Các dạng nâng cao toán 8

Các dạng nâng cao toán 8

Phần hình học:
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ THUẬT SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ MENELAUS:
Xem thêm cách chứng minh ở đây:http://..vn/showthread.php?t=363238
BÀI TẬP:
Bài 1:
Cho tam giác ABC có I là trung điểm AC, K thuộc cạnh AB sao cho $BK = 2KA$. Đường thẳng IK cắt đường thẳng BC tại H. Tính $dfrac{HI}{HK}$
Bài 2:
Cho tam giác ABC co1 cạnh $AB = c$, $AC = b$, có đường phân giác AD cắt đường trung tuyến CM tại I. Tính các tỉ số $dfrac{CD}{CB}$ và $dfrac{IA}{ID}$
Bài 3:
Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy các điểm G, F, H, E sao cho $AB//EF//CD$ và $AD//GH//BC$. Gọi I là giao điểm của EF và GH: K là giao điểm của AF và CG. Chứng minh D, I, K thẳng hàng.

1/ Tính giá trị biểu thức:
M=$dfrac{4ab}{4a^2-b^2}$ với $4a^2+b^2$=$5ab$ và $4a>b>0$
Với bài này ta xử lí cái $4a^2+b^2$=$5ab$ trước
Ta có: $4a^2$+$b^2$-5ab=0
=>$4a^2$-4ab+$b^2$-ab=0
=>4a.(a-b)+b.(b-a)=0
=>(4a-b).(a-b)=0
vì 4a>b=>4a-b khác 0
=>a-b=0
=>a=b
Từ đây thế a bằng b vào biểu thức hoặc b bằng a vào biểu thức để tính.
3/ Cho $a, b, c$ khác $0$ thỏa: $a+b+c=0$. Tính:
S=$dfrac{1}{a^2+b^2-c^2} + dfrac{1}{b^2+c^2-a^2} + dfrac{1}{c^2+a^2-b^2}$
Ta có a+b+c=0
=>a+b=-c
=>$(a+b)^2$=$c^2$(1)
Tương tự được
$(b+c)^2$=$a^2$(2)
$(a+c)^2$=$b^2$(3)
Thế từ (1),(2),(3) vào biểu thức dể dàng tính được kết quả của biểu thức đó bằng 0.
S=0.

2/ Cho $abc$ khác $0$ và $ab+bc+ca=0$, tính:
N=$dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$
N=$dfrac{b^2+ab+ac+bc}{abc}$
Theo gt ab+ac+bc=0
=>N=$dfrac{b^2.(c+a)}{abc}$
=>N=$dfrac{b.(c+a)}{ac}$
Vì ab+ac+bc=0
=>bc+ba=-ac
=>N=$dfrac{bc+ba}{ac}$=$dfrac{-ac}{ac}$=-1.
Các câu còn lại xem lại đề nhé bạn!Đề thiếu!

Đặt $x=frac{a+b}{a-b}, y=frac{b+c}{b-c}, z=frac{c+a}{c-a}$
Chứng minh : $(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)$
Xong rồi rút gọn được: $xy‹ + yz+ xz=-1$
Ta có: $(x+y+z)^2$ 0
$x^2+y^2+z^2$ $-2(xy+yz+xz)=2$
$dpcm$
p/s: Mình làm tắt.

Đặt $dfrac{a+b}{a-b}=x$ ; $dfrac{b+c}{b-c}=y$ ; $dfrac{c+a}{c-a}=z$

Khi đó ta có: $(1+x)(1+y)(1+z)=(x-1)(y-1)(z-1)$

$(1+x+y+xy)(1+z)=(xy-x-y+1)(z-1)$

$1+z+x+y+xy+yz+xz+xyz=xyz-xy-yz-xz+x+y+z-1$

$2(xy+yz+xz)=-2$

Lại có $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2+2$ 2

đpcm

Cộng 1 vào mỗi phân số ở bài 1 được:

$2(dfrac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+dfrac{b^2+c^2}{(b-c)^2}+dfrac{c^2+a^2}{(c-a)^2})$ $5$

Chia cả 2 vế cho 2 ta được đpcm

Trừ mỗi phân số ở bài 1 đi 1 ta được:

$4(dfrac{ab}{(a-b)^2}+dfrac{bc}{(b-c)^2}+dfrac{ca}{(c-a)^2})$ $-1$

Chia cả 2 vế cho 4 ta được đpcm

Bài BDT 4 với 5 có vấn đề gì không thế bạn??? Bạn xem lại đề xem.
Sao cái phân thức cuối ở mẫu lại có 2 $c^2$ nhỉ?? Mất tính hoán vị.

$(dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b})+(dfrac{1}{c}-dfrac{1}{a+b+c})=0$

$dfrac{a+b}{ab}+dfrac{a+b}{c^2+ca+cb}=0$

$(a+b)(dfrac{1}{ab}+dfrac{1}{c^2+ca+cb}=0$

$(a+b)(dfrac{(b+c)(c+a)}{ab(c^2+ca+cb)})=0$

$(a+b)(b+c)(c+a)=0$

4) $VT=3+sum frac{3ab}{(a-b)^2}$
$frac{VT}{3}=1+sum frac{ab}{(a-b)^2}$ $1-0,25=frac{3}{4}$
$VT$ $frac{9}{4}$

4) $VT=3+sum frac{3ab}{(a-b)^2}$
$frac{VT}{3}=1+sum frac{ab}{(a-b)^2}$ $1-0,25=frac{3}{4}$
$VT$ $frac{9}{4}$