Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học

Cập nhật: 10/01/2015

Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học

Có thể bạn quan tâm

Ứng dụng của tích phân trong hình học

“ ... xÃ hội loài người hội loài người 4 triệu nămNăm 476 Thời cổ đại 3 nghìn năm TCNNăm 15 66Năm 19 17 Đến nay xÃ hội nguyên thủy XH chiếm hữu nô lệXÃ hội phong kiến XÃ hội TBCNXÃ ... 3 câu trên HẾTTHỜI GIAN 12 345 1. Sự xuất hiện loài người và đời sống bầy người nguyên thủy:2. Người tinh khôn & óc sáng tạo :3. Cuộc cách mạng thời đá mới: * Củng cố Câu hỏi ... hơn và vui hơn  “Cuộc cách mạng đá mới” 1. Sự xuất hiện loài người và đời sống bầy người nguyên thủy:2. Người tinh khôn & óc sáng tạo :3. Cuộc cách mạng thời đá mới: Bài 1 :”

1. Tính diện tích hình phẳng.

1. Tính diện tích hình phẳng.

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục t trên đoạn [a;b]; trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b (h.1), thì diện tích S được cho bởi công thức:

(1)

Chú ý : Để tính tích phân trên, ta xét dấu của f(x) treeb đoạn [a,b]. Nếu f(x) không đổi dấu

trên khoảng (c;d) ⊂ [a;b] thì :

Chẳng hạn theo hình 1 ta có:

b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm sô y= f1(x) và y =f2(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b (h.2) thì diện tích S được cho bởi công thức :

(2)

Chú ý : Để tính tích phân trên, ta xét dấu f(x)= f1(x) - f2(x) trên đoạn [a;b] hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng (a;b), sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình : f(x)= f1(x) - f2(x) = 0, tìm các nghiệm xi ∈ (a;b) .

Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:

x1 < x2 < … < xn.

Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):

Chẳng hạn theo hình 2 thì f(x) có hai nghiệm c1, c2 ∈ (a;b) nên ta có:

Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi x1, b được thay thế bởi xn.

Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi y = f1(x) = 0 hoặc y = f2(x) = 0.

Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g1(y), x = g2(y) liên tục trên đoạn [c;d] và hai đường thẳng y = c, y = d có diện tích được cho bởi công thức:

2. Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ

x = a, x = b (a<b). S(x) là diện tích của thiết diện của được cho bởi công thức: (với S(x) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn [a;b]).

3. Thể tích khối tròn xoay

a) Hình phẳng quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm sốy = f(x) không âm và liên tục trên đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích Vx của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:

b) Hình phẳng quay quanh trục Oy (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y) không âm và liên tục trên đoạn [c;d], trục Oy và hai đường thẳng y = c, y = d quay quanh trục Oy, ta được khối tròn xoay. Thể tích Vy của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:

Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng x = a,

x = b và độ thị hàm số y = f1(x), y = f2(x) liên tục và 0 ≤ f1(x) ≤ f2(x) trên đoạn [a;b] quay quanh trục Ox được cho bởi công thức:

Tương tự, đổi vai trò x và y cho nhau, ta có công thức tính Vy (khi hình phẳng quay quanh trục Oy).