... Write z1 = x1 + iy1 and z2 = x2 + iy2 Then |z1 + z2|2 = (x1+x2)2 + (y1+y2)2 = x12 + x22 + 2x1x2 + y12 + y22 + 2y1y2 On the other hand, (|z1| + |z2|)2= |z1|2 + 2|z1||z2| + |z2|2 = x12 + x22 + y12 ... y12 + y22 + 2|z1||z2| Subtracting, (|z1| + |z2|)2 - |z1 + z2|2 = 2|z1||z2| - 2(x1x2 + y1y2) = 2[|(x1,y1)||(x2,y2)| - (x1,y1).(x2,y2)] (in vector form) = 2[|(x1,y1)||(x2,y2)| - |(x1,y1)||(x2,y2)| ... r2(cosứ2 + i sinứ2), then z1z2 = r1r2(cos 1 + i sin 1) (cosứ2 + i sinứ2) = r1r2[(cosứ1cosứ2 - sinứ1sinứ2) + i (sinứ1cosứ2 + cosứ1sinứ2) z1z2 = r1r2[[ cos( 1+ ứ2) + i sin( 1+ ứ2)] Thus That is, we multiply...