SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” MỞ ĐẦU Vì phải soạn thêm câu hỏi tập ? C húng ta biết hệ thống câu hỏi tập sách giáo khoa sách tập biên soạn chọn lọc, xếp cách công phu có dụng ý sư phạm, phù hợp với trình độ kiến thức lực học sinh, phản ảnh phần thực tiễn đời sống xã hội học tập gần gũi với học sinh, phù hợp với tâm lý lứa tuổi học sinh. Tuy nhiên, SGK SBT tài liệu dành cho tất học sinh thành thị nông thôn, miền núi miền xuôi, vùng kinh tế phát triển vùng gặp khó khăn … với đặc trưng khác nhau. Vì để có tập phù hợp với yêu cầu tiết dạy, phù hợp với đối tượng học sinh mình, phù hợp với hoàn cảnh thực tế địa phương mình, việc khai thác triệt để tập SGK, SBT. Giáo viên phải tự biên soạn thêm câu hỏi tập mới. Trong việc đề kiểm tra chất lượng đầu năm, kiểm tra học kì , thi lên lớp, thi chọn học sinh giỏi …… Giáo viên đề cần phải có lực sáng tác đề Toán vừa đáp ứng yêu cầu kiểm tra, đánh giá vừa đảm bảo tính khách quan, công bí mật ( đề không nằm tài liệu có ). Hơn nữa, ta biết “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư sáng tạo người học: Bồi dưỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vươn lên “ ( Luật GD 1998, chương I , điều 4). Đó định hướng quan trọng đổi phương pháp dạy học Toán rèn luyện cho HS lực phát giải vấn đề. Muốn vậy, GV phải bồi dưỡng cho HS phải có kĩ tự học độc lập, thực chất thói quen độc lập suy nghĩ, suy nghĩ sâu sắc khoa học. Một hình thức cao công việc học tập độc lập đòi hỏi nhiều sáng tạo việc HS tự lấy đề toán. Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” Hình thức yêu cầu HS phải nắm vững kiến thức, phải có thực tế, phải có trình độ phân tích tổng hợp cao để vừa đặt vấn đề vừa giải vấn đề thích hợp trọn vẹn. Việc cho HS tự lấy đề Toán biện pháp gắn liền nhà trường với sống, tạo điều kiện sau có khả vận dụng kiến thức Toán học để giải thành thạo vấn đề sống thực tế đặt ra. Đó biện pháp để bồi dưỡng tư sáng tạo cho HS trình tìm mới, phẩm chất tư sáng tạo nảy nở phát triển. Muốn rèn luyện cho HS khả tự đặt đề Toán theo yêu cầu đó, thân GV phải có ý thức tự rèn luyện cho khả này. Việc rèn luyện giúp nâng cao tiềm lực GV làm cho cảm thấy vững vàng tự tin trình dạy học. Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” CƠ SỞ KHOA HỌC KHI TẠO RA BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU Bài Toán Toán hoàn toàn mới, mở rộng, đào sâu Toán biết. Thực chất khó tạo Toán hoàn toàn quan hệ nội dung phương pháp với Toán có. Vì để tạo Toán từ Toán ban đầu phải tuân theo đường sau: 1. Lập Toán tương tự . 2. Lập Toán đảo. 3. Thêm số yếu tố đặc biệt hóa. 4. Bớt số yếu tố khái quát hóa. 5. Thay đổi số yếu tố. Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” NỘI DUNG CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 1.Ví dụ 1: Chúng ta toán sau: Cho a, b  Z , b > . So sánh hai số hữu tỉ a a  2001 b b  2001 ( Bài 9, trang SBT Toán 7, tập NXB Giáo dục 2003 ) Bài Toán có lời giải sau Xét tích a(b+2001) = ab + 2001a b(a+2001) = ab + 2001b Vì b > nên b + 2001 > - Nếu a > b ab + 2001a > ab + 2001b a(b + 2001) > b(a + 2001)  a a  2001  b b  2001 - Tương tự, a < b  - Nếu a=b rõ ràng a a  2001  b b  2001 a a  2001  b b  2001 Điều cho ta toán tương tự toán Bài 1. Cho a,b  Z , b > . So sánh hai số hữu tỉ a a  2015 b b  2015 Đến đến toán tổng quát sau. Bài 2. Cho a,b  Z , b > n  N * . So sánh hai số hữu tỉ a an b bn Giải: Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” Xét tích a(b+n) = ab + an b(a+n) = ab + bn Vì b > n  N * nên b + n > - Nếu a > b ab + an > ab + bn a(b + n) > b(a + n)  a an  b bn - Tương tự, a < b  - Nếu a = b rõ ràng a an  b bn a an  b bn Từ lời giải toán lại có toán sau Bài 3. Cho a, b  Z , b > n  N * . CMR: a) Nếu a a an   b b bn b) Nếu a a an   b b bn Giải: a) Ta có a 1  b a>b  an > bn n  N *  ab + an > ab + bn  a(b+n) > b(a+n)  a an  b bn b) Chứng minh tương tự câu a. Điều cho ta đề xuất toán lạ sau đây: Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” Bài 4. So sánh hai phân số a) 1941 1931 2005 1995 b) 1930 1945 1990 2005 Giải: Bài 5. a) Ta có: 1941 1941 1941  64 2005 > nên theo a) Suy > = 1931 1931 1931  64 1995 b) Ta có: 1930 1930 1930  60 1990 < =  nên theo câu b) Suy 1945 1945 1945  60 2005 So sánh hai số hữu tỉ sau: 19751976  a) A = 19751975  b) C = 19751975  B= 19751974  2005 2004  2005 2003  D = 2005 2005  2005 2004  Giải: a) Rõ ràng A > theo câu a Ta có: A = 1976 1976 19751976  (1975  1)  1974  1975  1975 1975 1975 > 19751975  (1975  1)  1974 1975  1975 1975(19751975  1) 19751975  = =B  1975(19751974  1) 19751974  Vậy : A > B b) Rõ ràng C ta thấy A > 1. Vì nn+1+1 > nn+1 Theo câu a . Ta có: A n n1  (n n1  1)  (n  1) n n1  n n(n n  1) nn 1     B nn 1 (n n  1)  (n  1) n n n n(n n1  1) n n 1  Vậy: A > B. b) - Nếu m = C = D. - Nếu m > ta thấy C < 1. Vì mm+1 nên ta có a +b >c; b+c >a; a +c >b  a a 2a 1  bc bc abc  b b 2b 1  ca ca a bc  c c 2c 1  ab ab abc  a b c 2a  2b  2c     (I) bc ca ab abc Vì a, b, c >  a + b < a + b + c; b + c < a + b + c; c + a < a + b + c;  c c b b a a  ;  ;  a b a bc a c a bc bc a b c Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 32 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu”  c b a a bc     (II) a b a c bc a bc Từ (I) (II) suy  a b c    (đpcm) bc ca ab 7.Ví dụ 7: Chúng ta toán đơn giản sau: ( sau HS học xong tứ giác nội tiếp) Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt H. Hãy tìm tứ giác nội tiếp. A E F H B D C Giải: - Các tứ giác nội tiếp: AEHF, CDHE, BDHF (tổng hai góc đối 1800) - Các tứ giác nội tiếp: ABDE, BCEF, ACDF ( hai góc nhìn cạnh góc 900) Từ kết toán cho ta toán sau: Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt H. 1.CMR: a) AE.AC = AF.AB = AH.AD b) HA.HD = HB.HE = HC.HF c) AB2 + BC2 + CA2 = 2(AH.AD + BH.BE + CH.CF) d) H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF e) HD HE HF DB EC FA CB HD FA    . .  . . AD BE CF DC EA FB CD HA FB Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 33 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” 2. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường thẳng AC I, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BI K. CMR: EF  AK 3. CMR: a) SAEF = SABC .cos2A b) AE.BF.CD = AB.BC.AC.cosA.cosB.cosC c) S DEF   (cos A  cos B  cos C ) SABC A E F H B C D K I Ta có toán tổng hợp Bài 2. Cho (O,R) dây BC < 2R cố định; A chạy cung lớn BC 1. Khi  ABC nhọn có đường cao AD; BE; CF đồng quy H. CMR: a) H tâm đường tròn nội tiếp  DEF b)  AEF  ABC. Từ chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp  AEF không đổi c) OA  EF d) SABC = p ' .R ( p ' nửa chu vi  DEF) e) Tìm vị trí điểm A cung lớn BC để p ' đạt giá trị lớn f) BC2 = BE.BH + CF.CH Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 34 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” 2. Khi A chạy cung lớn BC . Gọi giao điểm AH (O) A ' . a) Chứng minh H A ' đối xứng qua BC b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp  HAB,  HBC,  HCA c) Chứng minh: AH = OM với M trung điểm BC d) Chứng minh H, G, O thẳng hàng ( G trọng tâm  ABC) e) Khi A chạy BC H chạy đường nào? f) Gọi M, N, P trung điểm CB, AC, AB. Kẻ đường thẳng Mx//OA; Ny//OB; Pz//OC. CMR: Mx, Ny, Pz đồng quy. Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 35 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM + Được tạp chí Toán học Tuổi trẻ đăng Đặc san số vào tháng 10/2011 (chuyên mục dành cho THCS) với chuyên đề: “Từ tập SGK Toán 7” phần ví dụ 1. + Dạy bồi dưỡng giải Toán máy tính cầm tay cấp : Năm học Cấp trường Cấp huyện Cấp tỉnh Quốc gia 20102011 Đạt 5/8 ( giải Đạt 3/5 (1 giải Nhì, giải Ba) Nhất, giải Ba) 20112012 Đạt 29/35 ( Đạt 9/17 ( giải giải Nhất, giải nhì, giải Ba, Nhì, 14 giải Ba giải KK) ,4 giải KK) Đạt 8/10 (2 Đạt 1/5 (1 giải nhất, giải KK) giải Nhì, giải Ba, giải KK) 20122013 Đạt 12/27 ( giải Nhất, giải Nhì, giải Ba ,2 giải KK)-Lớp Đạt 8/10 ( Đạt 3/5 (2 giải Nhì, giải Ba,1 giải Ba, giải giải KK) KK) Đạt 11/12 ( giải Nhất, giải nhì, giải Ba)Lớp 20132014 Khối 8: Đạt Đạt 7/10 (2 Đạt 3/5 (1 11/15 ( giải Ba, giải Nhất, giải Ba, giải KK) giải Nhì, giải KK) giải Ba, giải Khối 9: Đạt KK) 13/15 ( giải Nhất, giải Nhì, giải Ba, giải KK) 20142015 Khối 9: Đạt Đạt 10/10 (1 Đạt 3/5 (1 10/10 (2 giải giải Nhất, giải Ba, Nhất, giải Nhì, giải Nhì, giải KK) giải Ba) giải Ba, KK) Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 36 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” + Dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán cấp: Năm học Cấp huyện Cấp tỉnh 2011-2012 - Lớp 8: Đạt 6/7 (1 giải Nhất, Lớp 9: Đạt 18/20 (1 giải giải Nhì, 1giải Ba) Nhất, giải Nhì, giải Ba, giải KK). 2012-2013 - Lớp 9: Đạt 6/7 (1 Nhất, Lớp 9: Đạt 11/20 (2 giải Nhì, Nhì, Ba, 1KK) giải Ba, giải KK). -Lớp 8: Đạt 4/7 (2 giải Nhì, 1giải Ba, 1giải KK). 2013-2014 -Lớp 8: Đạt 10/10 (2 giải Nhì, Đạt 17/20 (4 giải Nhì, giải giải Ba, giải KK). Ba, giải KK). - Lớp 9: Đạt 6/7 (1 giải Nhất, giải Nhì, giải Ba, giải KK). 2014-2015 -Lớp 9: Đạt 7/10 ( giải Nhì, Đạt 11/20 (7 giải Ba, giải giải Ba, giải KK) KK). + Có học sinh đạt giải “Violympic” quốc gia : HCV, 1HCB, 1HCĐ + Có học sinh đậu vào lớp 10 trường chuyên Toán thuộc Đại học Quốc gia TPHCM nhiều em vào trường chuyên Lê Khiết lớp chọn trường THPT số Mộ Đức. Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 37 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” KẾT LUẬN Biết Toán phát triển từ toán có. Nhưng nâng lên bước phát triển phương pháp giảng dạy nay. Khởi đầu sáng tạo GV môn đưa đến cho HS tiếp thu lạ, tạo hứng thú học tập phát triển tư Toán học. Trên nội dung sáng kiến mà thân tích luỹ trình giảng dạy. Vì khả thời gian có hạn nên sang kiến xin tạm dừng đây. Rất mong góp ý đồng chí, đồng nghiệp để sáng kiến phát huy tốt nữa. Đức Nhuận, ngày 20 tháng 10 năm 2014. NGƯỜI VIẾT Trần Ngọc Duy Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 38 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Tôn Thân , Sách giáo khoa đại số 7, hình học 8, NXB Giáo dục 2. Nguyễn Vũ Thanh (2001), Chuyên đề BD Số học THCS - THPT , NXB trẻ 3. Phạm Đức Tài (2005), Tự hoc, tự kiểm tra theo chuẩn Toán 9, NXB ĐHSP 4. Một số chuyên đề báo Toán học tuổi trẻ, … Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 39 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHGD TRƯỜNG - Tác dụng sáng kiến kinh nghiệm: . . . . . . . . . . - Tính thực tiễn, sư phạm, khoa học: ……… - Hiệu quả: . - Xếp loại: . Đức nhuận, ngày . tháng năm 2015. CT. HĐKHCS Ngô Bang Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 40 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHGD PGD MỘ ĐỨC - Tác dụng sáng kiến kinh nghiệm: . . . . . . …… . . . . . - Tính thực tiễn, sư phạm, khoa học:………… . - Hiệu quả: . - Xếp loại: . Mộ Đức, ngày . tháng năm 2015 CT. HĐKH PHÒNG GD Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 41 SKKN: “Phương pháp phát triển toán từ toán ban đầu” Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 42 [...]... thêm 1 là số chính phương Vậy: 4S + 1 là số chính phương Từ đó ta có bài toán tổng quát sau Bài 6 Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n+1)(n+2) và n  N Chứng minh rằng: 4S + 1 là số chính phương Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 23 SKKN: Phương pháp phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu 4 Ví dụ 4: Chúng ta bắt đầu từ bài toán sau: Bài 1 a) Cho tam giác... – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 35 SKKN: Phương pháp phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM + Được tạp chí Toán học và Tuổi trẻ đăng bài trên Đặc san số 1 vào tháng 10/2011 (chuyên mục dành cho THCS) với chuyên đề: Từ một bài tập trong SGK Toán 7” ở phần ví dụ 1 + Dạy bồi dưỡng giải Toán trên máy tính cầm tay các cấp : Năm học Cấp trường Cấp... chính phương không có chữ số tận cùng bằng 3 và 8 Vậy B3 = n5 – n + 2 không phải là số chính phương Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 12 SKKN: Phương pháp phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu Từ phương pháp giải bài 1, 2, 3, 4, 5 ta có cũng có bài toán tương tự sau: Bài 13 a) Phân tích đa thức C = n7 – n thành nhân tử chung b) Với n  Z CMR: C = n7 – n chia... Bá Loan – ĐT: 0974267203 25 SKKN: Phương pháp phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu b) Theo câu a và giả thiết ta có A TS ABC 1  10 AB  AC    AB  AC 1 1 AB  AC 1 2   AC       3  AB  AC 2 2 AB  AC 4  AB  AC   1  AC  30   2 Vậy AC = 30 (cm) hoặc AC = 10 (cm) thì SADM = 25% SABC 3 Từ kết quả của bài toán này cho ta bài toán mới sau Bài 3 Tỉ số diện tích giới hạn bởi... (mod 3)  n7  n (mod 3) C 3 Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 13 SKKN: Phương pháp phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu n7  n (mod 7)  n7 – n 7 7 7  n - n 2.3.7  C = n – n 42 Từ kết quả của bài toán trên cho ta các bài toán sau: Bài 14 Cho a1 , a2 , a3 , , an là các số nguyên CMR: Nếu a1  a2  a3   an 42 7 7 7 thì a17  a2  a3   an 42...  BC) Tìm các tam giác đồng dạng với nhau A B H Giải:  HBA C  HAC  ABC Từ kết quả của bài toán trên cho ta bài toán sau: Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.(H  BC) 1 CMR: Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 27 SKKN: Phương pháp phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu a) AB2 = BC.HB, AC2 = BC.HC b) BC2 = AB2 + AC2 c) AH.BC = AB.AC d) AH2... cặp tam giác đồng dạng với nhau Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 28 SKKN: Phương pháp phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu Giải: A E F H B C D  ABE  ACF;  AHE  ACD;  AEF  ABC; Từ kết quả của bài toán trên cho ta bài toán sau: Bài 1 Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H 1 CMR: a) AE.AC = AF.AB = AH.AD b) HA.HD = HB.HE... viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 32 SKKN: Phương pháp phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu  c b a a bc     1 (II) a b a c bc a bc Từ (I) và (II) suy ra 1  a b c    2 (đpcm) bc ca ab 7.Ví dụ 7: Chúng ta cũng bắt đầu từ bài toán đơn giản sau: ( sau khi HS học xong bài tứ giác nội tiếp) Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau... Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 24 SKKN: Phương pháp phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu b) SADM = S 1 73 S nm  ADM   20% S ABC 2 73 2 mn Vậy diện tích tam giác ADM chiếm 20% diện tích tam giác ABC Từ kết quả của bài toán trên cho ta bài toán tổng quát sau: Bài 2 Tỉ số diện tích giới hạn bởi đường trung tuyến, đường phân giác của A góc A và... + 2r + 1  21  0 (mod7) Vậy n 3 thì C9 = 22n + 2n + 1 7 Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 16 SKKN: Phương pháp phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu Từ cách giải 1 của Bài 13 (xét số dư) ta lại có bài toán sau Bài 21 CMR: Nếu n 7 thì n3 – 1 hoặc n3 + 1 chia hết cho 7 Giải: Vì n 7 nên n = 7k  1 hoặc n = 7k  2 hoặc n = 7k  3 (k Z.) - Nếu n = 7k+1  . Phương pháp phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 3 CƠ SỞ KHOA HỌC KHI TẠO RA BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN. SKKN: Phương pháp phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 7 Từ cách giải của bài toán này ta có bài toán tổng. số chính phương SKKN: Phương pháp phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu Người viết: Trần Ngọc Duy – GV Trường THCS Nguyễn Bá Loan – ĐT: 0974267203 13 Từ phương pháp giải bài 1,