PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRÊN R, Q, N (FUNCTION EQUATION) Trong các kì thi học sinh giỏi thường có bài toán giải phương trình hàm ,trong đó có một số không nhỏ các bài qui về xác định tính cộng,nhân của hàm số. Chuyên đề này kai thác các tính chất của hàm cộng tính, nhân tính để giải các PTH trong các kì thi HSG trong nước và nước ngoài BT1 : Cho hàm f : R → R thoả mãn f(x + y) = f(x) + f(y) với ∀ x, y ∈ R (f được gọi là hàm cộng tính trên R) và không phải là hàm hằng .Chứng minh các mệnh đề sau tương đương a) f(x) liên tục tại x 0 b) f (x) = ax ( a ≠ 0) c) f đơn điệu trên (c; d) d) f giới nội trên (c; d) Giải: a) ⇒ b) Ta chứng minh f liên tục trên R .Với x 1 bất kì ,lấy dãy (x n ) hội tụ tới x 1 Cho n → +∞ : x n - x 1 + x 0 → x 0 , do f liên tục tại x 0 nên +∞→n lim f(x n - x 1 + x 0 ) = +∞→n lim [f(x n ) - f(x 1 ) + f(x 0 )] = +∞→n lim f(x n ) - f(x 1 ) + f(x 0 ) = f(x 0 ) ⇒ +∞→n lim f(x n ) = f(x 1 ) Vậy f liên tục trên R Vì f cộng tính trên R nên f(x) = ax (1) với ∀ x ∈ Q, a ∈ R * (Bạn đọc hãy chứng minh TC nầy) Với x bất kì, lấy dãy (y n ) ⊂ Q hội tụ tới x.Ta có: +∞→n lim f(y n ) = +∞→n lim (ay n ) = ax (theo (1)) +∞→n lim f(y n ) = f(x) (do f liên tục trên R) ⇒f(x) = ax b) ⇒ c) và c) ⇒ d) là đương nhiên.Ta chứng minh d) ⇒ a) Ta chỉ cần CM cho c > 0 Ta có m < f(x) < M ⇒ n m < f( n x ) < m M (n ∈ N * , x ∈ (c; d) ) Cho n → +∞ : n m → 0, m M → 0, y = n x → 0 + ⇒ + →0y lim f(y) = 0 = f(0) ⇒ f liên tục bên phải tại 0 Do f làhàm lẽ (Bạn đọc hãy chứng minh TC nầy) ⇒ f liên tục bên trái tại 0 ⇒ f liên tục tại tại x = 0 . Chứng minh tương tự như a ta có f liên tục trên R Nếu f là hàm hằng ta dễ dàng CM được f(x) ≡ 0 BT2 : Tìm hàm f : R → R thoả mãn f(xy) = f(x)f(y) với ∀ x, y ∈ R (f được gọi là hàm nhân tính trên R ) và liên tục tại x 0 > 0 HD : Ta có : f(0) = 0 hoặc f(0) = 1; f(1) = 0 hoặc f(1) = 1 a) f(1) = 0 : f(x) ≡ 0 (nhận) b) f(1) = f(0) = 1 f(x) = f(x).f(1) = f(x)f(0) = f(0) ≡ 1 (nhận) c) f(0) = 0 và f(1) = 1 x ≠ 0: f(x)f( x 1 ) = f(1) = 1 ⇒ f(x) ≠ 0 x > 0 : f(x) = [f( x )] 2 > 0 Xét hàm g :R→ R : g(x) = ln[f(e x )]⇒ g là hàm cộng tính trên R f (x) liên tục tại x 0 > 0 ⇒ g(x) liên tục tại x 1 = lnf(x 0 ) .Theo BT 1a, b ⇒ g(x) = ax ⇒ f(e x ) = (e x ) a ⇒ f(x) = x a với x > 0 *) Nếu f(-1) = -1 : f(x) = -f(-x) = -(-x) a với x < 0 *) Nếu f(-1) = 1 : f(x) = f(-x) = (-x) a với x < 0 Vậy f(x) =        < = > 0x neáu x- 0x neáu 0 0x neáu x a a ; f(x) =      = ≠ 0x neáu 0 0x neáu x a (nhận) Bạn đọc hãy giải BT trên khi thay đổi giả thiết “liên tục tại x 0 > 0” bởi “f giới nội trên (c; d) với c > 0” hoặc “f đơn điệu trên (c; d) với c > 0” hoặc “f tăng trên (c; d) với c > 0” BT3 : Xác định hàm f có tính nhân và tính cộng trên R HD: a) f(1) = 0 : f(x) ≡ 0 (nhận) b) f(1) = 1 và f(0) = 0 Theo CM ở BT1 ta có x > 0 : f(x) > 0 x > y ⇒ f(x - y) = f(x) - f(y) > 0 ⇒ f tăng trên R . Theo BT 1c ⇒ f(x) = ax (a > 0) Mặt khác f(x.y) = f(x)f(y) ⇒ axy = a 2 xy⇒ a = 1 ⇒ f(x) = x (nhận) BT4 : Tìm hàm f : R * → R thoả mãn f(xy) = f(x) + f(y) với ∀ x, y ∈ R * (tạm gọi f là hàm nhân –cộng tính trên R * ) và liên tục tại x 0 > 0 HD : g : R → R : g(x) = f(e x ) ⇒g là hàm cộng tính trên R , liên tục tại f(x 0 ) ⇒ g(x) = ax ⇒ f(e x ) = ax = a.lne x ⇒ f(x) = a.lnx nếu x > 0 Ta có: f(1) = 0 ; f(-1) = 0 ⇒ f(x) = f(-x) ⇒ f(x) = f(-x) = a.ln(-x) với x < 0 Vậy f(x) = a.lnx (nhận) BT5:Tìm hàm f : R → R thoả mãn f(x + y) = f(x)f(y) với ∀ x, y ∈ R( tạm gọi f là hàm cộng –nhân tính trên R) và liên tục tại x 0 HD : f(0) = 0 hoặc f(0) = 1 a) f(0) = 0 : f(x) = f(x + 0) = f(0)f(x) ≡ 0 (nhận) b) f(0) = 1 1 = f(x + (-x)) = f(x)f(-x) ⇒ f(x) ≠ 0 với mọi x f(x) = f( 2 x + 2 x ) = [f( 2 x )] 2 > 0 g : R →R : g(x) = ln(f(x)) ,hàm g cộng tính trên R và liên tục tại ln(f(x 0 )) ⇒ g(x) = ax ⇒ ln(f(x)) = ax ⇒f(x) = e ax (nhận) BT6 : Hàm f : R * + → R * + có tính nhân và f(f(x)) = x với ∀ x ∈ R * + . Chứng minh a) Nếu f liên tục trên R * + thì f(x) = x hoặc f(x) = x 1 b)Các mệnh đề sau tương đương i) f(x) = x ii) + →ox lim f(x) = 0 iii) +∞→x lim f(x) = +∞ c) Các mệnh đề sau tương đương i) f(x) = x 1 ii) + →ox lim f(x) = +∞ iv) +∞→x lim f(x) = 0 HD: a)Lập hàm g : R→ R : g(x) = ln[f(e x )], g có tính cộng và liên tục trên R b)Ta chứng minh iii) ⇒ i) Cho x > 1 : f(x n ) = f n (x) → +∞ khi n → +∞ ⇒ f(x) > 1 Gỉa sử y > x >0 : f( x y ) = )x(f )y(f > 1 ⇒ f(y) > f(x) ⇒ f tăng trên R * + Lập hàm g : R → R : g(x) = ln[f(e x )], g có tính cộng và tăng trên R, theo BT1c ⇒ g(x) = ax với a > 0 ⇒ f(e x ) = (e x ) a ⇒ f(x) = x a . Từ f(f(x)) = x ⇒ a = 1 Một số bài tập và đề thi : 1) Tìm hàm f : R → R liên tục và thoả mãn : f(0) = 0 ;∀ x, y ∈ R mà x - y ∈ Q ⇒ f(x) - f(y) ∈ Q HD : Chứng minh f(x) cộng tính và liên tục trên R. ĐS : f(x) = ax với a ∈ Q 2)Tìm hàm f : R → R thoả mãn : f(x + f(y)) = y + f(x) ∀ x, y ∈ R ; Tập { x )x(f / x ≠ 0}là tập hữu hạn (Vô địch Singapor 97). HD : Từ f(x + f(y)) = y + f(x) ∀ x, y ∈ R hãy chứng minh f có tính cộng trên R Từ { x )x(f / x ≠ 0}là tập hữu hạn suy ra f giới nội trên (c; d) với c > 0. ĐS : f(x) = ±x 3)Tìm hàm f : R * + → R * + thoả mãn f(xf(y)) = yf(x) với ∀ x, y ∈ R * + và +∞→x lim f(x) = 0 (TH &TT) HD : Đặt x = yf(1) ⇒ f(f(x)) = f(f(yf(1))) = f(1.f(y)) = yf(1) = x với ∀ x ∈R * + f(uv) = f(uf(f(v))) = f(v)f(u) ∀ u, v ∈ R * + . Theo BT6 : f(x) = x 1 4)Tìm tất cả các hàm f, g : R → R thoả mãn: *)Nếu x < y thì f(x) < f(y) *)Với ∀ x, y ∈ R thì f(xy) = g(y)f(x) + f(y) (Vô địch Hàn Quốc 98) HD : Hãy chứng minh g là hàm nhân tính và tăng trên R ĐS : g(x)=      < ≥ 0x neáu x- 0x neáu x a a ; f(x) = c(1 - g(x)) với a, c > 0 5) Tìm hàm f : R → R thoả mãn : f(x + y) + f(xy) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) với∀ x, y ∈ R HD: CM f vừa có tính cộng vừa có tính nhân 6) Tìm hàm f : R → R thoả mãn: (f(x) + f(z))(f(y) + f(t)) = f(xy - zt) + f(xt + yz) với∀ x, y, z, t ∈ R (IMO 2002) 7) Tìm tất cả các hàm f(x) xác định trên (0; +∞) ,có đạo hàm tại x = 1 và thoả mãn: f(xy) = x f(y) + y f(x) với ∀x, y ∈ (0; +∞) (TH&TT) HD : Đặt g(x) = x )x(f , g là hàm nhân - cộng tính trên (0; +∞) . ĐS : f(x) = a x lnx (a ∈ R) 8)Tìm tất cả các đa thức hai biến P(x; y) thoả mãn ba điều kiện: a) P(tx; ty) = t n+2 P(x; y) ∀ x, y, t ∈ R ; n ∈ N b) P(1; 0) = 1 c) P(y + z; x) + P(z + x; y) + P(x + y; z) = 0 với ∀ x, y, z ∈ R HD : Đặt f(x) = P(x; 1 - x) + 2. Hãy chứng minh f cộng tính và liên tục trên R ĐS : P(x; y) = (x + y) n+1 (x - 2y) với n ∈ N Nguyễn Ngọc Khoa-Gv Tr.PTTH Chuyên Lê Khiết-Quảng Ngãi . PHƯƠNG TRÌNH HÀM TR N R, Q, N (FUNCTION EQUATION) Trong các kì thi học sinh giỏi thường có bài to n giải phương trình hàm ,trong đó có một số không nhỏ. định tính cộng,nh n của hàm số. Chuy n đề n y kai thác các tính chất của hàm cộng tính, nh n tính để giải các PTH trong các kì thi HSG trong n ớc và n ớc