Toán Cao Cấp Đại Số Tuyến Tính Dành Cho SV Năm 1

Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 1 - PGS TS Vinh Quang

... = a 11 a22 a33 +a12 a23 a 31 +a13 a 21 a32 −a13 a22 a 31 −a 11 a23 a32 −a12 a 21 a33 (2) Công thức khai triển ( ) thường đuợc nhớ theo quy tắc Sarrus sau : Ví dụ : 1 −2 1 = [( 1) (−2).4 + 2 .1. ( 1) ... (-2 ) cộng vào dòng Nhân dòng với ( -1 ) cộng vào dòng Định thức cho (Tính chất 2.6 ) 1 1 1 1 1 1 1 −4 0 1 Khai triển theo cột = 1 1 1 −4 1 1 1 2 Để tính định thức cấp 4, ta lại chọn ... − a12 a 21 (1) • Cho A ma trận vuông cấp :   a 11 a12 a13 A =  a 21 a22 a23  a 31 a32 a33 định thức (cấp 3) A số ký hiệu det A (hoặc |A|), xác định sau : det A = a 11 a12 a13 a 21 a22 a23 a 31 a32...

7
1,170
33

Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 2 - PGS TS Vinh Quang

... sin(α1 + 2 ) sin( 2 + α1 ) sin 2 2 ) sin(αn + α1 ) sin(αn + 2 ) sin(α1 + αn ) sin( 2 + αn ) sin 2 n Bài giải: Với n ta có:  sin 2 1 sin(α1 + 2 )  sin( 2 + α1 ) sin 2 2 A=  ... + x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 + xn y1 + xn y2 ta có:  + x1 y1  + x2 y1 A=  + xn y1  x1  x2  =  x3   xn + x1 y2 + x2 y2 + xn y2 0 0 0 + x1 yn + x2 yn + xn yn ... abDn 2 với n (∗) Do đó: Dn − aDn−1 = b(Dn−1 − aDn 2 ) Công thức với n nên ta có Dn − aDn−1 = b(Dn−1 − aDn 2 ) = b2 (Dn 2 − aDn−3 ) = · · · = bn 2 (D2 − aD1 ) Tính toán trực tiếp ta có D2 = a2 + b2...

Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 3 - PGS TS Vinh Quang

... cột (3) với cộng vào cột (1), ta có: VT = (1) = 2a1 b1 + c1 c1 + a1 2a2 b2 + c2 c2 + a2 2a3 b3 + c3 c3 + a3 a1 b + c c a2 b + c c a3 b + c c a1 b + c = a2 b + c a3 b + c a1 b (2) = a2 b a3 b c ... (-1 ) cộng vào cột (3) (2) : Định thức có cột tỷ lệ Tính định thức + a1 a2 a3 a1 + a2 a3 a1 a2 + a3 a1 a2 a3 an an an + an Giải : + a1 + + an a2 a3 + a1 + + an + a2 a3 ... có công thức truy hồi : Dn = 5Dn−1 − 6Dn−2 (*) (n ≥ 3) Từ (*) ta có : Dn − 2Dn−1 = 3( Dn−1 − 2Dn−2 ) Do công thức với n ≥ nên ta có: Dn −2Dn−1 = 3( Dn−1 −2Dn−2 ) = 32 (Dn−2 −2Dn 3 ) = = 3n−2...

Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 4 - PGS TS Vinh Quang

...  A −→2   −3 −2 −3 4  −2   −3  d3 ↔4d2 +d3   −→  22 28 26  d4 →3d 2+d4  0 22 28 26  −3 d3 →3d1 +d3  −→   4 10 12 d4 →2d1 +d4 −3 13 16  −3  d4 →−d1 +d4  −→  0 22 28 0 0 Vậy ... thang số dòng khác không Cần lưu ý bạn đọc rằng: kỹ đưa ma trận dạng bậc thang phép biến đổi sơ cấp kỹ bản, cần thi t không việc tìm hạng ma trận mà cần để giải nhiều toán khác Đại số tuyến tính ... vậy, D4,1 = −1 2 3 1 D4,2 = −1 2 1 Cả định thức Do rank A = Chú ý Có thể nhận xét dòng (4) ma trận A tổ hợp tuyến tính dòng (1) dòng (2); dòng (4) = dòng (1) - dòng (2), nên dễ dàng thấy D4,1 =...

9
1,081
28

Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 5- PGS TS Vinh Quang

... dn→−d2+dn  1 0 0 0       rankA = Vậy rankA = n x = rankA = x = 21) Tìm hạng ma trận vuông cấp n:  a b b  b a b  b a A= b   b b b b b b a       Giải:  a + (n − 1)b...

Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 6 - PGS TS Vinh Quang

... y n1 n2 nn n n (2) x1 , x2 , , xn ẩn, y1 , y2 , , yn tham số * Nếu với tham số y1 , y2 , , yn , hệ phương trình tuyến tính (2) có nghiệm nhất:   x1 = b11 y1 + b12 y2 + · · · + b1n ... bn2 · · · bnn      * Nếu tồn y1 , y2 , , yn để hệ phương trình tuyến tính (2) vô nghiệm vô số nghiệm ma trận A không khả nghịch Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận  a  a A=  1 1 1 ... Ta có công thức sau để tìm ma trận nghịch đảo A Cho A ma trận vuông cấp n Nếu det A = A không khả nghịch (tức A ma trận nghịch đảo) Nếu det A =...

Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 7 - PGS TS Vinh Quang

... tuyến tính (1) gọi hệ Cramer m = n (tức số phương trình số ẩn) ma trận hệ số A không suy biến (det A = 0) b Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính (1) gọi hệ cột tự hệ 0, tức b1 = ... hệ phương trình tuyến tính tổng quát Nội dung phương pháp dựa định lý quan sau nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định lý (Định lý Cronecker-Capelly) Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát (1), ... hệ số hệ (1) Nhận xét: Nếu ta thực phép biến đổi sơ cấp dòng hệ phương trình tuyến tính ta hệ tương đương với hệ cho 1.2 a Một vài hệ phương trình đặc biệt Hệ Cramer Hệ phương trình tuyến tính...

Tài liệu Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 8 - PGS TS Vinh Quang ppt

...  Vậy  −1  A−1 =  − − −3 3    Bài 22 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận     A=  Giải Ta sử dụng phương pháp định thức Ta có det A = + 27 + − − − = 18 3 = −5 A21 = − A11 = 2 A12 = − A13 ... = −5 1 A23 = − A31 = 3 A32 = − =7 A33 = 3 Vậy  A−1 =   18 −5  −5   −5 (Bạn đọc sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp để giải này) Bài 23 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận  −1 1   −1 1 A= ... · · + xn ) = y1 + y2 + · · · + yn Nếu a = −n, ta chọn tham số y1 , y2 , , yn thỏa y1 + · · · + yn = Khi hệ vô nghiệm ma trận A không khả nghịch Nếu a = −n, ta có x1 + x2 + · · · + xn = (1)...

5
1,017
27

Tài liệu Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 9 - PGS TS Vinh Quang docx

... 1) xn = Gọi ma trận hệ số hệ phương trình An , ta có det An = 2a11 − 2a12 2a21 2a22 − 2an1 2an2 2a1n 2a2n 2ann − Chú ý aij số nguyên nên phần bù đại số (An )ij số nguyên, khai triển định ... 2l − det An−1 Do đó, det An + det An−1 = 2l số chẳn, Suy det An det An−1 có tính chẳn lẽ với n, mà det A1 = 2a11 − số lẽ nên det An số lẽ det An = (vì số chẳn) Vì hệ phương trình có det An = nên ... =−5d2 +d4 0 0 9 m 0 12 9 m • Nếu m = hệ vô nghiệm • Nếu m = hệ có dạng  1∗ −1 −1 1  −1∗ −1 0 −1    ∗  0  0 0 0  rank A = rank A = nên hệ có vô số nghiệm phụ thuộc tham số x4 , x5 , ta...

Tài liệu Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 10 - PGS TS Vinh Quang doc

... a(a1 , a2 ) = (aa1 , 0) Chứng minh không gian vectơ có vectơ, có vô số vectơ Xét độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Tìm hạng hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ sau: (a) α1 = (1, 0, −1, 0), ... Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 2.1 Các khái niệm Cho V không gian vectơ, α1 , , αn hệ vectơ V • Hệ vectơ α1 , α2 , , αn gọi hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính (PTTT) tồn số thực a1 ... tuyến tính tối đại hệ vectơ Trong không gian vectơ V cho hệ vectơ (α) α1 , α2 , , αm Hệ αi1 , αi2 , , αik hệ (α) gọi hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ (α) αi1 , αi2 , , αik độc lập tuyến...

Tài liệu Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 11 - PGS TS Vinh Quang doc

... phụ thuộc tuyến tính (b) Mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính sở V (c) Mọi hệ có n vectơ hệ sinh V sở V (d) Mọi hệ độc lập tuyến tính, có k vectơ bổ sung têm n − k vectơ để sở V Chú ý từ tính chất ... thức với hệ số thực có bậc ≤ n với phép toán thông thường không gian vectơ Hệ vectơ 1, x, x2 , , xn sở Rn [x] ta có dimRn [x] = n + Tính chất không gian vectơ hữu hạn chiều Cho V không gian vectơ ... lập tuyến tính hệ hệ sinh Tọa độ vectơ sở (a) Định nghĩa Cho V không gian vectơ n chiều (dimV = n) α1 , α2 , , αn sở V Với x ∈ V , x viết dạng: x = a1 α1 + a2 α2 + + an αn , ∈ R Bộ số (a1...

Tài liệu Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 12 - PGS TS Vinh Quang docx

... thức không đa thức hệ số thực có bậc ≤ n không gian R[x] Tập đa thức hệ số thực bậc n không không gian R[x] điều kiện không thỏa mãn 1.3.4 Ví dụ Tập Tn (R) ma trận tam giác cấp n không gian không ... hệ sinh không gian vectơ α1 , , αn Bởi vậy, hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ α1 , , αn hệ sinh, sở không gian vectơ α1 , , αn 2.3 Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Cho hệ ... hệ phương trình tuyến tính (I) không gian vectơ Rn Không gian gọi không gian nghiệm hệ (I) Nếu ta ký hiệu r = rank A số chiều không gian nghiệm hệ (I): dim N = n − r Cơ sở không gian nghiệm...

7
1,110
19

Tài liệu Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 13 - PGS TS Vinh Quang pdf

... 1m 2m mm m = ĐLTT hệ phương trình tuyến tính (∗) có nghiệm (0, 0, , 0) ma trận hệ số hệ (∗) không suy biến detA = Hệ véctơ α1 , α2 , , αm biểu thị tuyến tính qua hệ véctơ β1 , β2 , , ... βj1 , , βjl hệ ĐLTT tối đại hệ véctơ α1 , , αm β1 , , βn Vì hệ α1 , , αm biểu thị tuyến tính qua hệ β1 , , βn nên hệ αi1 , , αik biểu thị tuyến tính qua hệ βj1 , , βjl , ... thời αi1 , , αik βj1 , , βjk hệ ĐLTT tối đại hệ véctơ (α) (β) Vì hệ (α) biểu thị tuyến tính qua hệ (β) nên hệ αi1 , , αik biểu thị tuyến tính qua hệ βj1 , , βjk , lại hệ αi1 , ,...

Toán cao cấp-Đại số tuyến tính ppt

... TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán ma trận Các tính chất Các khái niệm    A= 0 0 −1     Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO ... TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán ma trận Các tính chất Các khái niệm    A= 0  2 −1   −1  Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO ... TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ma trận Các khái niệm Các phép toán ma trận Các tính chất Các khái niệm    A= 0 −1  −1    1 Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO...

31
2,757
59

Toán Cao Cấp Đại Số Tuyến Tính Dành Cho SV Năm 1

...

Xem thêm