4 randall d knight physics for scientists and engineers a strategic approach with modern physics 07

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 1 Part 4 pptx

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 1 Part 4 pptx
... approximate sin (1) , 13 15 1 + ≈ 0.8 41 6 67 12 0 10 7 To see that this has the required accuracy, sin (1) ≈ 0.8 41 4 71 Solution 3 .19 Expanding the terms in the approximation in Taylor series, ∆x3 ∆x4 ∆x2 f ... Example 4. 4 .1 Consider the partial fraction expansion of + x + x2 (x − 1) 3 The expansion has the form a0 a1 a2 + + (x − 1) (x − 1) x 1 127 The coefficients are (1 + x + x2 )|x =1 = 3, 0! d a1 = (1 + ... − x→0 10 9 x =0 c ln lim x→+∞ 1+ x x = lim x→+∞ = lim x→+∞ = lim x→+∞ = lim ln + 1/ x 1+ x→+∞ 1+ =1 Thus we have lim x→+∞ 1+ 11 0 x x 1 x − x2 1/ x2 x→+∞ = lim x ln 1+ x x ln + x x = e x 1 d It...
  • 40
  • 154
  • 0

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 2 Part 4 ppsx

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 2 Part 4 ppsx
... continuously deformed to C2 on the domain where the integrand is analytic Thus the integrals have the same value 5 14 -4 -2 -2 -4 Figure 11 .2: The contours and the singularities of 3z +1 -6 -4 -2 -2 -4 -6 ... , C2 and C2 C z dz = z3 − C1 z− + √ C2 z− C3 z− + = 2 + 2 + 2 z− √ √ √ z− z− z √ dz e 2 /3 z − e− 2 /3 z √ √ dz 2 /3 z − 9e z − e− 2 /3 z √ √ dz z − e 2 /3 z − e− 2 /3 z− 9 √ z e 2 /3 ... deform C onto C1 and C2 = C + C1 520 C2 -4 C1 C2 -2 C -2 -4 Figure 11.5: The contours for (z +z+ı) sin z z +ız We use the Cauchy Integral Formula to evaluate the integrals along C1 and C2 ...
  • 40
  • 147
  • 0

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 3 Part 4 pot

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 3 Part 4 pot
... 4x3 To check the theorem, d x x2 d ∆[A(x)] = dx dx x2 x4 2x x x2 = + 2x 4x3 x x = x4 − 2x3 + 4x4 − 2x3 = 5x4 − 4x3 16 .4. 2 The Wronskian of a Set of Functions A set of functions {y1 , y2 , ... Example 16 .4. 1 Consider the the matrix A(x) = x x2 x2 x4 The determinant is x5 − x4 thus the derivative of the determinant is 5x4 − 4x3 To check the theorem, d x x2 d ∆[A(x)] = dx dx x2 x4 2x x ... [¯] = y 9 03 For the same reason, if yp is a particular solution, then yp is a particular solution as well Since the real and imaginary parts of a function y are linear combinations of y and y ,...
  • 40
  • 155
  • 0

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 1 docx

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 1 docx
... differential equation as ∞ w = c1 z 3 /4 1+ n =1 n 16 ∞ zn n!(n + 1) ! + c2 z 1 /4 n =1 ∞ c1 z 3 /4 + c2 z 1 /4 1+ n =1 23.2 .1 1+ 16 n 16 n zn n!(n + 1) ! zn n!(n + 1) ! Indicial Equation Now let’s ... c2 = (1 − c1 r1 ) r2 We substitute this into the second equation (1 − c1 r1 )r2 = r2 c1 (r1 − r1 r2 ) = − r2 c r1 + 11 81 n c1 = = = − r2 − r1 r2 r1 √ 1 √ √ 1+ 5 √ 1+ √ √ 1+ 5 1 =√ Substitute ... 31 an = 2(n 1) /2 (n − 2)(n − 4) · · · (1) For the even terms, a2 = a4 = 22 a6 = 42 an = 2(n−2)/2 (n − 2)(n − 4) · · · (2) Thus an = 2(n 1) /2 (n−2)(n 4) ··· (1) 2(n−2)/2 (n−2)(n 4) ···(2) 11 83 for...
  • 40
  • 113
  • 0

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 2 pps

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 2 pps
... + x + x2 /2 + O(x3 ))(x + a2 x2 + a3 x3 + O(x4 )) = (2a2 x + 6a3 x2 ) + (2x + 4a2 x2 ) + (6x + 6(1 + a2 )x2 ) = O(x3 ) = 17 a2 = 4, a3 = 17 y1 = x − 4x2 + x3 + O(x4 ) Now we see if the second ... yields z= t dz = − dt t d d = −t2 dz dt w + d2 d d = −t2 −t2 dz dt dt d d = t4 + 2t3 dt dt 1 24 0 The equation for u is then t4 u + 2t3 u + (2t + 3t2 )(−t2 )u + t2 u = u + −3u + u = t We see that ... − a0 (2n)(2n − 2) · · · · a0 = (−1)n n , n≥0 m=1 2m = (−1)n a2n−1 2n + a2n−3 = (2n + 1)(2n − 1) a2n+1 = − a1 (2n + 1)(2n − 1) · · · · a1 = (−1)n n , n≥0 m=1 (2m + 1) = (−1)n If {w1 , w2 } is...
  • 40
  • 70
  • 0

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 3 pdf

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 3 pdf
... 10−29 4. 14 × 10 37 2.09 × 10 45 One Term Relative Error 0 .32 03 0.1 044 0.0507 0.0296 0.0192 0.0 135 0.0100 0.0077 0.0061 0.0 049 Three Term Relative Error 0. 649 7 0.0182 0.0020 3. 9 · 10 4 1.1 · 10 4 3. 7 ... = x 3x2 − P2 (x) = 5x − 3x P3 (x) = 35 x4 − 30 x2 + P4 (x) = Expanding cos(πx) in Legendre polynomials cos(πx) ≈ cn Pn (x), n=0 and calculating the generalized Fourier coefficients with the formula ... even for fairly small values of x 24. 3 Integration by Parts Example 24. 3. 1 The complementary error function erfc(x) = √ π 12 63 ∞ e−t dt x 1.75 1.5 1.25 0.75 0.5 0.25 Figure 24. 1: Plot of K0 (x) and...
  • 40
  • 128
  • 0

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 4 docx

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 4 docx
... the eigenvalues as λn and the eigenfunctions as φn for n ∈ Z+ For the moment we assume that λ = is not an eigenvalue and that the eigenfunctions are real-valued We expand the function f (x) ... compute the eigenvalues However, we can often use the formula to obtain information about the eigenvalues before we solve a problem Example 27 .4. 2 Consider the self-adjoint eigenvalue problem −y ... equation formally self-adjoint xy + y + xy = d (xy ) + xy = dx Result 27.2.1 If L = L∗ then the linear operator L is formally self-adjoint Second order formally self-adjoint operators have the form...
  • 40
  • 131
  • 0

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 5 pdf

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 5 pdf
... not a good approximation 13 54 0 .5 -1 0 .4 0.2 -0 .5 0 .5 -1 -0 .5 0 .5 -0 .5 -0.2 -1 -0 .4 Figure 28.7: Three Term Approximation for a Function with Jump Discontinuities and a Continuous Function A ... -1 0 .5 -0 .5 0 .5 1 .5 -1 -0 .5 0 .5 -0 .5 -0 .5 -1 1 .5 -1 Figure 28.3: A Function Defined on the range −1 ≤ x < and the Function to which the Fourier Series Converges bn = = = 3/2 3 f (x) sin −1 5/ 2 ... + for − < x < −1/2 for − 1/2 < x < 1/2 for 1/2 < x < 1 355 0 .5 0.2 0.1 -1 -0 .5 0 .5 0. 25 0.1 -0.1 -0.2 0.1 Figure 28.8: Three Term Approximation for a Function with Continuous First Derivative and...
  • 40
  • 72
  • 0

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 6 pps

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 6 pps
... Parseval’s theorem for this series to find the value of ∞ 16 n=1 π 1 = n6 π −π ∞ 16 n=1 ∞ n=1 x3 π − x 3 16 = n6 945 6 = n6 945 13 76 ∞ n=1 n6 dx Solution 28.2 We differentiate the partial sum of ... 16 = n4 π n=1 ∞ π x4 dx −π 2π 2π + 16 = n4 n=1 ∞ n=1 4 = n4 90 1375 Now we integrate the series for f (x) = x2 x ξ2 − ∞ π2 3 dξ = n=1 ∞ (−1)n n2 x cos(nξ) dξ x π (−1)n − x =4 sin(nx) 3 n3 n=1 ... = π 4( −1)n = n2 a0 = Thus the Fourier series is ∞ π2 (−1)n x = +4 cos(nx) for x ∈ (−π π) n2 n=1 ∞ n=1 n4 We apply Parseval’s theorem for this series to find the value of ∞ 2π 1 + 16 = n4 π...
  • 40
  • 148
  • 0

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 7 docx

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 7 docx
... eigenvalues and eigenfunctions for: d4 φ = λφ, dx4 φ(0) = φ (0) = 0, φ(1) = φ (1) = Hint, Solution 144 2 29.5 Hints Hint 29.1 Hint 29.2 Hint 29.3 Hint 29 .4 Write the problem in Sturm-Liouville form to ... = 0, λ = 1 /4 is not an eigenvalue 144 9 Now consider the case λ = 1 /4 A set of solutions is √ (x + 1)(1+ 1 4 )/2 , (x + 1)(1− √ 1 4 )/2 We can write this in terms of the exponential and the logarithm ... p0 y = µy, for a ≤ x ≤ b, α1 y(a) + α2 y (a) = 0, β1 y(b) + β2 y (b) = 0, where the pj are real and continuous and p2 > on [a, b], and the αj and βj are real can be written in the form of a regular...
  • 40
  • 136
  • 0

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 8 potx

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 8 potx
... s 146 8 From part (a) we know that there are only positive eigenvalues The general solution of the differential equation is φ = c1 cos(λ1 /4 x) + c2 cosh(λ1 /4 x) + c3 sin(λ1 /4 x) + c4 sinh(λ1 /4 x) ... conditions c1 sin(λ1 /4 ) + c2 sinh(λ1 /4 ) = −c1 λ1/2 sin(λ1 /4 ) + c2 λ1/2 sinh(λ1 /4 ) = We see that sin(λ1 /4 ) = The eigenvalues and eigenfunctions are λn = (nπ )4 , φn = sin(nπx), 146 9 n ∈ N Chapter ... r≤ √ Thus the smallest zero of J0 (x) is less than or equal to ≈ 2 .44 94 (The smallest zero of J0 (x) is approximately 2 .40 483 .) (1 Solution 29.9 We assume that < l < π Recall that the solution...
  • 40
  • 102
  • 0

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 9 docx

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers Episode 4 Part 9 docx
... the answer for ν = 0? Hint, Solution 1 49 9 Exercise 31.12 Find the inverse Laplace transform of ˆ f (s) = s3 − 2s2 +s−2 with the following methods ˆ Expand f (s) using partial fractions and then ... transform to find y(t) We could expand the right side in partial fractions and then use a table of Laplace transforms Since the function is analytic except for 15 29 isolated singularities and vanishes ... Laplace transform of y (s) by first finding its partial fraction expansion ˆ s/3 s/3 s − + +1 s +4 s +1 s/3 4s/3 + =− s +4 s +1 y(t) = − cos(2t) + cos(t) 3 y (s) = ˆ s2 Example 31 .4. 3 Consider...
  • 40
  • 101
  • 0

Xem thêm

Từ khóa: Tạo động lực làm việc cho người lao động tại Tổng công ty Tài nguyên và Môi trường Việt NamThực trạng đào tạo ngành Việt Nam học ở Việt Nam hiện nayluận văn thạc sĩ kế toán doanh thu, chi phí và xác định kết quả kinh doanh tại công ty cổ phần LILAMAluận văn thạc sĩ kế toán doanh thu,chi phí và xác định kết quả tại tổng công ty viễn thông toàn cầuluận văn thạc sĩ kế toán hàng tồn kho tại công ty TNHH sản xuất thƣơng mại và dịch vụ anh nguyênluận văn thạc sĩ kế toán hàng tồn kho tại công ty TNHH sản xuất thương mại và dịch vụ anh nguyênluận văn thạc sĩ kế toán hoạt động nhập khẩu hàng hóa tại công ty cổ phần công nghiệp và thƣơng mại việt thắng VNPluận văn thạc sĩ kế toán quản trị chi phí sản xuất và giá thành sản phẩm xây dựng tại công ty cổ phần công trình hàng khôngluận văn thạc sĩ kế toán quản trị chi phí tại công ty cổ phần giầy hải dƣơngluận văn thạc sĩ kế toán quản trị doanh thu, chi phí và kết quả kinh doanh tại công ty trách nhiệm hữu hạn một thành viên đầu tƣ và phát triển nông nghiệp hà nộiluận văn thạc sĩ kế toán tài sản cố định tại công ty cổ phần xi măng bỉm sơnluận văn thạc sĩ kế toán tài sản cố định tại viện hàn lâm khoa học xã hội việt namluận văn thạc sĩ kiểm soát chi thƣờng xuyên ngân sách nhà nƣớc đối với đơn vị sự nghiệp công lập thực hiện cơ chế tự chủ tài chính qua kho bạc nhà nƣớc phúc thọ hà nộiluận văn thạc sĩ nâng cao chất lƣợng nhân lực của công ty TNHH dịch vụ chuỗi cung ứng DHL việt nam chi nhánh bắc ninhluận văn thạc sĩ nâng cao chất lƣợng nhân lực tại văn phòng tổng công ty thép việt namluận văn thạc sĩ nâng cao hiệu quả sử dụng vốn kinh doanh tại công ty cổ phần dịch vụ đồng xuân hải dƣơngluận văn thạc sĩ phát triển chiến lƣợc marketing của công ty trách nhiệm hữu hạn la vie – chi nhánh hà nộiluận văn thạc sĩ phát triển cho vay tiêu dùng tại ngân hàng hợp tác xã việt nam– chi nhánh phú thọluận văn thạc sĩ phát triển dịch vụ môi giới chứng khoán tại công ty cổ phần chứng khoán bảo việt (BVSCluận văn thạc sĩ nâng cao năng lực cạnh tranh marketing của công ty trách nhiệm hữu hạn một thành viên thông tin m1 thuộc tập đoàn viễn thông quân đội
Đăng ký
Đăng nhập