một số lý thuyết và ứng dụng của pt bậc 2

Cập nhật: 03/01/2015

một số lý thuyết và ứng dụng của pt bậc 2

Có thể bạn quan tâm

Cơ sở lí thuyết và ứng dụng của tiristor

“ ... xÃ hội loài người hội loài người 4 triệu nămNăm 476 Thời cổ đại 3 nghìn năm TCNNăm 15 66Năm 19 17 Đến nay xÃ hội nguyên thủy XH chiếm hữu nô lệXÃ hội phong kiến XÃ hội TBCNXÃ ... 3 câu trên HẾTTHỜI GIAN 12 345 1. Sự xuất hiện loài người và đời sống bầy người nguyên thủy:2. Người tinh khôn & óc sáng tạo :3. Cuộc cách mạng thời đá mới: * Củng cố Câu hỏi ... hơn và vui hơn  “Cuộc cách mạng đá mới” 1. Sự xuất hiện loài người và đời sống bầy người nguyên thủy:2. Người tinh khôn & óc sáng tạo :3. Cuộc cách mạng thời đá mới: Bài 1 :”

Cho pt: x^2+5x+2=0 .x1 ,x2 là 2nghiệm của pt .Tính gt của biểu thức:
x1^2 +X2^3
giải giúp minh vs .thanks trước

Có thể bạn quan tâm

Tải xuống

Một số tính chất và ứng dụng của hàm đặc trưng

Tính x1, x2 ra. Thay vào thôi. x1=(-5+căn17)/2, x2=(-5-căn17)/2 hoặc đảo x1,x2 lại.
Ko biết thế đúng hay sai nhỉ

Có thể bạn quan tâm

Tải xuống

Tài liệu CHUYÊN ĐỀ: SẮC KÝ (CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG) docx

Ví dụ 20: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt . thỏa mãn:

Giải: Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác 0 ........( tự đặt đk nhá!!!!)
Khi đó theo định lí Viet ta có:

Ta có:
(Do )
. Thay vào ta thấy không thỏa mãn
Vậy là giá trị cần tìm.

Có thể bạn quan tâm

Tải xuống

[bản tiếng anh] LY THUYET VA UNG DUNG CUA QUAN LY TRI THUC HO TRO HE THONG CHAT LUONG

Ví dụ 18: Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm thuộc . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
.

Giải: Vì giả thiết của phương trình liên quan đến miền xác định của hai nghiệm nên ta biểu diễn biểu thức Q qua hai nghiệm của phương trình .
Gọi là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có:
.
Để biểu diễn Q qua hai nghiệm, ta phải biểu diễn Q qua các tỉ số và , muốn vậy ta chia cả tử và mẫu của Q cho .
Ta có: .
* Ta tìm Max của Q.
Ta đánh giá qua với điều kiện .
Giả sử

.
Đẳng thức xảy ra .
Hay là : hoặc .
* Ta tìm Min của Q
Ta có: .
Đẳng thức xảy ra .
Vậy và .

Ví dụ 19: Cho phương trình : , trong đó a,b,c là các số nguyên và . , có hai nghiệm phân biệt trong khoảng . Tìm giá trị nhỏ nhất của .

Giải:
Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình đã cho .
Vì a,b,c là các số nguyên và là các số nguyên dương. (1)
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
(2) (do nên không có đẳng thức). Từ (1) và (2) ( a là số nguyên dương). Xét đa thức: , ta thấy f(x) thỏa mãn điều kiện bài toán . Vậy giá trị nhỏ nhất của a bằng 5.[/QUOTE]

Có thể bạn quan tâm

Tải xuống

[bản dịch] LY THUYET VA UNG DUNG CUA QUAN LY TRI THUC HO TRO HE THONG CHAT LUONG

Ví dụ 15: Chứng minh rằng phương trình : ) lần nghiệm kia khi và chỉ khi . (1) có hai nghiệm và nghiệm này gấp k (

Giải:
* Giả sử (1) có hai nghiệm và nghiệm này gấp k lần nghiệm kia thì ta có:

.
* Giả sử , ta chỉ cần chứng minh (1) có nghiệm là được.
Ta có:
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 16: Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt sao cho .

Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:
.
Đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt A,B (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

,
trong đó x1, x2 là hai nghiệm của (1).

thỏa mãn
Vậy là những giá trị cần tìm.
Ví dụ 17: Gọi là hai nghiệm của phương trình : . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.

Giải:
Ta có: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Theo định lí Viet thì: .
Ta có

Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .

Có thể bạn quan tâm

Tải xuống

CHUYÊN ĐỀ: SẮC KÝ (CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG) potx

Ví dụ 13: Tìm m để PT :
1) Có hai nghiệm, khi đó hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
2) Có hai nghiệm không âm.

Giải:
1) Phương trình có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có:

đây là hệ thức cần tìm.
2) Phương trình có hai nghiệm không âm
.
Vậy là những giá trị cần tìm.

Chú ý : 1) Để xét dấu của hai nghiệm ta đi xét dấu tổng và tích của chúng
* Hai nghiệm trái dấu
* Hai nghiệm cùng dấu
* Hai nghiệm cùng dương
* Hai nghiệm cùng âm .
2) Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số là hệ thức mà trong đó chỉ có mặt và hằng số mà không có tham số. Để tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m ta sử dụng định lí Viet, rồi khử m trong hệ ta được hệ thức cần tìm.

Ví dụ 14: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm và biểu thức: đạt giá trị lớn nhất .

Giải:
Phương trình có nghiệm . Khi đó theo định lí Viet:
.
Ta có: (do )
đạt được khi .
Vậy là giá trị cần tìm.
Ví dụ này nhắc nhở chúng ta khi sử dụng định lí Viet, đó là ta phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Nếu bài toán trên không hạn chế miền xác định của m (bất đẳng thức ) thì ta sẽ không tìm được max của Q.

Có thể bạn quan tâm

Tải xuống

cơ sở lý thuyết và ứng dụng phương pháp sắc ký doc

Ví dụ 11: Giả sử là hai nghiệm của phương trình :. Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
;
;
;
.

Giải: Trước hết phải kiểm tra xem phương trình đã cho có nghiệm hay không?
Ta có: PT đã cho luôn có hai nghệm phân biệt.
Bài toán yêu cầu tính giá trị của các biểu thức chứa hai nghiệm mà không bắt buộc chúng ta xác định hai nghiệm này ? Có vẻ đây là điều phi lí ?! Nhưng các bạn bình tĩnh xem lại có định lí hay công thức nào mà không cần tìm hai nghiệm nhưng ta vẫn tính được biểu thức chứa hai nghiệm ? Chắc không mấy khó khắn các bạn sẽ trả lời được, đó chính là hệ thức Viét: . Do vậy để tính giá trị các biểu thức trên ta cần phân tích các biểu thức trên qua tổng và tích hai nghiệm . Ta có:
.

(vì )

Chú ý : 1) Ta thấy các biểu thức ở trong bài toán trên có một tính chất là khi ta đổi vị trị của hai nghiệm thì biểu thức không thay đổi và các biểu thức đó được gọi là biểu thức đối xứng của hai nghiệm. Cụ thể ta có định nghĩa sau: “Biểu thức F(x1,x2) gọi là biểu thức đối xứng nếu ”.
Một tính chất quan trọng của biểu thức đối xứng là: “Mọi biểu thức đối xứng luôn biểu diễn được qua S (tổng hai nghiệm) và P (tích hai nghiệm)”.
Ta xét một số biểu diễn cơ bản sau:
*
*
*
2) Đặt , khi đó ta có :

Hay: .
Dựa vào đẳng thức này ta sẽ tính được …
Từ sự phân tích qua tổng và tích hai nghiệm ở trên giúp ta giải một số bài toán liên quan đến biểu thức các nghiệm của phương trình bậc hai.

Ví dụ 12: Gọi là hai nghiệm của phương trình :
1) Tính theo a.
2) Tìm đa thức bậc 5 hệ số nguyên nhận số là nghiệm.

Giải:
1) Ta có:

.
2) Đặt là hai nghiệm của phương trình : .

.
Vậy đa thức cần tìm là: .

Có thể bạn quan tâm

Tải xuống

CHUYÊN ĐỀ: SẮC KÝ(CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG) pptx

Ví dụ 10: Cho các số thực a, b, c, d, p, q thỏa mãn:
. Chứng minh rằng:
.

Giải: BĐT cần chứng minh :

Nhìn vào VT của BĐT gợi cho ta nhớ đến biệt thức , tức là phương trình :
có nghiệm.
Dĩ nhiên là cách chứng minh không thể dùng
. Do vậy ta nghĩ đến sẽ
chỉ ra có một số thực nào đó sao cho : (*).
Vấn đề là là số nào ? Trước hết ta viết phương trình lại như sau:
.
Điều này gợi ý cho chúng ta và khi đó , do vậy để có thì ta phải có : ? điều này ta chưa có ! Tuy nhiên từ đầu tới giờ có một giả thiết mà ta chưa sử dụng tới đó là :
, ta sẽ viết giả thiết này dưới một dạng khác (làm sao có lợi nhất): từ đây ta suy ra được trong hai số có ít nhất một số dương, không mất tính tổng quát, ta giả sử số đó là ( Nếu thì trong phương trình trên ta đổi vị trị của hai số đó cho nhau). Dẫn đến ta có lời giải như sau:
Ta có: trong hai số và có ít nhất một số dương, ta giả sử . Xét tam thức:

.
Ta có:
luôn có nghiệm hay :
(đpcm).

Nhận xét: Từ ví dụ trên ta rút ra nhận xét:
Nếu BĐT cần chứng minh có dạng (hoặc ) thì ta có
thể chứng minh tam thức (hoặc ) luôn có nghiệm với lưu ý là: nếu có một số thực m sao cho
( Hoặc tồn tại hai số thực sao cho ) thì tam thức luôn có nghiệm. Khi đó ta có: .

Tiếp theo chúng ta đi xét một số ứng dụng của định lí viet

Có thể bạn quan tâm

Tải xuống

CHUYÊN ĐỀ: SẮC KÝ (CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG) part 8 ppsx

Ví dụ 8: Cho a,b,c thỏa mãn: . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: .

Giải:
Cách 1:
* Nếu
có nghiệm.
* Nếu , ta có:
có nghiệm.
Cách 2: Ta có:

có nghiệm.
Nhận xét:
Với cách giải thứ 2 thì việc khó nhất là phải chứng minh được đẳng thức : . Vấn đề là làm sao biết cách xét và nhân thêm các hệ số 2 và 4. Liệu ngoài hai giá trị ta còn có những giá trị nào khác hay không? Câu trả lời là có, chẳng hạn ta xét .
Ta cần xác định các hệ số sao cho:
. Đồng nhất các hệ số ta có hệ phương trình :
.
Vậy ta có: trong ba số tồn tại một số không âm và một số không dương, dẫn đến tích hai số đó không dương hay phương trình có nghiệm.
2) Vậy bài toán tổng quát đặt ra là m, n, p thỏa mãn điều kiện gì để nếu có thì phương trình có nghiệm? Để giải bài toán này ta dùng cách giải thứ nhất. Lời giải bài toán này xin dành cho bạn đọc.

Ví dụ 9: Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: và . Chứng minh rằng phương trình : (1) có nghiệm .

Giải:
Để chứng minh (1) có nghiệm , ta sẽ chỉ ra có các số thực sao cho .
Vì và có giả thiết nên dẫn đến ta xét .
Mặt khác từ :

* Xét
Nếu là đa thức không, do đó f(x) sẽ có nghiệm trong (0;1)
Nếu , từ giả thiết và

* Xét , ta có:
có nghiệm .
Chú ý : 1) Nhiều bạn gặp sai lầm khi suy ra ngay :
mà không chú ý đến có khác 0 hay không ?
Từ bài toán trên, ta có thể thay đổi hình thức của m,n,p để thu được những bài toán khác. Một trường hợp riêng của bài toán trên mà ta thường gặp là :
Cho các số thực a,b,c và số tự nhiên thỏa mãn:
. Chứng minh phương trình : có nghiệm .
2) Ở trên ta đã giải quyết bài toán chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm bằng cách chứng minh . Tức là nếu có thì phương trình bậc hai có nghiệm. Vậy điều ngược lại thì sao? Tức là nếu phương trình bậc hai có nghiệm thì , điều này có giúp ích gì cho chúng ta hay không ?

Có thể bạn quan tâm

Tải xuống

CHUYÊN ĐỀ: SẮC KÝ (CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ ỨNG DỤNG) part 7 potx

Ví dụ 6: Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình có nghiệm: .

Giải:
Nếu trong ba số a,b,c có một số bằng 0, chẳng hạn có nghiệm .
Ta xét là các số thực khác 0, khi đó ba phương trình đã cho là ba phương trình bậc hai lần lượt có biệt thức
.
Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh trong ba biệt thức trên tồn tại ít nhất một biệt thức không âm. Để làm điều này ta đi xét tổng của ba biệt thức đó.
Ta có:
.
Suy ra trong ba số có ít nhất một số không âm hay ba phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chú ý :
1) Để chứng minh trong n số có ít nhất một số không âm (hoặc một số không dương) ta chỉ cần chứng minh tổng , trong đó .
2) Để chứng minh một phương trình bậc hai có nghiệm ngoài cách chứng minh ta còn có cách khác như sau :
“ Chỉ ra số thực hoặc hai số thực sao cho: ”.
Chứng minh:
Vì
phương trình có nghiệm.
trong hai số và có một số không dương, tức là hoặc phương trình có nghiệm.

Ví dụ 7: Cho là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghệm:
(1).

Giải:
Cách 1: (1) (2).
Vì nên (2) là phương trình bậc hai, do đó để chứng minh phương trình có nghiệm ta chỉ cần chứng minh .
Ta có:

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Cách 2: Gọi là vế trái của phương trình (1). Ta có:
;

trong bốn số luôn tồn tại hai số có tích không dương. Dẫn đến phương trình đã cho luôn có nghiệm.

một số lý thuyết và ứng dụng của pt bậc 2