ ") nh- sau: Tr-ờng hợp L hữu hạn: lim xx 0 f(x)=L, nếu cho tr-ớc một số >0 tuỳ ý, tồn tại số = () > 0 ( phụ thuộc vào ) sao cho với mọi x thoả mãn x D và 0 < |x x 0 | <ta có |f(x) L| <. Tr-ờng hợp L =+: lim xx 0 f(x)=+, nếu cho tr-ớc một số K>0 tuỳ ý, tồn tại số = () > 0 sao cho với mọi x thoả mãn x D và 0 < |x x 0 | <ta có f(x) >K. Tr-ờng hợp L = : lim xx 0 f(x)=, nếu cho tr-ớc một số K>0 tuỳ ý, tồn tại số = () > 0 sao cho với mọi x thoả mãn x D và 0 < |x x 0 | <ta có f(x) < K. Chú ý rằng trong định nghĩa giới hạn, ta không quan tâm tới giá trị hàm số tại x 0 , chỉ xét các giá trị hàm f (x) tại các điểm x = x 0 . Do vậy hàm f(x) có thể không xác định tại chính điểm x 0 đó. [...]... 2.3.4 Ta n i hàm f gián đoạn lo i một t i x0 D nếu f gián đoạn (không liên tục) t i x0 , tồn t i các gi i hạn tr i, gi i hạn ph i lim f (x) = f (x0 ), xx0 + lim f (x) = f (x0 +) xx0 và các gi i hạn đó hữu hạn Khi đó f (x0 +) f (x0 ) đ-ợc g i là b-ớc nhảy của f t i i m x0 Tr-ờng hợp f gián đoạn t i x0 và không gián đoạn lo i một t i đó, ta n i f gián đoạn lo i hai t i x0 Ch-ơng II Hàm số, gi i hạn hàm... đoạn đó Nhờ kh i niệm gi i hạn ph i, gi i hạn tr i ta có kết quả sau Định lí 2.3.1 Nếu x0 D là i m tụ của D, i u kiện cần và đủ để f liên tục t i x0 là tồn t i gi i hạn tr i, gi i hạn ph i t i x0, các gi i hạn đó bằng nhau và cùng bằng f (x0 ) lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) xx0 + xx0 N i một cách ngắn gọn i u kiện cần và đủ để f liên tục t i x0 là nó liên tục tr i, liên tục ph i t i x0 D Định... bằng 2 (từ -1 đến +1) Vậy gi i hạn lim sin x không tồn t i x+ 5 1 Bạn đọc dễ dàng chứng minh lim x không tồn t i, song tồn t i gi i hạn x0 một phía 1 1 = +, lim = x0+ x x Các gi i hạn một phía đó bằng +, lim x0+ Định lí 2.2.2 Nếu hàm f : D R, khi x x0 có gi i hạn lim f (x) = L, khi đó xx0 gi i hạn của hàm là duy nhất Chứng minh Thật vậy giả thiết tiếp lim f (x) = L , v i L = L Chọn xx0 = |LL |... g(x) v i m i x D Giả sử x0 là i m tụ của D và tồn t i các gi i hạn lim f (x) = L1 , lim g(x) = L2 xx0 xx0 Khi đó L1 L2 Đặc biệt nếu hàm f bị chặn trên D (M |f (x)| M x D) và tồn t i gi i hạn lim f (x) = L, khi đó |L| M xx0 Từ nguyên lí chuyển đ i gi i hạn giữa hàm và dãy và định lí ?? về các phép toán giữa các dãy có gi i hạn, ta có định lí sau Định lí 2.2.4 Giả sử tồn t i các gi i hạn trong... đơn i u giảm Vậy tồn t i gi i hạn lim an = a, kéo theo n lim sin an = sin a Mặt khác an+1 = sin an suy ra n sin a = a hay a = 0 Tr-ờng hợp 1 x 0 n lần lần lim sin sin ã ã ã sin x = lim sin sin ã ã ã sin(x) = 0 n n 4 n Ta sẽ chứng minh các gi i hạn lim x+ x 1 x 1+ = lim 1+ x 1 x x = e Tr-ớc hết ta xét tr-ờng hợp x + Kí hiệu nx = [x] là phần nguyên của số thực x Ta có các bất đẳng thức sau v i m i. .. lí 2.2.5 ta đ-ợc sin x = 1 x0 x lim 2 lim sin x = sin a Thật vậy trong quá trình x a xa 0 | sin x sin a| = 2 cos 3 xa xa x+a sin 2 sin |x a| 0 2 2 2 V i x R bất kì, tìm gi i hạn của dãy số lần a = lim sin sin ã ã ã sin x n n lần Đặt an = sin sin ã ã ã sin x Do | sin x| 1 nên ta có quyền giả thiết |x| 1 n 2.2 Gi i hạn hàm số 19 Xét tr-ờng hợp x > 0, khi đó từ bất đẳng thức sin x < x suy ra an... x0 là một i m tụ của D Giả thiết rằng tồn t i một lân cận U (x0 ) của x0 sao cho v i m i x = x0 trong lân cận đó f (x) h(x) g(x) Nếu lim f (x) = lim g(x) = L xx0 xx0 khi đó tồn t i gi i hạn lim h(x), đồng th i xx0 lim h(x) = L xx0 Định lí 2.2.6 (Gi i hạn hàm đơn i u) Cho hàm đơn i u tăng f : (a, b) R, x0 là một i m bất kì thuộc khoảng (a, b) Khi đó tồn t i các gi i hạn một phía lim f (x) = sup... R là i m tụ của D Gi i hạn lim f (x) tồn t i và hữu hạn trong quá trình x x0 khi và chỉ khi cho tr-ớc xx0 > 0 tuỳ ý, tồn t i = ( ) > 0 sao cho v i m i x, y D và 0 < |x x0 | < , 0 < |y x0 | < (x, y = x0 và thuộc lân cận U (x0 )) ta có |f (x) f (y)| < ( i u kiện đó còn đ-ợc g i là i u kiện Cauchy) Ch-ơng II Hàm số, gi i hạn hàm số và hàm liên tục 18 Chứng minh i u kiện cần Giả sử lim f (x)... = 1 , khi đó v i m i x > K ta có Hoàn toàn t-ơng tự lim 1 1 sin x sin x 0 < < = U (0) x |x| K x 2.2 Gi i hạn hàm số 3 13 lim sin x = 0 Thật vậy cho tr-ớc một lân cận bán kính x0 > 0 tuỳ ý U (0) = ( , + ) của 0, chọn số = , khi đó v i m i x U (0), x = 0 hay 0 < |x| < ta có | sin x 0| < |x| = sin x U (0) 4 Tuy nhiên không tồn t i gi i hạn lim sin x Thật vậy giả sử x+ lim sin x = L, x+ Khi đó (chọn... và hàm liên tục 24 Định lí 2.3.2 Hàm đơn i u trên khoảng (a, b) chỉ có thể có i m gián đoạn lo i một Chứng minh Giả thiết f là hàm đơn i u trên khoảng (a, b) Suy ra tồn t i các gi i hạn tr i, gi i hạn ph i f (x0 ), f (x0+) và các gi i hạn đó hữu hạn Vậy các i m gián đoạn của hàm đơn i u chỉ có thể là gián đoạn lo i một Nhận xét rằng cũng từ chứng minh của định lí trên suy ra hàm đơn i u trên . <. ( i u kiện đó còn đ-ợc g i là i u kiện Cauchy). 18 Ch-ơng II. Hàm số, gi i hạn hàm số và hàm liên tục Chứng minh i u kiện cần. Giả sử lim xx 0 f(x)=L về gi i hạn hàm số Các tính chất sau là hiển nhiên, bạn đọc tự chứng minh: Nếu tồn t i gi i hạn hữu hạn lim xx 0 f(x)=L 16 Ch-ơng II. Hàm số, gi i hạn